Infinite dimensional Lie algebra associated with conformal transformations of the two-point velocity correlation tensor from isotropic turbulence

We deal with homogeneous isotropic turbulence and use the two-point velocity correlation tensor field (parametrized by the time variable t) of the velocity fluctuations to equip an affine space K3 of the correlation vectors by a family of metrics. It was shown in Grebenev and Oberlack (J Nonlinear Math Phys 18:109–120, 2011) that a special form of this tensor field generates the so-called semi-reducible pseudo-Riemannian metrics ds2(t) in K3. This construction presents the template for embedding the couple (K3, ds2(t)) into the Euclidean space R3 with the standard metric. This allows to introduce into the consideration the function of length between the fluid particles, and the accompanying important problem to address is to find out which transformations leave the statistic of length to be invariant that presents a basic interest of the paper. Also we classify the geometry of the particles configuration at least locally for a positive Gaussian curvature of this configuration and comment the case of a negative Gaussian curvature.

Die 18 F-Fluorierung verschiedener Aminosäuren als Tracer für die Tumor-Diagnostik mittels Positronen-Emissions-Tomographie

Die Zielsetzung dieser Arbeit war die Synthese und Markierung, sowie die in vitro- und in vivo-Evaluierung zweier markierter Aminosäure. Es wurden die PET-Tumor-Tracer C1-(2-[18F]Fluoreth- ylamino)-asparagin und S-2-Amino-4-[18F]fluor-butansäure synthetisiert. Die Markierung zum C1-(2-[18F]Fluorethylamino)-asparagin wurde mit 2-[18F]Fluorethylamin als Precursor durchgeführt. Ausgehend von N,N-Dibenzyl-(2-bromethyl)-amin wurde zunächst N,N-Dibenzyl-(2-[18F]fluorethyl)-amin in einer nukleophilen Substiution mit [18F]Fluorid in Acetonitril bei 80 °C mit einer Reaktionsdauer von 5 min dargestellt. Zur Abtrennung überschüssigen [18F]Fluorids wurde das Roh-Produkt auf einer Sep-Pak Plus Kartusche (C18) fixiert und mit Acetonitril eluiert. Die Abspaltung der Benzyl-Schutzgruppen erfolgte durch die Zugabe von Pd/C zu dem eluierten N,N-Dibenzyl-(2-[18F]fluorethyl)-amin und Behandelung der Lösung im leichten Wasserstoffstrom. Im finalen Aufreinigungsschritt wird der Katalysator Pd/C mittels eines Membranfilters abgetrennt. Das 2-[18F]Fluorethylamin wird im Sauren in das Amino-Salz überführt und im Vakuum vom Lösungsmittel befreit. Die Markierung zum C1-(2-[18F]Fluorethylamino)-asparagin wurde in DMF durchgeführt. Die höchsten Ausbeuten werden nach 4 min bei 60 °C erhalten. Die Abspaltung der Schutzgruppe erfolgt durch Trifluoressigsäure bei Raumtemperatur in 8 min. Die Aufreinigung des C1-(2-[18F]Fluorethylamino)-asparagin mittels HPLC und Festphasenextraktion liegt das Produkt in einer isotonischne isotonischen Kochsalzlösung vor. Die in vitro-Versuche wurden mit C1-(2-[18F]Fluorethylamino)-asparagin an 5 verschiedenen Zelllinen durchgeführt, 3 Plattenepitele und 2 Melanome. Hierbei konnte eine erhöhte Akkumulation von C1 -(2-[18F]Fluorethylamino)-asparagin beobachtet werden, die innerhalb von 20 min einen konstanten Wert erreicht. Ein Blockade-Experiment zeigte, dass sich die Aufnahme von C1 -(2-[18F]Fluorethylamino)-asparagin durch gesättinge Asparagin-Lösung bei den Plattenepitelen gar nicht und bei den Melanomen nur leicht vermindern ließ. Da die Aufnahme von C1-(2-[18F]Fluorethylamino)-asparagin in die Zellen höher war als bei FDG bei dem gleichen Versuchsaufbau, wurden in vivo-Versuche angesetzt. Die in vivo-Versuche an Sprague Dawley Ratten mit C1-(2-[18 F]Fluorethylamino)-asparagin zeigten keine messbare Anreicherung von C1-(2-[18F]Fluorethylamino)-asparagin in Tumoren. Fast die komplette Aktivität wurde in der Niere und Blase wiedergefunden. Die Synthese von S-2-Amino-4-[18F]fluor-butansäure wurde über stereodirigierende Auxilliare realisiert. Dazu wurden die geeignetsten Auxillare ausgewählt und auf ihre Eignung verglichen. Der Vergleich der stereodirigierenden Auxilare zeigte, dass das (1R,2R,5R)-2-Hydroxy-2,6,6-trimethyl- bicyclo[3.1.1]hept-3-ylidenamino)-essigsäure tert.-butylester (Laue-Auxillar) am geeignetesten ist. Die 18F-Markierung von S-2-Amino-4-[18F]fluor-butansäure wurde so optimiert, dass eine möglichst hohe stereochemische Reinheit des Produktes erzielt wird. Die optische Reinheit von S-2-Amino-4-[18 F]fluor-butansäure wurde mit > 93 % ee berechnet. Die Synthese des Markierungsvorläufers wurde ausgehend vom Laue-Auxilliar aufgebaut. Als Abgangsgruppe hat sich die Tosylgruppe besonders bewährt. Sie lässt sich unter besonders schonenden Bedingungen in den säurelabilen (1R,2R,5R)-4-Hydroxy-2-(2-hydroxy-2,6,6-trimethyl-bi- cyclo[3.1.1]hept-3-ylidenamino) butansäure tert.-butylester einführen. Bei der 18F-Markierung von S-2-Amino-4-[18F]fluor-butansäure mittels n.c.a. [18F]Fluorid hat sich die Wahl des Basensystems als besonders wichtig erwiesen. Die maximale Ausbeuten von 55% wurde mit Oxalat als Basensystem in Acetonitril bei 80 °C und einer Reaktionszeit von 15 min erzielen. Die Abspaltung der Schutzgruppen und die Abtrennung des Produktes wird in mehreren Schritten durchgeführt einschließlich einer HPLC-Abtrennung. Es wird nach 150 min Synthesedauer das gereinigte S-2-Amino-4-[18F]fluor-butansäure in isotonischer Kochsalzlösung mit einer Ausbeute von > 10 % RCA erhalten. Bei in vivo-Versuchen an Sprague Dawley Ratten reicherte sich der Hauptteil der Aktivität in der Niere an und nur weniger als ein halbes Prozent der applizierten Aktivität fand sich in den Tumoren wieder. Nach 10 min wurde ein maximaler Wert erreicht, der sich bis zum Ende der Messung nicht verändert. Das Verhältnis von Tumoraktivität zu unspezifisch-gebundener Aktivität betrug 2,2. Damit liegt das Verhältnis im Bereich der meisten klinisch eingesetzten PET-Tumor-Tracer wie dem des O-(2-[18F]Fluorethyl)-L-tyrosin mit 1,5.

Algebre di Lie eccezionali realizzate come algebre di matrici

La classificazione delle algebre di Lie semplici di dimensione finita su un campo algebricamente chiuso si divide in due parti: le algebre di Lie classiche e quelle eccezionali. La differenza principale è che le algebre di Lie classiche vengono introdotte come algebre di matrici, quelle eccezionali invece non si presentano come algebre di matrici ma un modo di introdurle è attraverso il loro diagramma di Dynkin. Lo scopo della tesi è di realizzare l' algebra di Lie eccezionale di tipo G_2 come algebra di matrici. Per raggiungere tale scopo viene introdotta un' algebra di composizione: la cosiddetta algebra degli ottonioni. Quest'ultima viene costruita in due modi diversi: come spazio vettoriale sui reali con un prodotto bilineare e come insieme delle coppie ordinate di quaternioni. Il resto della tesi è dedicato all' algebra delle derivazioni degli ottonioni. Viene dimostrato che questa è un' algebra di Lie semisemplice di dimensione 14. Infine, considerando la complessificazione dell'algebra delle derivazioni degli ottonioni, viene dimostrato che quest'ultima è semplice e quindi isomorfa a G_2.

Lie algebras and triple systems

This thesis is dedicated to the Tits-Kantor-Koecher (TKK) construction which establishes a bijective correspondence between unital Jordan algebras and shortly graded Lie algebras with Z-grading induced by an sl_2-triple. It is based on the observation that if g is a Lie algebra with a short Z-grading and f lies in g_1, then the formula ab=[[a,f],b] defines a structure of a Jordan algebra on g_{-1}. The TKK construction has been extended to Jordan triple systems and, more recently, to the so-called Kantor triple systems. These generalizations are studied in the thesis.

Representations of semisimple Lie algebras

La tesi è dedicata allo studio delle rappresentazioni delle algebre di Lie semisemplici su un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Mediante il teorema di Weyl sulla completa riducibilità, ogni rappresentazione di dimensione finita di una algebra di Lie semisemplice è scrivibile come somma diretta di sottorappresentazioni irriducibili. Questo permette di poter concentrare l'attenzione sullo studio delle rappresentazioni irriducibili. Inoltre, mediante il ricorso all'algebra inviluppante universale si ottiene che ogni rappresentazione irriducibile è una rappresentazione di peso più alto. Perciò è naturale chiedersi quando una rappresentazione di peso più alto sia di dimensione finita ottenendo che condizione necessaria e sufficiente perché una rappresentazione di peso più alto sia di dimensione finita è che il peso più alto sia dominante. Immediata è quindi l'applicazione della teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie semisemplici nello studio delle superalgebre di Lie, in quanto costituite da un'algebra di Lie e da una sua rappresentazione, dove viene utilizzata la tecnica della Z-graduazione che viene utilizzata per la prima volta da Victor Kac nello studio delle algebre di Lie di dimensione infinita nell'articolo ''Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth'' del 1968.

Real forms of Lie algebras and Lie superalgebras

In questa tesi abbiamo studiato le forme reali di algebre e superalgebre di Lie. Il lavoro si suddivide in tre capitoli diversi, il primo è di introduzione alle algebre di Lie e serve per dare le prime basi di questa teoria e le notazioni. Nel secondo capitolo abbiamo introdotto le algebre compatte e le forme reali. Abbiamo visto come sono correlate tra di loro tramite strumenti potenti come l'involuzione di Cartan e relativa decomposizione ed i diagrammi di Vogan e abbiamo introdotto un algoritmo chiamato "push the button" utile per verificare se due diagrammi di Vogan sono equivalenti. Il terzo capitolo segue la struttura dei primi due, inizialmente abbiamo introdotto le superalgebre di Lie con relativi sistemi di radici e abbiamo proseguito studiando le relative forme reali, diagrammi di Vogan e abbiamo introdotto anche qua l'algoritmo "push the button".

Algebre di Lie e gruppi risolubili e nilpotenti: un parallelismo

Tesi in algebra che propone uno studio parallelo di risolubilità e nilpotenza nei gruppi e nelle algebre di Lie. Vengono descritte dapprima le algebre di Lie in modo da fornire una conoscenza preliminare riguardo a questa struttura algebrica. In seguito esse vengono messe a confronto con i gruppi sotto l'aspetto appunto di risolubilità e nilpotenza.