La conexión de las enseñanzas de la geometría y la física.

Defiende la importancia de las conexiones entre la geometría y la física en la escuela primaria y lo justifica con criterios científicos, sociológicos, psicológicos, paidológicos, didácticos y humanos. Analiza los problemas fundamentales para lograr ese objetivo: preparación geométrica, refiriéndose a que el conocimiento de la Física nunca puede preceder al geométrico; falta de textos adecuados para su enseñanza; madurez para discernir: percibe la relación entre elementos siempre que ésta sea lógica, clara y precisa; relación de la conexión. Concluye con un ejemplo práctico.

Amplitud de la matemática moderna: referencia especial a la geometría y vectores.

Se desarrollan los conceptos de matemática moderna, ciencia iniciada en el siglo XIX, sus principales aportaciones y sus principales ideas, su rápida evolución y el gran desarrollo de sus distintas ramas; así como, también, el de la geometría moderna. En último lugar, se presenta una iniciación al estudio de los vectores. Se destacan los fundamentos de esta nueva geometría abstracta, descubierta en el siglo XIX y concebida como un auténtico sistema, y la importancia de la geometría analítica de Descartes, en cuanto que supuso los comienzos de la matemática moderna.

Enseñanzas de Educación Preescolar y del Ciclo Inicial de la Educación General Básica.

Contiene: Boletín Oficial del Estado: Legislación; Niveles básicos de referencia de Lengua Castellana: preescolar y Ciclo Inicial; Preescolar: Bloque temático número 1: Comprensión auditiva y visual; Bloque temático número 2: Expresión oral; Bloque temático número 3: Lectura; Bloque temático número 4: Escritura; Ciclo Inicial: Bloque temático número 1: Comprensión y expresión oral; Bloque temático número 2: Lectura; Bloque temático número 3: Escritura; Niveles básicos de referencia de matemáticas: preescolar y Ciclo Inicial; Bloque temático número 1: Experiencias con materiales separados y contínuos, iniciación a la clasificiación y seriación; Bloque temático número 2: Exploración del espacio y primeros pasos en Geometría; Bloque temático número 3: Experiencias prenuméricas; Ciclo Inicial: Bloque temático número 1: Conjuntos y correspondencias; Bloque temático número 2: Numeración; Bloque temático número 3: Operaciones; Bloque temático número 4: Medida; Bloque temático número 5: Geometría y topología; Niveles básicos de referencia de Experiencia Social y Natural: preescolar y Ciclo Inicial; Preescolar: Bloque temático número 1: Conocimiento de si mismo; Bloque temático número 2: Conocimiento del Medio; Bloque temático número 3: Desenvolvimiento en el Medio; Ciclo Inicial: Bloque temático número 1: Conocimiento de si mismo; Bloque temático número 2: Conocimiento del Medio; Bloque temático número 3: Desenvolvimiento en el Medio; Niveles básicos de referencia de Educación Artística: preescolar y Ciclo Inicial; Educación Plástica: Preescolar: Bloque temático número 1: Expresión libre de su mundo afectivo; Bloque temático número 2: Perfeccionamiento del trazo; Bloque temático número 3: Expresión a través de la imagen; Ciclo Inicial: Bloque temático número 1: Expresión libre del mundo de los objetos; Bloque temático número 2: Perfeccionamiento del trazo; Bloque temático número 3: Concepto de forma; Bloque temático número 4: Representación a través de imágenes consecutivas; Educación musical: Preescolar: Bloque temático número 1: Formación rítmica; Bloque temático número 2: Educación vocal; Bloque temático número 3: Educación auditiva; Ciclo Inicial: Bloque temático número 1: Formación rítmica; Bloque temático número 2: Educación vocal; Bloque temático número 3: Educación auditiva; Niveles básicos de referencia de Educación Física: preescolar y Ciclo Inicial; Preescolar: Bloque temático número 1: Contacto con los objetos; Bloque temático número 2: Conocimiento y Ajuste Corporal; Bloque temático número 3: Percepción y Estructuración espacial; Bloque temático número 4: Percepción y Estructuración espacial; Ciclo Inicial: Bloque temático número 1: Toma de contacto con los objetos; Bloque temático número 2: Esquema corporal; Bloque temático número 3: El espacio; Bloque temático número 4: El Tiempo; Niveles básicos de referencia de Comportamiento Afectivo Social: preescolar y Ciclo Inicial; Preescolar: Bloque temático número 1: Búsqueda de la propia identidad; Bloque temático número 2: Inserción en el entorno físico y social; Bloque temático número 3: Preparación para la Educación sexual; Bloque temático número 4: Valores y Comportamiento; Ciclo Inicial: Bloque temático número 1: Afirmación de si mismo; Bloque temático número 2: Integración en el entorno físico y social; Bloque temático número 3: Preparación para la Educación sexual; Bloque temático número 4: Valores y comportamiento.

La enseñanza de las Matemáticas en los niveles elementales y medio : su repercusión en la elección de carrera.

Se pretende, ciñiéndose al caso español, realizar un estudio de la evolución evidente de las matemáticas a lo largo de los últimos años, de forma que al final del mismo, se pueda cuantificar y por tanto valorar y comparar los distintos planes existentes en los últimos años en la enseñanza primaria y secundaria. El estudio analiza el comportamiento del alumnado procedente del plan de estudio de 1970, respecto a los alumnos procedentes de planes anteriores y posteriores a él. Estudio tanto cuantitativo como cualitativo del contenido de la asignatura -matemáticas- en los distintos planes de estudios analizados: plan de estudios del 45, del 70 y del 81. Se consideran factores sociales como el sexo, factores relativos a la política universitaria tales como el número de profesores, la dificultad, las nuevas carreras, el número de centros. Por último se analiza y observa la repercusión del alumnado de la universidad española desde el curso 60-61 hasta el 84-85 respecto a los cambios en los planes académicos en el momento de elección de carrera. En el periodo estudiado se observa que el comportamiento del alumnado desde el curso 60-61 hasta el 84-85 presenta grandes cambios: estancamiento y decrecimiento de las carreras más teóricas como Derecho y todas las pertenecientes a Letras. Se descartan como elementos determinantes en la elección de carreras factores sociales como el sexo, o político-culturales como el número de profesores, nuevas carreras, número de centros, etc. Deduciéndose que son los cambios en los planes académicos, en lo concerniente a la mayor o menor profundización en las matemáticas, lo que repercute en la elección de carreras por parte del alumnado.

Enseñanza interdisciplinaria : Geometría y arte. El ejemplo de la vesica piscis

El abordaje desde un enfoque interdisciplinario de ciertas problemáticas de la Geometría y del Arte no forma, por lo general, parte de la currícula de formación de grado ni de los profesores en matemática ni de los profesionales del diseño. En los cursos de posgrado GEOMETRÍA Y ARTE, niveles I y II: Morfogeneradores geométricos en el diseño se propone a los cursantes analizar las formas geométricas que subyacen en ciertos hechos de diseño, construyendo conocimientos teóricos y prácticos sobre las relaciones entre geometría y arte, a partir de una perspectiva que integra ambas disciplinas. Desde el marco didáctico que organiza la propuesta, para aprender los conocimientos matemáticos específicos los alumnos resuelven problemas, apropiándose de los modos de hacer y comunicar de dicha disciplina, otorgando así sentido al conocimiento matemático, que es considerado un producto cultural. La Geometría que se estudia es la implicada a partir de sus aplicaciones en el campo del diseño, como generadora de formas. Por otra parte, en las obras plásticas y de diseño que se indagan, se analizan patrones de orden y belleza y se considera el aspecto geométrico de su proceso creativo. Así, la simbiosis Geometría y Arte, constituye una efectiva herramienta para la labor específica del cursante, quien podrá transferir los conocimientos y metodología de análisis aprendidos, ya sea al ámbito educativo y/o al campo proyectual. Como ejemplo, se presenta el caso de la Vesica Piscis, forma característica de la Geometría sagrada de la Edad Media.

Geometría y espacio

La fuerte presencia de la imagen dentro de la cultura y el dominio de lectura que los jóvenes tienen de ella, se contradice con la carencia de recursos que ponen en juego en el momento de trasladar dichas habilidades en la construcción geométrica y espacial. El reconocimiento de dichas problemáticas condujo, en una primera instancia, a tratar de entender el orden causal de las mismas, a develar el lugar que ocupa la geometría en tanto indicador de la modalidad de estructuración del espacio y de los procesos de simbolización, a definir como interviene la institución escolar en dichos procesos, y a su vez, a la búsqueda de alternativas a su enseñanza que no sólo den significado y sentido, sino que posibiliten la construcción de conocimientos y relaciones que acerque al alumno al mundo que lo rodea.

Enseñanza interdisciplinaria : Geometría y arte. El ejemplo de la vesica piscis

El abordaje desde un enfoque interdisciplinario de ciertas problemáticas de la Geometría y del Arte no forma, por lo general, parte de la currícula de formación de grado ni de los profesores en matemática ni de los profesionales del diseño. En los cursos de posgrado GEOMETRÍA Y ARTE, niveles I y II: Morfogeneradores geométricos en el diseño se propone a los cursantes analizar las formas geométricas que subyacen en ciertos hechos de diseño, construyendo conocimientos teóricos y prácticos sobre las relaciones entre geometría y arte, a partir de una perspectiva que integra ambas disciplinas. Desde el marco didáctico que organiza la propuesta, para aprender los conocimientos matemáticos específicos los alumnos resuelven problemas, apropiándose de los modos de hacer y comunicar de dicha disciplina, otorgando así sentido al conocimiento matemático, que es considerado un producto cultural. La Geometría que se estudia es la implicada a partir de sus aplicaciones en el campo del diseño, como generadora de formas. Por otra parte, en las obras plásticas y de diseño que se indagan, se analizan patrones de orden y belleza y se considera el aspecto geométrico de su proceso creativo. Así, la simbiosis Geometría y Arte, constituye una efectiva herramienta para la labor específica del cursante, quien podrá transferir los conocimientos y metodología de análisis aprendidos, ya sea al ámbito educativo y/o al campo proyectual. Como ejemplo, se presenta el caso de la Vesica Piscis, forma característica de la Geometría sagrada de la Edad Media.

Geometría y espacio

La fuerte presencia de la imagen dentro de la cultura y el dominio de lectura que los jóvenes tienen de ella, se contradice con la carencia de recursos que ponen en juego en el momento de trasladar dichas habilidades en la construcción geométrica y espacial. El reconocimiento de dichas problemáticas condujo, en una primera instancia, a tratar de entender el orden causal de las mismas, a develar el lugar que ocupa la geometría en tanto indicador de la modalidad de estructuración del espacio y de los procesos de simbolización, a definir como interviene la institución escolar en dichos procesos, y a su vez, a la búsqueda de alternativas a su enseñanza que no sólo den significado y sentido, sino que posibiliten la construcción de conocimientos y relaciones que acerque al alumno al mundo que lo rodea.

Enseñanza interdisciplinaria : Geometría y arte. El ejemplo de la vesica piscis

El abordaje desde un enfoque interdisciplinario de ciertas problemáticas de la Geometría y del Arte no forma, por lo general, parte de la currícula de formación de grado ni de los profesores en matemática ni de los profesionales del diseño. En los cursos de posgrado GEOMETRÍA Y ARTE, niveles I y II: Morfogeneradores geométricos en el diseño se propone a los cursantes analizar las formas geométricas que subyacen en ciertos hechos de diseño, construyendo conocimientos teóricos y prácticos sobre las relaciones entre geometría y arte, a partir de una perspectiva que integra ambas disciplinas. Desde el marco didáctico que organiza la propuesta, para aprender los conocimientos matemáticos específicos los alumnos resuelven problemas, apropiándose de los modos de hacer y comunicar de dicha disciplina, otorgando así sentido al conocimiento matemático, que es considerado un producto cultural. La Geometría que se estudia es la implicada a partir de sus aplicaciones en el campo del diseño, como generadora de formas. Por otra parte, en las obras plásticas y de diseño que se indagan, se analizan patrones de orden y belleza y se considera el aspecto geométrico de su proceso creativo. Así, la simbiosis Geometría y Arte, constituye una efectiva herramienta para la labor específica del cursante, quien podrá transferir los conocimientos y metodología de análisis aprendidos, ya sea al ámbito educativo y/o al campo proyectual. Como ejemplo, se presenta el caso de la Vesica Piscis, forma característica de la Geometría sagrada de la Edad Media.

Geometría y espacio

La fuerte presencia de la imagen dentro de la cultura y el dominio de lectura que los jóvenes tienen de ella, se contradice con la carencia de recursos que ponen en juego en el momento de trasladar dichas habilidades en la construcción geométrica y espacial. El reconocimiento de dichas problemáticas condujo, en una primera instancia, a tratar de entender el orden causal de las mismas, a develar el lugar que ocupa la geometría en tanto indicador de la modalidad de estructuración del espacio y de los procesos de simbolización, a definir como interviene la institución escolar en dichos procesos, y a su vez, a la búsqueda de alternativas a su enseñanza que no sólo den significado y sentido, sino que posibiliten la construcción de conocimientos y relaciones que acerque al alumno al mundo que lo rodea.

Geometría y Arquitectura en las iglesias cortesanas de Madrid en el siglo XVIII

Con la llegada al trono español de Felipe V, una pléyade de arquitectos y artistas italianos y franceses fueron llamados a Madrid por la nueva dinastía borbónica para cambiar el gusto artístico de un país de cultura y costumbres ajenas. De las obras que estos arquitectos dejaron en España, nos hemos centrado en la arquitectura religiosa por ser más evidente esta influencia. Hemos analizado dos iglesias madrileñas: la de San Ignacio y la Basílica Pontificia de San Miguel (antes iglesia de los santos Justo y Pastor).

Cúpulas clásicas romanas: geometría y construcción

El fenómeno del origen y desarrollo de las cúpulas clásicas romanas es de difícil lectura, si se considera la compleja suma de condiciones que las generaron. Numerosos son los estudios sobre el valor simbólico de las primeras cúpulas con la intención de reconocer su significado formal en la cultura que impulsa su difusión y su lugar en la historia de la arquitectura. Menos frecuentes son los textos que analizan el desarrollo de los sistemas constructivos y de las especiales características geométricas de estas formas. El objetivo del presente trabajo de investigación es realizar un estudio de las geometrías de las cúpulas clásicas romanas de planta circular o poligonal, en directa conexión con los temas más propiamente constructivos que permiten generar estas formas. El levantamiento métrico de estas cúpulas se concibe como herramienta fundamental para poder realizar un análisis comparado en base a datos concretos. En algunos de los casos se aplica el método de la fotogrametría digital para realizar el levantamiento del intradós de las cúpulas, aprovechando las propiedades de versatilidad y agilidad de ejecución de este tipo de restitución. En otros casos se realiza una toma de datos directa para registrar solo alguna medida de referencia, como puede ser el diámetro interno de las cúpulas, considerado un útil parámetro de comparación entre los modelos estudiados. Las conclusiones indican una posible lectura del desarrollo de estas estructuras, que muestran variaciones de materiales, proporciones, tamaño y geometría considerables, formando sin duda un capítulo sorprendente en la historia de la arquitectura romana.

Pantheon y cúpulas clásicas romanas: geometría y construcción

En la presente tesis se propone un estudio del Pantheon, y en general de las cúpulas clásicas romanas, partiendo de la relación entre la bibliografía y documentación histórica, y el análisis geométrico y constructivo de algunos de los edificios considerados. La variedad de dimensiones, geometrías y sistemas constructivos aplicados en lugares y condiciones diferentes es muy grande. La información conservadas en los restos de estas arquitecturas suponen todavía una fuente por descubrir y explorar. Entre los múltiples aspectos que surgen al ocuparse del Pantheon y en general de cúpulas clásicas romanas, en este trabajo de tesis doctoral se elige enfocar principalmente el estudio en la geometría del intradós de las cúpulas. La potencialidad del hormigón romano se expresa con especial evidencia en el diseñ o y construcción de las superficies internas de las bóvedas, donde se persigue la experimentación de geometrías distintas. La comprensión de las técnicas constructivas empleadas para generar estas formas e incrementar sus dimensiones es sin duda una parte fundamental de la investigación, y se configura como un marco de conocimientos necesarios para el análisis de las cúpulas. El trabajo se desarrolla gracias a la aplicación de métodos de levantamiento indirecto actuales, que permiten la restitución métrica de objetos complejos con agilidad y precisión. Mediante el uso correcto de los instrumentos se consigue estudiar estructuras inaccesibles sin la necesidad de establecer un contacto directo con las superficies a medir. El uso del método de la fotogrametría digital de imágenes cruzadas y del escáner láser impulsan un continuo estudio crítico de los sistemas y una comparación directa entre ellos, generando paralelamente la información necesaria para poder aportar algunas consideraciones sobre la conformación de los objetos estudiados. La investigación se desarrolla, por tanto, entre el estudio comparado de las herramientas y de los sistemas de medición y el análisis geométrico-constructivo propio de las arquitecturas seleccionadas. La tesis abarca el estudio de las cúpulas clásicas romanas seleccionando una serie de edificios desde los primeros ejemplos del siglo II a.C. hasta las ultimas construcciones del siglo IV d.C.. Basándose en las características del conjunto de los edificios tratados, se estudia el desarrollo de esas formas constructivas en el tiempo y se reconoce en ellos la presencia de algunos elementos recurrentes. Además, la posibilidad de observar los restos antiguos conservados parcialmente o totalmente permite avanzar una hipotética clasificación de las geometrías de los intradoses de las cúpulas, poniéndola en relación con su propio desarrollo histórico. La cúpula del Pantheon precisa de un análisis particular y detallado. El estudio intenso de ese objeto arquitectónico tan sorprendente se perpetua desde hace numerosos siglos y el monumento todavía ofrece interrogantes abiertos. Un levantamiento arquitectónico actual del intradós de la cúpula puede generar material útil para realizar estudios sobre su conformación. Debido a la notoriedad del monumento, sus increíbles características y su perfecto estado de conservación, el Pantheon ha sido representado gráficamente desde hace siglos. Desde las primeras representaciones bidimensionales en planta, alzado y sección de época renacentista hasta las más modernas restituciones mediante escáner láser tridimensional, el Pantheon queda documentado por numerosos autores, que operan en épocas y con herramientas distintas. La posibilidad de confrontar las restituciones gráficas del mismo objeto a lo largo de un periodo de tiempo tan extenso, abre la investigación hacia un estudio comparativo de las técnicas de levantamiento de la antigüedad. Entre las bóvedas clásicas romanas, el Pantheon se considera la expresión máxima de las posibilidades de las técnicas y materiales, siendo al mismo tiempo parte de una cadena de evolución continua de la forma en construcción. Episodios de la historia de la arquitectura romana anteriores o posteriores al Pantheon se prestan para un análisis comparado. Como casos de estudio especifico se eligen el llamado Templo de Mercurio en Baia, cerca de Nápoles, la sala circular de las Termas con Heliocaminus en la Villa Adriana y el Mausoleo de Santa Constanza en Roma. Los tres ejemplos comparten el mismo principio constructivo y la forma supuestamente semiesférica del intradós de la cúpula, aun presentando características diferentes que dependen de sus funciones, dimensiones, época y sistemas de construcción. El método empleado en los estudios realizados es la fotogrametría digital de imágenes cruzadas, que precisa de herramientas y programas informáticos de fácil alcance para cualquier operador. La funcionalidad y eficacia de este sistema permite operar en condiciones desfavorables y perseguir la precisión de la medición. Mediante el empleo de la fotogrametría digital de imágenes cruzadas se consigue desarrollar con gran eficacia el trabajo de restitución de los ejemplos analizados. Únicamente en el caso del Pantheon, a la restitución fotogramétrica se suma un levantamiento mediante escáner láser tridimensional. El empleo del escáner láser permite registrar una enorme cantidad de información en tiempos muy reducidos, además de asegurar unos elementos de referencia útiles para la orientación y escala de los modelos fotogramétricos. Considerado el uso actual y eficiente del escáner láser en la documentación del patrimonio arquitectónico y arqueológico, su aplicación contribuye con fuerza al desarrollo de este trabajo de investigación. La descripción de las herramientas y de las técnicas empleadas para realizar las restituciones gráficas se considera parte del levantamiento, como documentación fiel del trabajo realizado y, como consecuencia, de las medidas obtenidas. Por estas razones se dedica un apartado de la tesis a la explicación de las fases de los trabajos de restitución y a la descripción de las características técnicas de las herramientas empleadas para ello. Los programas informáticos integrados posibilitan la comparación entre los resultados para verificar la aproximación y exactitud de las restituciones. Se presta atención a la comparación entre distintos levantamientos de un mismo objeto realizados con un solo sistema, pero en repetidas fases, o con distintos sistemas y herramientas. Es de especial interés la comparación entre los resultados de los levantamientos del intradós de la cúpula del Pantheon realizados mediante fotogrametría digital de imágenes cruzadas y con el escáner láser tridimensional. Una observación crítica de los datos generales asícomo de los detalles de los modelos de restitución ofrece material suficiente para formular alguna consideración acerca de dos métodos de levantamiento muy distintos. Como en todo proceso de levantamiento parte de la exactitud de los resultados depende de la labor critica, interpretativa y manual del operador. El análisis contrastado entre las distintas versiones de restitución de un mismo objeto es útil para una mejor aproximación a las medidas reales. Para poder efectuar los análisis geométricos del intradós de las cúpulas, se introduce una fase de estudio critico de los datos derivados de los levantamientos. La investigación se basa en la búsqueda de un modelo geométrico que se aproxime a los puntos levantados y que se genere a partir de unos rigurosos cálculos de promedios. Del modelo de restitución de puntos, que mantiene las irregularidades propias del objeto construido, se pasa a la creación de un modelo regular definido por claras leyes geométricas. La comparación directa entre las posiciones individuales de los puntos levantados y el modelo geométrico contribuyen a la comprensión del objeto de estudio, detectando irregularidades o deformaciones donde existan, y ofreciendo unos datos objetivos y cuantificables. Los análisis desarrollados evidencian la importancia de integrar la restitución métrica de los edificios con el estudio de su historia, geometría y construcción. El levantamiento como sistema de entendimiento integral de la arquitectura estimula la continua revisión de los resultados y el estudio comparado de la información derivada del análisis directo del edificio, mientras que la documentación conservada enriquece la investigación. Los trabajos de levantamiento y análisis realizados generan documentación nueva, ofreciendo un estudio crítico de la documentación disponible sobre los argumentos tratados y difundiendo el conocimiento de detalles del estado actual de las cúpulas estudiadas. Sin embargo, los interrogantes sobre los sistemas constructivos empleados para la construcción de las cúpulas estudiadas, y en particular del Pantheon, quedan irresolutos. La abundancia de los argumentos tratados permite la posible continuidad del trabajo, según una visión dinámica de la investigación como evolución ininterrumpida. En particular, las observaciones documentadas en este estudio abren el campo hacia un planteamiento transversal y multidisciplinar, que pueda profundizar el conocimiento de los edificios antiguos. El patrimonio de la arquitectura clásica estásujeto al deterioro en el tiempo, por lo que un estudio sobre su estado actual puede contribuir a manifestar necesidades reales, reflejando el vinculo directo existente entre conservación y levantamiento arquitectónico.

Atlas y topología del error como un sistema productivo en la arquitectura

En nuestra cultura, asumimos el error como algo vergonzoso, como un resultado ajeno a nuestra consciente autoría. Normalmente queremos desentendernos de él, pues se suele asociar a que ha sido el resultado de un accidente involuntario. Sin embargo, también es cierto que se suele usar como un mecanismo que despierta nuestro humor, la curiosidad, el extrañamiento y la sorpresa. El error en nuestra cultura se esconde en inverosímiles mensajes que nos rodean. Si se toma como ejemplo los errores que se encierran en la serie humorística de dibujos animados "El-coyote-y-el-correcaminos"1, se puede descubrir las numerosas consecuencias y actitudes encriptadas donde el error participa. A modo resumen estos son cinco de los mensajes capturados donde los errores participan. 1- El Coyote, siempre hambriento, y con ganas de atrapar al Correcaminos, tiene una gran variedad de modos acercamiento y decisiones de caza. Las tácticas parecen perfectas pero siempre tienen un error que, aunque hacen que no lleguen a su fin, cada vez son más divertidas y locas. El Coyote se enfrenta continuamente al cómo hacerlo con una creatividad, tan abierta como errada. 2- El Correcaminos en cambio, inconscientemente es capaz de usar las trampas que construye el Coyote sin que estás funcionen. Sin saber que pueden atraparle, las usa como si supiera que el no va a errar. El Coyote en cambio es incapaz de hacer esto, y las trampas siempre se vuelven contra él. 3- El Coyote en ocasiones se ve inmiscuido en un proceso de construcción de trampas laborioso. Este proceso, a su vez, también suele estar cargado de errores. A pesar de que por ensayo y error termina haciendo las cosas como preveía, todo acaba saltando por los aires y no funciona. 4- Más allá de los fallos constructivos de las trampas de caza, el Coyote erra a menudo cuando piensa que es “normal”, es decir se da cuenta que no puede hacer unas series de cosas y finalmente no las hace. Por ejemplo, unas veces en medio del aire cae porque piensa que le afecta la gravedad, otras, justo cuando va a atrapar el Correcaminos se extraña por ser más rápido y al final no lo consigue. 5- Por último, el Coyote cansado de artilugios, recurre a la estrategia. Asume que el Correcaminos es más rápido que él y por ello le dibuja en una pared un túnel con una carretera. El Correcaminos entonces, utiliza el túnel o la carretera como uno ya existente se tratara. Mientras, el Coyote sorprendido intenta seguirlo pero no puede, se choca con la pared, cae en su propia trampa. De estos lugares que se encuentran en la cultura y donde campa el error, se sirve la tesis para localizar su correspondencia con la arquitectura. Por lo que se plantean estos contextos de estudio: 1- La historia de la arquitectura está llena de diferentes modos de hacer y tomar decisiones, de proyecto. Existen diversos planteamientos para enfrentarse a una teoría y una práctica. Todos parecen seguros y certeros, en cambio se tiene la convicción de que no es así. La historia de la arquitectura siempre ha sido tan caótica, divertida y llena de errores como son los autores que la construyen. De ahí que se plantee la búsqueda de los errores en el estudio de la teoría de los conocimientos y procesos lógicos que han guiado a la ciencia hasta donde estamos hoy, la búsqueda del error en la arquitectura a través del error en la epistemología. 2- En la cotidianidad de la arquitectura se "juntan" dibujos hechos en planta con los hechos en sección, se viaja por los planos buscando referencias de secciones, se buscan entradas o salidas, se llevan parcialidades de una planta a otra, se leen pies de plano para interpretar lo que ocurre, se dialoga sobre un proyecto buscando un concepto, se montan volúmenes de documentos que te lo dan en planta, se intentan comprender situaciones volumétricas de dibujos en hechos en "2d" o se intenta comprender un montaje gravitatorio. Situaciones donde somos conscientes y otras no, donde se pone en marcha un ejercicio mental de acoplamiento estructural de todas las partes que se “juntan”, a pesar de que estas entre sí no estén realmente relacionadas y sí llenas de errores. Aprovechándose de la confianza del intercambio de información, los errores se cuelan hasta el final y no llegamos a reconocerlos. 3- En la arquitectura uno de los modos más habituales de enfrentarse al proyecto es a través del método de ensayo y error, a través del cual se hacen continuos dibujos o maquetas, una y otra vez. En arquitectura es común necesitar de la insistencia para localizar algo, reiterar la búsqueda de un deseo. Cada una de ellas con modificaciones de la anterior, con nuevas posibilidades y tanteos. Afrontar este proceso más allá de lo que es enfrentarse a un error, encierra actitudes, voluntades, potencialidades y afecciones diferentes entre sí. A la vez, este ejercicio, suele ser personal, por lo que cada acción de ensayo y error es difícil que se deba a un sólo nivel de funcionamiento, hay factores que se escapan del control o de la previsibilidad. Aunque a priori parece que el proceso por ensayo y error en el hacer arquitectónico intenta eliminar el error, hay ocasiones donde éste desvela nuevas posibilidades. 4- Las fichas de patologías de los edificios en arquitectura suelen ser documentos técnicos que aluden a los problemas constructivos de manera directa; humedades, grietas, fisuras, desprendimientos. Errores constructivos que sin embargo se olvidan de lo que pueden ser “errores arquitectónicos”. Es decir, el proceso de construcción, la espacialidad, el programa, el contexto o la iluminación se pueden trabar erróneamente, pero no necesariamente con fallos constructivos. Errores arquitectónicos que no se suelen registrar como tal. Se cree que hay un mundo de arquitectura patológica que va más allá de la situación de la normalidad edificatoria que se suele tratar. Errores integrados en el hacer arquitectónico que han terminado por generar una arquitectura singular pero no excéntrica, anormal y difícilmente genérica. Arquitecturas creadas bajo un “error de vida”, las cuales demuestran que se pueden alcanzar equilibrios ajenos a los que la razón habitual impone en el hacer. 5- Es también común en la arquitectura, la capacidad de proyectar futuro a través de los diferentes campos de oportunidad que se generan. Las oportunidades unas veces las ofrecen las normativas, pero otras son los errores que estas tienen las que se convierten en resquicios para construir realidades que se escapan a sus rigideces. Alturas máximas, edificaciones límites, espacios libres, alineaciones de fachada, programa permitido…, normalmente leyes de control que se imponen en la ciudad y que a veces se convierten en un modo de dominación. Reglas que antes de su puesta en funcionamiento se creen cerradas y lógicas e infranqueables, pero en su puesta en uso, empiezan a errar. Los resultados no salen como debían, y las palabras son interpretadas de forma diferente, por lo que el usuario empieza a aprovecharse de estos errores como vía de escape sobre ellas. Una vez planteados estos cinco lugares vinculados a sistemas arquitectónicos y que a la vez encierran de alguna forma la mirada positiva que en ocasiones la cultura ofrece, cabría ser más específicos y plantearse la pregunta: .Como el error ha sido y puede ser productivo en la arquitectura? Para responder en estos cinco contextos descritos y habituales en el hacer arquitectónico, se crean cinco “planos secuencia” como respuesta. Que usados como técnica de planificación de un pensamiento, permiten responder sin cortes y durante un tiempo prolongado reflexiones concatenadas entre sí. De este modo, los cinco planos secuencias son respuestas a la pregunta pero desde distintos ámbitos. Respuestas donde los resultados del error no avergüenzan a la arquitectura, sino que animan a usarlo, a experimentar con ello. Los planos secuencias son una cantera que contiene las marcas de los errores, tanto de un pasado como de un futuro inmanente. Un modo de ordenar la información, donde el tiempo no es una marca de linealidad cronológica, sino la búsqueda hacia delante y hacia atrás de la maduración de un concepto.

Trenzas y nudos

El objetivo de este trabajo es mostrar al lector la fuerte relación entre la teoría de trenzas y la teoría de nudos, dos ramas de la topología de baja de dimensión más próximas de lo que parece. La primera parte de este estudio está dedicada a los conceptos y resultados básicos acerca de teoría de trenzas, que nos ayudarán a cumplir nuestro objetivo. En segundo lugar, introduciremos la noción de nudo matemático y explicaremos cómo formarlos a partir de trenzas. En esta sección daremos dos grandes resultados: los Teoremas de Alexander y de Markov. Por último, nos aproximaremos a la construcción original del polinomio de Jones, un invariante de nudos, a partir de grupos de trenzas, lo que pone de manifiesto la estrecha relación entre estas disciplinas.