Solving the Least Squares Method problem in the AHP for 3 X 3 and 4 X 4 matrices

The Analytic Hierarchy Process (AHP) is one of the most popular methods used in Multi-Attribute Decision Making. The Eigenvector Method (EM) and some distance minimizing methods such as the Least Squares Method (LSM) are of the possible tools for computing the priorities of the alternatives. A method for generating all the solutions of the LSM problem for 3 × 3 and 4 × 4 matrices is discussed in the paper. Our algorithms are based on the theory of resultants.

Solution of the Least Squares Method problem of pairwise comparison matrices

The aim of the paper is to present a new global optimization method for determining all the optima of the Least Squares Method (LSM) problem of pairwise comparison matrices. Such matrices are used, e.g., in the Analytic Hierarchy Process (AHP). Unlike some other distance minimizing methods, LSM is usually hard to solve because of the corresponding nonlinear and non-convex objective function. It is found that the optimization problem can be reduced to solve a system of polynomial equations. Homotopy method is applied which is an efficient technique for solving nonlinear systems. The paper ends by two numerical example having multiple global and local minima.

Development and Validation of Stability-Indicating HPLC Methods for Quantitative Determination of Pravastatin, Fluvastatin, Atorvastatin, and Rosuvastatin in Pharmaceuticals

High-performance liquid-chromatographic (HPLC) methods were validated for determination of pravastatin sodium (PS), fluvastatin sodium (FVS), atorvastatin calcium (ATC), and rosuvastatin calcium (RC) in pharmaceuticals. Two stability-indicating HPLC methods were developed with a small change (10%) in the composition of the organic modifier in the mobile phase. The HPLC method for each statin was validated using isocratic elution. An RP-18 column was used with mobile phases consisting of methanol-water (60:40, v/v, for PS and RC and 70:30, v/v, for FVS and ATC). The pH of each mobile phase was adjusted to 3.0 with orthophosphoric acid, and the flow rate was 1.0mL/min. Calibration plots showed correlation coefficients (r)0.999, which were calculated by the least square method. The detection limit (DL) and quantitation limit (QL) were 1.22 and 3.08 mu g/mL for PS, 2.02 and 6.12 mu g/mL for FVS, 0.44 and 1.34 mu g/mL for ATC, and 1.55 and 4.70 mu g/mL for RC. Intraday and interday relative standard deviations (RSDs) were 2.0%. The methods were applied successfully for quantitative determination of statins in pharmaceuticals.

Об одном способе накопления томографической системы при её решении методам наименьших квадратов

სტატიაში, ავტორების მიერ შემოთავაზებულია ტომოგრაფიულ განტოლებათა სისტემის ავტომატური დაგროვების ერთერთი ხერხი, სეისმიკის შებრუნებული ამოცანების ამოხსნისას უმცირეს კვადრატთა მეთოდის გამოყენებით. მეთოდიკა გამოყენებული იქნა ზოგიერთი მოდელური ამოცანის და ენგურის თაღოვანი კაშხალის მარცხენა სანაპიროს მეორე ჰორიზონტისათვის.

Short-term forecasting of power demand in the Nord Pool market

Sähkönkulutuksen lyhyen aikavälin ennustamista on tutkittu jo pitkään. Pohjoismaisien sähkömarkkinoiden vapautuminen on vaikuttanut sähkönkulutuksen ennustamiseen. Aluksi työssä perehdyttiin aiheeseen liittyvään kirjallisuuteen. Sähkönkulutuksen käyttäytymistä tutkittiin eri aikoina. Lämpötila tilastojen käyttökelpoisuutta arvioitiin sähkönkulutusennustetta ajatellen. Kulutus ennusteet tehtiin tunneittain ja ennustejaksona käytettiin yhtä viikkoa. Työssä tutkittiin sähkönkulutuksen- ja lämpötiladatan saatavuutta ja laatua Nord Poolin markkina-alueelta. Syötettävien tietojen ominaisuudet vaikuttavat tunnittaiseen sähkönkulutuksen ennustamiseen. Sähkönkulutuksen ennustamista varten mallinnettiin kaksi lähestymistapaa. Testattavina malleina käytettiin regressiomallia ja autoregressiivistä mallia (autoregressive model, ARX). Mallien parametrit estimoitiin pienimmän neliösumman menetelmällä. Tulokset osoittavat että kulutus- ja lämpötiladata on tarkastettava jälkikäteen koska reaaliaikaisen syötetietojen laatu on huonoa. Lämpötila vaikuttaa kulutukseen talvella, mutta se voidaan jättää huomiotta kesäkaudella. Regressiomalli on vakaampi kuin ARX malli. Regressiomallin virhetermi voidaan mallintaa aikasarjamallia hyväksikäyttäen.

O ajuste de funções matemáticas a dados experimentais

The least square method is analyzed. The basic aspects of the method are discussed. Emphasis is given in procedures that allow a simple memorization of the basic equations associated with the linear and non linear least square method, polinomial regression and multilinear method.

Numerical evaluation of the modulus of longitudinal elasticity in structural round timber elements of the Eucalyptus genus

Currently, the standards that deal with the determination of the properties of rigidity and strength for structural round timber elements do not take in consideration in their calculations and mathematical models the influence of the existing irregularities in the geometry of these elements. This study has as objective to determine the effective value of the modulus of longitudinal elasticity for structural round timber pieces of the Eucalyptus citriodora genus by a technique of optimization allied to the Inverse Analysis Method, to the Finite Element Method and the Least Square Method.

Estimation of aircraft aerodynamic derivatives using Extended Kalman Filter

Design of flight control laws, verification of performance predictions, and the implementation of flight simulations are tasks that require a mathematical model of the aircraft dynamics. The dynamical models are characterized by coefficients (aerodynamic derivatives) whose values must be determined from flight tests. This work outlines the use of the Extended Kalman Filter (EKF) in obtaining the aerodynamic derivatives of an aircraft. The EKF shows several advantages over the more traditional least-square method (LS). Among these the most important are: there are no restrictions on linearity or in the form which the parameters appears in the mathematical model describing the system, and it is not required that these parameters be time invariant. The EKF uses the statistical properties of the process and the observation noise, to produce estimates based on the mean square error of the estimates themselves. Differently, the LS minimizes a cost function based on the plant output behavior. Results for the estimation of some longitudinal aerodynamic derivatives from simulated data are presented.

A theoretical adaptive model of thermal comfort – Adaptive Predicted Mean Vote (aPMV)

This paper presents in detail a theoretical adaptive model of thermal comfort based on the “Black Box” theory, taking into account factors such as culture, climate, social, psychological and behavioural adaptations, which have an impact on the senses used to detect thermal comfort. The model is called the Adaptive Predicted Mean Vote (aPMV) model. The aPMV model explains, by applying the cybernetics concept, the phenomena that the Predicted Mean Vote (PMV) is greater than the Actual Mean Vote (AMV) in free-running buildings, which has been revealed by many researchers in field studies. An Adaptive coefficient (λ) representing the adaptive factors that affect the sense of thermal comfort has been proposed. The empirical coefficients in warm and cool conditions for the Chongqing area in China have been derived by applying the least square method to the monitored onsite environmental data and the thermal comfort survey results.

Analysis of total visual and CCD V-broadband observations of Comet C/1995 O1 (Hale-Bopp): 1995-2001

We developed a general method for determination of water production rates from groundbased visual observations and applied it to Comet Hale-Bopp. Our main objective is to extend the method to include total visual magnitude observations obtained with CCD detector and V filter in the analysis of total visual magnitudes. We compare the CCD V-broadband careful observations of Liller [Liller, W. Pre-perihelion CCD photometry of Comet 1995 01 (Hale-Bopp). Planet. Space Sci. 45, 1505-1513, 1997; Liller, W. CCD photometry of Comet C/1995 O1 (Hale-Bopp): 1995-2000. Int. Comet Quart. 23(3), 93-97, 2001] with the total visual magnitude observations from experienced international observers found in the International Comet Quarterly (ICQ) archive. A data set of similar to 400 CCD observations covering about the same 6 years time span of the similar to 12,000 ICQ selected total visual magnitude observations were used in the analysis. A least-square method applied to the water production rates, yields power laws as a function of the heliocentric distances for the pre- and post-perihelion phases. The average dimension of the nucleus as well as its effective active area is determined and compared with values published in the literature. (C) 2009 COSPAR. Published by Elsevier Ltd. All rights reserved.

Methods of Estimation in Multiple Linear Regression: Application to Clinical Data

Nesse artigo, tem-se o interesse em avaliar diferentes estratégias de estimação de parâmetros para um modelo de regressão linear múltipla. Para a estimação dos parâmetros do modelo foram utilizados dados de um ensaio clínico em que o interesse foi verificar se o ensaio mecânico da propriedade de força máxima (EM-FM) está associada com a massa femoral, com o diâmetro femoral e com o grupo experimental de ratas ovariectomizadas da raça Rattus norvegicus albinus, variedade Wistar. Para a estimação dos parâmetros do modelo serão comparadas três metodologias: a metodologia clássica, baseada no método dos mínimos quadrados; a metodologia Bayesiana, baseada no teorema de Bayes; e o método Bootstrap, baseado em processos de reamostragem.

Um estudo sobre a curva de demanada agregada brasileira

Muitos trabalhos têm sido elaborados a respeito da curva de demanda agregada brasileira, a curva IS, desde a implementação do Plano Real e, principalmente, após a adoção do regime de câmbio flutuante. Este trabalho tem como objetivo estimar algumas especificações para a curva IS brasileira, para o período após a implementação do câmbio flutuante, do regime de metas de inflação e da Lei de Responsabilidade Fiscal, i.e. após o ano 2000. As especificações para as curvas estimadas tiveram como base o modelo novo-keynesiano, tendo sido incluídas algumas variáveis explicativas buscando captar o efeito na demanda agregada da maior intermediação financeira na potência da política monetária e o efeito do esforço fiscal feito pelo governo brasileiro. O trabalho utiliza o Método dos Momentos Generalizados (MMG) para estimar a curva IS em sua especificação foward-looking e o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) para estimar a curva IS em sua versão backward-looking. Os resultados mostram forte significância para o hiato do produto em todas as especificações. As especificações foward-looking mostram coeficientes significantes, porém com sinais opostos ao esperado para os juros e superávit primário. Nas regressões backward-looking o sinal dos coeficientes encontrados são os esperados, porém, mostram-se não significantes.

Taxa não inflacionária da capacidade utilizada: uma abordagem usando microdados brasileiros

Esta dissertação baseia-se na criação de uma taxa não inflacionária da capacidade utilizada (NIRCU) para economia brasileira, utilizando microdados da Sondagem da Indústria de Transformação e Índice de Preços ao Produtor Amplo – M (IPA-M), pesquisas desenvolvidas pela FGV/IBRE. Foram criadas três taxas: NIRCU Sondagem, NIRCU Coincidente e NIRCU Antecedente. A primeira utiliza apenas dados da sondagem e a ideia é verificar que não há pressão inflacionária quando as empresas informam para sondagem que não irão variar os seus preços para os próximos três meses e que o número de turnos trabalhado é igual à média do setor. Já as demais, cruzam as informações das empresas que respondem tanto a Sondagem da Indústria de Transformação quanto no IPA-M e verifica se as que informam que não irão alterar os seus preços nos próximos três meses se concretiza quando comparados às variações do índice. A diferença entre as duas últimas abordagens é que a primeira, NIRCU Coincidente, verifica no mesmo período e a outra, NIRCU Antecedente, no trimestre seguinte. A forma encontrada para verificar a eficácia dos indicadores em mensurar a existência de pressão inflacionária foi inserir os diferentes hiatos de produto das NIRCU no modelo de Curva de Phillips, usando a metodologia de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO). De acordo com as estimativas, a NIRCU Antecedente foi a única das três que não apresentou um bom desempenho no resultado; as NIRCU Sondagem e Coincidente tiveram uma performance muita boa, principalmente a última. Ou seja, esses dois indicadores tiveram um resultado tão bom quanto as mais tradicionais medidas de hiato de produto.

Efeitos ambientais e genéticos sobre escores visuais e ganho de peso à desmama de animais formadores da raça Brangus

Estudaram-se os efeitos da idade da vaca ao parto e da idade do animal à desmama, bem como os efeitos genéticos aditivo direto e materno e da heterozigose individual, sobre os escores visuais de conformação, precocidade e musculatura e ganho de peso do nascimento à desmama, de animais formadores da raça Brangus. Foram analisados 53.683, 45.136, 52.937 e 56.471 dados de conformação, precocidade e musculatura à desmama e ganho de peso do nascimento à desmama, respectivamente, de animais nascidos entre 1986 e 2002, provenientes do arquivo zootécnico da empresa Gensys Consultores Associados S/C Ltda. Os efeitos de ambiente e genéticos sobre as características em estudo foram analisados pelo método de quadrados mínimos usando modelos matemáticos que incluíram grupo de contemporâneos como variável classificatória e a idade da vaca ao parto, a idade do animal à desmama e os efeitos aditivo direto e materno e da heterozigose individual como co-variáveis. Todos os efeitos incluídos nos modelos afetaram significativamente as características avaliadas, com exceção do efeito da idade da vaca ao parto sobre o ganho de peso do nascimento à desmama e do efeito aditivo materno sobre todas as características estudadas. Os efeitos ambientais e genéticos revelaram-se importantes fontes de variação para as características estudadas e devem, pois, ser considerados na distinção e comparação dos animais para seleção.