Relating the quark and gluon condensâtes through the QCD vacuum energy

Using the Cornwall-Jackiw-Tomboulis effective potential for composite operators we compute the QCD vacuum energy as a function of the dynamical quark and gluon propagators, which are related to their respective condensâtes as predicted by the operator product expansion. The identification of this result to the vacuum energy obtained from the trace of the energy-momentum tensor allows us to study the gluon self-energy, verifying that it is fairly represented in the ultraviolet by the asymptotic behavior predicted by the operator product expansion, and in the infrared it is frozen at its asymptotic value at one scale of the order of the dynamical gluon mass. We also discuss the implications of this identity for heavy and light quarks. For heavy quarks we recover, through the vacuum energy calculation, the relation nij{filif)-îi(asl'n)GlivGllv obtained many years ago with QCD sum rules. ©2000 The American Physical Society.

Explicit derivation of the relativistic mass-energy relation for internal kinetic and potential energies of a composite system

A straightforward derivation of relativistic expressions for the mechanical momentum, kinetic and total energies, and mass-energy equivalence (including potential energy) which does not require any knowledge of the energy-momentum relation for electromagnetic waves or consideration of elastic collisions, but is directly based on Newton's second law and Lorentz's transformations, is presented in this paper. The existence of an invariant force is shown to be important for the validity of the relativistic mechanics.

The effect of energy feedbacks on continental strength

The classical strength profile of continents(1,2) is derived from a quasi-static view of their rheological response to stress-one that does not consider dynamic interactions between brittle and ductile layers. Such interactions result in complexities of failure in the brittle-ductile transition and the need to couple energy to understand strain localization. Here we investigate continental deformation by solving the fully coupled energy, momentum and continuum equations. We show that this approach produces unexpected feedback processes, leading to a significantly weaker dynamic strength evolution. In our model, stress localization focused on the brittle-ductile transition leads to the spontaneous development of mid-crustal detachment faults immediately above the strongest crustal layer. We also find that an additional decoupling layer forms between the lower crust and mantle. Our results explain the development of decoupling layers that are observed to accommodate hundreds of kilometres of horizontal motions during continental deformation.

An exact conserving algorithm for nonlinear dynamics with rotational DOFs and general hyperelasticity. Part 1: Rods

A fully conserving algorithm is developed in this paper for the integration of the equations of motion in nonlinear rod dynamics. The starting point is a re-parameterization of the rotation field in terms of the so-called Rodrigues rotation vector, which results in an extremely simple update of the rotational variables. The weak form is constructed with a non-orthogonal projection corresponding to the application of the virtual power theorem. Together with an appropriate time-collocation, it ensures exact conservation of momentum and total energy in the absence of external forces. Appealing is the fact that nonlinear hyperelastic materials (and not only materials with quadratic potentials) are permitted without any prejudice on the conservation properties. Spatial discretization is performed via the finite element method and the performance of the scheme is assessed by means of several numerical simulations.

Twisted sl(3, C)(k)((2)) current algebra: free field representation and screening currents

Motivated by application of twisted current algebra in description of the entropy of Ads(3) black hole, we investigate the simplest twisted current algebra sl(3, c)(k)((2)). Free field representation of the twisted algebra, and the corresponding twisted Sugawara energy-momentum tensor are obtained by using three (beta, gamma) pairs and two scalar fields. Primary fields and two screening currents of the first kind are presented. (C) 2001 Published by Elsevier Science B.V.

A(2)((2)) parafermions: a new conformal field theory

A new parafermionic algebra associated with the homogeneous space A(2)((2))/U(1) and its corresponding Z-algebra have been recently proposed. In this paper, we give a free boson representation of the A(2)((2)) parafermion algebra in terms of seven free fields. Free field realizations of the parafermionic energy-momentum tensor and screening currents are also obtained. A new algebraic structure is discovered, which contains a W-algebra type primary field with spin two. (C) 2002 Published by Elsevier Science B.V.

Free field and parafermionic realizations of twisted su(3)(k)((2)) current algebra

Free field and twisted parafermionic representations of twisted su(3)(k)((2)) current algebra are obtained. The corresponding twisted Sugawara energy-momentum tensor is given in terms of three (beta, gamma) pairs and two scalar fields and also in terms of twisted parafermionic currents and one scalar field. Two screening currents of the first kind are presented in terms of the free fields.

gl(2 vertical bar 2) current superalgebra and non-unitary conformal field theory

Motivated by application of current superalgebras in the study of disordered systems such as the random XY and Dirac models, we investigate gl(2\2) current superalgebra at general level k. We construct its free field representation and corresponding Sugawara energy-momentum tensor in the non-standard basis. Three screen currents of the first kind are also presented. (C) 2003 Elsevier B.V. All rights reserved.

Invariant integrals applied to nematic liquid crystals with small Ericksen number and topological defects

Invariant integrals are derived for nematic liquid crystals and applied to materials with small Ericksen number and topological defects. The nematic material is confined between two infinite plates located at y = -h and y = h (h is an element of R+) with a semi-infinite plate at y = 0 and x < 0. Planar and homeotropic strong anchoring boundary conditions to the director field are assumed at these two infinite and semi-infinite plates, respectively. Thus, a line disclination appears in the system which coincides with the z-axis. Analytical solutions to the director field in the neighbourhood of the singularity are obtained. However, these solutions depend on an arbitrary parameter. The nematic elastic force is thus evaluated from an invariant integral of the energy-momentum tensor around a closed surface which does not contain the singularity. This allows one to determine this parameter which is a function of the nematic cell thickness and the strength of the disclination. Analytical solutions are also deduced for the director field in the whole region using the conformal mapping method. (C) 2013 Elsevier Ltd. All rights reserved.

Massless minimally coupled fields in de Sitter space: O(4)-symmetric states versus de Sitter invariant vacuum

The issue of de Sitter invariance for a massless minimally coupled scalar field is examined. Formally, it is possible to construct a de Sitterinvariant state for this case provided that the zero mode of the field is quantized properly. Here we take the point of view that this state is physically acceptable, in the sense that physical observables can be computed and have a reasonable interpretation. In particular, we use this vacuum to derive a new result: that the squared difference between the field at two points along a geodesic observers spacetime path grows linearly with the observers proper time for a quantum state that does not break de Sitter invariance. Also, we use the Hadamard formalism to compute the renormalized expectation value of the energy-momentum tensor, both in the O(4)-invariant states introduced by Allen and Follaci, and in the de Sitterinvariant vacuum. We find that the vacuum energy density in the O(4)-invariant case is larger than in the de Sitterinvariant case.

The interiors of Vaidya's radiating metric: gravitational collapse

Using the Darmois junction conditions, we give the necessary and sufficient conditions for the matching of a general spherically symmetric metric to a Vaidya radiating solution. We present also these conditions in terms of the physical quantities of the corresponding energy-momentum tensors. The physical interpretation of the results and their possible applications are studied, and we also perform a detailed analysis of previous work on the subject by other authors.

Collineations of a symmetric 2-covariant tensor: Ricci collineations

The infinitesimal transformations that leave invariant a two-covariant symmetric tensor are studied. The interest of these symmetry transformations lays in the fact that this class of tensors includes the energy-momentum and Ricci tensors. We find that in most cases the class of infinitesimal generators of these transformations is a finite dimensional Lie algebra, but in some cases exhibiting a higher degree of degeneracy, this class is infinite dimensional and may fail to be a Lie algebra. As an application, we study the Ricci collineations of a type B warped spacetime.

Syttyminen ja palamisen eteneminen partikkelikerroksessa

Syttymistä ja palamisen etenemistä partikkelikerroksessa tutkitaan paloturvallisuuden parantamista sekä kiinteitä polttoaineita käyttävien polttolaitteiden toiminnan tuntemista ja kehittämistä varten. Tässä tutkimuksessa on tavoitteena kerätä yhteen syttymiseen ja liekkirintaman etenemiseen liittyviä kokeellisia ja teoreettisia tutkimustuloksia, jotka auttavat kiinteäkerrospoltto- ja -kaasutus-laitteiden kehittämisessä ja suunnittelussa. Työ on esitutkimus sitä seuraavalle kokeelliselle ja teoreettiselle osalle. Käsittelyssä keskitytään erityisesti puuperäisiin polttoaineisiin. Hiilidioksidipäästöjen vähentämistavoitteet sekä kiinteiden jätteiden energiakäytön lisääminen ja kaatopaikalle viennin vähentäminen aiheuttavat lähitulevaisuudessa kerrospolton lisääntymistä. Kuljetusmatkojen optimoinnin takia joudutaan rakentamaan melko pieniä polttolaitoksia, joissa kerrospolttotekniikka on edullisin vaihtoehto. Syttymispisteellä tarkoitetaan Semenovin määritelmän mukaan tilaa ja ajankohtaa, jolloin polttoaineen ja hapen reaktioissa muodostuva nettoenergia aikayksikössä on yhtäsuuri kuin ympäristöön siirtyvä nettoenergiavirta. Itsesyttyminen tarkoittaa syttymistä ympäristön lämpötilan tai paineen suurenemisen seurauksena. Pakotettu syttyminen tapahtuu, kun syttymispisteen läheisyydessä on esimerkiksi liekki tai hehkuva kiinteä kappale, joka aiheuttaa paikallisen syttymisen ja syttymisrintaman leviämisen muualle polttoaineeseen. Kokeellinen tutkimus on osoittanut tärkeimmiksi syttymiseen ja syttymisrintaman etenemiseen vaikuttaviksi tekijöiksi polttoaineen kosteuden, haihtuvien aineiden pitoisuuden ja lämpöarvon, partikkelikerroksen huokoisuuden, partikkelien koon ja muodon, polttoaineen pinnalle tulevan säteilylämpövirran tiheyden, kaasun virtausnopeuden kerroksessa, hapen osuuden ympäristössä sekä palamisilman esilämmityksen. Kosteuden lisääntyminen suurentaa syttymisenergiaa ja -lämpötilaa sekä pidentää syttymisaikaa. Mitä enemmän polttoaine sisältää haihtuvia aineita sitä pienemmässä lämpötilassa se syttyy. Syttyminen ja syttymisrintaman eteneminen ovat sitä nopeampia mitä suurempi on polttoaineen lämpöarvo. Kerroksen huokoisuuden kasvun on havaittu suurentavan palamisen etenemisnopeutta. Pienet partikkelit syttyvät yleensä nopeammin ja pienemmässä lämpötilassa kuin suuret. Syttymisrintaman eteneminen nopeutuu partikkelien pinta-ala - tilavuussuhteen kasvaessa. Säteilylämpövirran tiheys on useissa polttosovellutuksissa merkittävin lämmönsiirtotekijä, jonka kasvu luonnollisesti nopeuttaa syttymistä. Ilman ja palamiskaasujen virtausnopeus kerroksessa vaikuttaa konvektiiviseen lämmönsiirtoon ja hapen pitoisuuteen syttymisvyöhykkeellä. Ilmavirtaus voi jäähdyttää ja kuumankaasun virtaus lämmittää kerrosta. Hapen osuuden kasvaminen nopeuttaa syttymistä ja liekkirintaman etenemistä kunnes saavutetaan tila, jota suuremmilla virtauksilla ilma jäähdyttää ja laimentaa reaktiovyöhykettä. Palamisilman esilämmitys nopeuttaa syttymisrintaman etenemistä. Syttymistä ja liekkirintaman etenemistä kuvataan yleensä empiirisillä tai säilyvyysyhtälöihin perustuvilla malleilla. Empiiriset mallit perustuvat mittaustuloksista tehtyihin korrelaatioihin sekä joihinkin tunnettuihin fysikaalisiin lainalaisuuksiin. Säilyvyysyhtälöihin perustuvissa malleissa systeemille määritetään massan, energian, liikemäärän ja alkuaineiden säilymisyhtälöt, joiden nopeutta kuvaavien siirtoyhtälöiden muodostamiseen käytetään teoreettisella ja kokeellisella tutkimuksella saatuja yhtälöitä. Nämä mallinnusluokat ovat osittain päällekkäisiä. Pintojen syttymistä kuvataan usein säilyvyysyhtälöihin perustuvilla malleilla. Partikkelikerrosten mallinnuksessa tukeudutaan enimmäkseen empiirisiin yhtälöihin. Partikkelikerroksia kuvaavista malleista Xien ja Liangin hiilipartikkelikerroksen syttymiseen liittyvä tutkimus ja Gortin puun ja jätteen polttoon liittyvä reaktiorintaman etenemistutkimus ovat lähimpänä säilyvyysyhtälöihin perustuvaa mallintamista. Kaikissa malleissa joudutaan kuitenkin yksinkertaistamaan todellista tapausta esimerkiksi vähentämällä dimensioita, reaktioita ja yhdisteitä sekä eliminoimalla vähemmän merkittävät siirtomekanismit. Suoraan kerrospolttoa ja -kaasutusta palvelevia syttymisen ja palamisen etenemisen tutkimuksia on vähän. Muita tarkoituksia varten tehtyjen tutkimusten polttoaineet, kerrokset ja ympäristöolosuhteet poikkeavat yleensä selvästi polttolaitteiden vastaavista olosuhteista. Erikokoisten polttoainepartikkelien ja ominaisuuksiltaan erilaisten polttoaineiden seospolttoa ei ole tutkittu juuri ollenkaan. Polttoainepartikkelien muodon vaikutuksesta on vain vähän tutkimusta.Ilman kanavoitumisen vaikutuksista ei löytynyt tutkimuksia.

Exercise sheet 4

Exercises and solutions in LaTex

Exercise sheet 4 pdf

Exercises and solutions in PDF