La trasformata veloce di Fourier (FFT): analisi e implementazione in C++

La trasformata di Fourier (FT) è uno strumento molto potente implementato, oggi, in un enorme numero di tecnologie. Il suo primo esempio di applicazione fu proprio il campionamento e la digitalizzazione di segnali analogici. Nel tempo l'utilizzo della FT è stato ampliato a più orizzonti in ambito digitale, basti pensare che il formato di compressione '.jpg' utilizza una FT bidimensionale, mentre uno degli ultimi esempi di applicazione si ha nell'imaging digitale in ambito medico (risonanza magnetica nucleare, tomografia assiale computerizzata TAC ecc...). Nonostante gli utilizzi della FT siano molto diversificati il suo basilare funzionamento non è mai cambiato: essa non fa altro che modificare il dominio di una funzione del tempo (un segnale) in un dominio delle frequenze, permettendo così lo studio della composizione in termini di frequenza, ampiezza e fase del segnale stesso. Parallelamente all'evoluzione in termini di applicazioni si è sviluppato uno studio volto a migliorare e ottimizzare la computazione della stessa, data l'esponenziale crescita del suo utilizzo. In questa trattazione si vuole analizzare uno degli algoritmi di ottimizzazione più celebri e utilizzati in tal senso: la trasformata veloce di Fourier (Fast Fourier Transformation o FFT). Si delineeranno quindi le caratteristiche salienti della FT, e verrà introdotto l'algoritmo di computazione tramite linguaggio C++ dedicando particolare attenzione ai limiti di applicazione di tale algoritmo e a come poter modificare opportunamente la nostra funzione in modo da ricondurci entro i limiti di validità.

Analisi morfometrica classica ed EFA (Elliptic Fourier Analysis) degli otoliti del genere Mullus in Alto - Medio Adriatico.

L’obiettivo del presente lavoro di tesi è stato quello di analizzare i campioni di otoliti delle due specie del genere Mullus (Mullus barbatus e Mullus surmuletus) per mezzo dell’Analisi Ellittica di Fourier (EFA) e l’analisi di morfometria classica con gli indici di forma, al fine di verificare la simmetria tra l’otolite destro e sinistro in ognuna delle singole specie di Mullus e se varia la forma in base alla taglia dell’individuo. Con l’EFA è stato possibile mettere a confronto le forme degli otoliti facendo i confronti multipli in base alla faccia, al sesso e alla classe di taglia. Inoltre è stato fatto un confronto tra le forme degli otoliti delle due specie. Dalle analisi EFA è stato possibile anche valutare se gli esemplari raccolti appartenessero tutti al medesimo stock o a stock differenti. Gli otoliti appartengono agli esemplari di triglia catturati durante la campagna sperimentale MEDITS 2012. Per i campioni di Mullus surmuletus, data la modesta quantità, sono stati analizzati anche gli otoliti provenienti dalla campagna MEDITS 2014 e GRUND 2002. I campioni sono stati puliti e analizzati allo stereomicroscopio con telecamera e collegato ad un PC fornito di programma di analisi di immagine. Dalle analisi di morfometria classica sugli otoliti delle due specie si può sostenere che in generale vi sia una simmetria tra l’otolite destro e sinistro. Dalle analisi EFA sono state riscontrate differenze significative in tutti i confronti, anche nel confronto tra le due specie. I campioni sembrano però appartenere al medesimo stock. In conclusione si può dire che l’analisi di morfometria classica ha dato dei risultati congrui con quello che ci si aspettava. I risultati dell’analisi EFA invece hanno evidenziato delle differenze significative che dimostrano una superiore potenza discriminante. La particolare sensibilità dell’analisi dei contorni impone un controllo di qualità rigoroso durante l’acquisizione delle forme.

Metodi di Fourier per la valutazione dei derivati finanziari

Questa tesi affronta uno dei principali argomenti trattati dalla finanza matematica: la determinazione del prezzo dei derivati finanziari. Esistono diversi metodi per trattare questo tema, ma in particolare vengono illustrati i metodi che usano la trasformata di Fourier. Questi ultimi infatti ci permettono di sostituire il calcolo dell'attesa condizionata scontata, con il calcolo dell'integrale della trasformata di Fourier, in quanto la funzione caratteristica, cioè la trasformata di Fourier della funzione densità, è più trattabile rispetto alla funzione densità stessa. Vengono in primo luogo analizzate alcune importanti formule di valutazione e successivamente implementate, attraverso il software Mathematica. I modelli di riferimento utilizzati per l'implementazione sono il modello di Black-Scholes e il modello di Merton.

Trasformata di Fourier e trasformata Wavelet

Questo elaborato si concentra sullo studio della trasformata di Fourier e della trasformata Wavelet. Nella prima parte della tesi si analizzano gli aspetti fondamentali della trasformata di Fourier. Si definisce poi la trasformata di Fourier su gruppi abeliani finiti, richiamando opportunamente la struttura di tali gruppi. Si mostra che calcolare la trasformata di Fourier nel quoziente richiede un minor numero di operazioni rispetto a calcolarla direttamente nel gruppo di partenza. L'ultima parte dell'elaborato si occupa dello studio delle Wavelet, dette ondine. Viene presentato quindi il sistema di Haar che permette di definire una funzione come serie di funzioni di Haar in alternativa alla serie di Fourier. Si propone poi un vero e proprio metodo per la costruzione delle ondine e si osserva che tale costruzione è strettamente legata all'analisi multirisoluzione. Un ruolo cruciale viene svolto dall'identità di scala, un'identità algebrica che permette di definire certi coefficienti che determinano completamente le ondine. Interviene poi la trasformata di Fourier che riduce la ricerca dei coefficienti sopra citati, alla ricerca di certe funzioni opportune che determinano esplicitamente le Wavelet. Non tutte le scelte di queste funzioni sono accettabili. Ci sono vari approcci, qui viene presentato l'approccio di Ingrid Daubechies. Le Wavelet costituiscono basi per lo spazio di funzioni a quadrato sommabile e sono particolarmente interessanti per la decomposizione dei segnali. Sono quindi in relazione con l'analisi armonica e sono adottate in un gran numero di applicazioni. Spesso sostituiscono la trasformata di Fourier convenzionale.

Reproducibility of retinal thickness measurements in patients with age-related macular degeneration using 3D Fourier-domain optical coherence tomography (OCT) (Topcon 3D-OCT 1000)

Conventional time-domain optical coherence tomography (OCT) has become an important tool for following dry or exudative age-related macular degeneration (AMD). Fourier-domain three-dimensional (3D) OCT was recently introduced. This study tested the reproducibility of 3D-OCT retinal thickness measurements in patients with dry and exudative AMD.

Use of intraoperative fourier-domain anterior segment optical coherence tomography during descemet stripping endothelial keratoplasty

To evaluate the intraoperative use of handheld Fourier-domain optical coherence tomography (OCT) during Descemet stripping automated endothelial keratoplasty (DSAEK) to assess the donor-host interface.

Cosmologies and Regionalisms from "Above' and "Below' in the Post-Cold War Americas: the Relevance of Karl Polanyi for the 21st Century

Drawing on a Polanyian analysis of the land question, this article aims to analyse both Western and Indigenous cosmologies of Abya Yalathe name that indigenous peoples give to the American continentto understand the relationship between human beings and land and nature. These cosmologies are at the heart of the way in which two distinct societies construct their regional space, one from above', the other from below', and they are therefore key to understanding today's climate change problematique. Following this nexus it is argued that, since the end of the Cold War, a new regional double-movement', unleashed by the quest for land and natural resources has been in the making. This is a superstructural or legal battle between Western transnational regime-making and a law that originated at the centre of the Earth'. The article explains both regionalisms and the dialectical interaction between them and demonstrates that Karl Polanyi's legacy remains relevant for the 21st century.