Análisis y modelización por FEM de elastómeros para silentblocks.

[ES]El objetivo de este trabajo es analizar el comportamiento de materiales elastómeros mediante el método de elementos finitos. Este análisis es necesario por la complejidad de los elastómeros y su comportamiento no común entre los materiales normalmente utilizados en ingeniería. Se pretende calcular la rigidez del material y modelizar su comportamiento.

Studio di una copertura di grande luce a forma libera

L' argomento di questa tesi tratta l'analisi di una copertura reticolare a forma libera di grande luce. Partendo da una modellazione FEM della reticolare risolta al calcolatore si è cercato un metodo di analisi semplificato alternativo per l'individuazione approssimata delle sollecitazioni che nascono in seguito ai carichi. Ripercorrendo i passi sviluppati dal metodo americano per il calcolo dei solai a fungo, si individuano le sezioni portanti principali della forma strutturale, deducendo l'andamento del momento flettente dagli sforzi in corrispondenza dei correnti tesi e compressi. Sulle stesse sezioni sono stati costruiti dei modelli mono e bidimensionali semplificati che cercano di rappresentare, con diversa scala di precisione, l'andamento della sollecitazione flettente realmente presente nella struttura. Dall'analisi del momento flettente risultante dai modelli monodimensionali si individuano le modifiche effettuabili sulla geometria strutturale con lo scopo di migliorarne la risposta globale ed i parametri di progetto utili per il dimensionamento. Al termine si sono confrontati i risultati ottenuti dalle due strutture analizzate, ovvero con o senza le modifiche alla geometria, riportando alcuni parametri caratteristici del comportamento strutturale e traendo così conclusioni sulla soluzione migliore.

Analisi termo-strutturale dell'impianto di scarico di un motoveicolo ad elevate prestazioni

Il lavoro svolto, in collaborazione con “Ducati Motor Holding”, si propone l’analisi, mediante l’applicazione di un software FEM (HyperWorks 9.0), della struttura rappresentata dai condotti di un girotubi di scarico motociclistico. Il primo obiettivo consiste nell’ottenimento di un modello agli elementi finiti della struttura. In questo senso si è anche compiuta un’indagine sperimentale per la caratterizzazione di un componente chiave del sistema (un supporto antivibrante in gomma). Le simulazioni di calcolo strutturale vogliono coinvolgere gli effetti che i carichi termici hanno nell’alterare le proprietà meccaniche dei materiali e nell’indurre sollecitazioni derivate dalle dilatazioni termiche. Si svolgono inoltre analisi di tipo dinamico per determinare i modi di vibrare della struttura e come le frequenze naturali vengano influenzate dagli effetti termici. Sulla base di ulteriori simulazioni sulla risposta in frequenza del sistema e di un riscontro sperimentale (prova accelerometrica), si è inoltre tentata una prima validazione del modello dal punto di vista dinamico. La finalità del lavoro risiede dunque nella determinazione delle criticità strutturali che il girotubi può manifestare durante il funzionamento, ma anche nell’esplorazione e applicazione delle potenzialità del software applicato, per l’analisi degli aspetti sopra esposti.

Modellazione multibody di veicoli ferroviari: sviluppo ed implementazione di modelli innovativi per l'analisi del contatto ruota - rotaia

The wheel - rail contact analysis plays a fundamental role in the multibody modeling of railway vehicles. A good contact model must provide an accurate description of the global contact phenomena (contact forces and torques, number and position of the contact points) and of the local contact phenomena (position and shape of the contact patch, stresses and displacements). The model has also to assure high numerical efficiency (in order to be implemented directly online within multibody models) and a good compatibility with commercial multibody software (Simpack Rail, Adams Rail). The wheel - rail contact problem has been discussed by several authors and many models can be found in the literature. The contact models can be subdivided into two different categories: the global models and the local (or differential) models. Currently, as regards the global models, the main approaches to the problem are the so - called rigid contact formulation and the semi – elastic contact description. The rigid approach considers the wheel and the rail as rigid bodies. The contact is imposed by means of constraint equations and the contact points are detected during the dynamic simulation by solving the nonlinear algebraic differential equations associated to the constrained multibody system. Indentation between the bodies is not permitted and the normal contact forces are calculated through the Lagrange multipliers. Finally the Hertz’s and the Kalker’s theories allow to evaluate the shape of the contact patch and the tangential forces respectively. Also the semi - elastic approach considers the wheel and the rail as rigid bodies. However in this case no kinematic constraints are imposed and the indentation between the bodies is permitted. The contact points are detected by means of approximated procedures (based on look - up tables and simplifying hypotheses on the problem geometry). The normal contact forces are calculated as a function of the indentation while, as in the rigid approach, the Hertz’s and the Kalker’s theories allow to evaluate the shape of the contact patch and the tangential forces. Both the described multibody approaches are computationally very efficient but their generality and accuracy turn out to be often insufficient because the physical hypotheses behind these theories are too restrictive and, in many circumstances, unverified. In order to obtain a complete description of the contact phenomena, local (or differential) contact models are needed. In other words wheel and rail have to be considered elastic bodies governed by the Navier’s equations and the contact has to be described by suitable analytical contact conditions. The contact between elastic bodies has been widely studied in literature both in the general case and in the rolling case. Many procedures based on variational inequalities, FEM techniques and convex optimization have been developed. This kind of approach assures high generality and accuracy but still needs very large computational costs and memory consumption. Due to the high computational load and memory consumption, referring to the current state of the art, the integration between multibody and differential modeling is almost absent in literature especially in the railway field. However this integration is very important because only the differential modeling allows an accurate analysis of the contact problem (in terms of contact forces and torques, position and shape of the contact patch, stresses and displacements) while the multibody modeling is the standard in the study of the railway dynamics. In this thesis some innovative wheel – rail contact models developed during the Ph. D. activity will be described. Concerning the global models, two new models belonging to the semi – elastic approach will be presented; the models satisfy the following specifics: 1) the models have to be 3D and to consider all the six relative degrees of freedom between wheel and rail 2) the models have to consider generic railway tracks and generic wheel and rail profiles 3) the models have to assure a general and accurate handling of the multiple contact without simplifying hypotheses on the problem geometry; in particular the models have to evaluate the number and the position of the contact points and, for each point, the contact forces and torques 4) the models have to be implementable directly online within the multibody models without look - up tables 5) the models have to assure computation times comparable with those of commercial multibody software (Simpack Rail, Adams Rail) and compatible with RT and HIL applications 6) the models have to be compatible with commercial multibody software (Simpack Rail, Adams Rail). The most innovative aspect of the new global contact models regards the detection of the contact points. In particular both the models aim to reduce the algebraic problem dimension by means of suitable analytical techniques. This kind of reduction allows to obtain an high numerical efficiency that makes possible the online implementation of the new procedure and the achievement of performance comparable with those of commercial multibody software. At the same time the analytical approach assures high accuracy and generality. Concerning the local (or differential) contact models, one new model satisfying the following specifics will be presented: 1) the model has to be 3D and to consider all the six relative degrees of freedom between wheel and rail 2) the model has to consider generic railway tracks and generic wheel and rail profiles 3) the model has to assure a general and accurate handling of the multiple contact without simplifying hypotheses on the problem geometry; in particular the model has to able to calculate both the global contact variables (contact forces and torques) and the local contact variables (position and shape of the contact patch, stresses and displacements) 4) the model has to be implementable directly online within the multibody models 5) the model has to assure high numerical efficiency and a reduced memory consumption in order to achieve a good integration between multibody and differential modeling (the base for the local contact models) 6) the model has to be compatible with commercial multibody software (Simpack Rail, Adams Rail). In this case the most innovative aspects of the new local contact model regard the contact modeling (by means of suitable analytical conditions) and the implementation of the numerical algorithms needed to solve the discrete problem arising from the discretization of the original continuum problem. Moreover, during the development of the local model, the achievement of a good compromise between accuracy and efficiency turned out to be very important to obtain a good integration between multibody and differential modeling. At this point the contact models has been inserted within a 3D multibody model of a railway vehicle to obtain a complete model of the wagon. The railway vehicle chosen as benchmark is the Manchester Wagon the physical and geometrical characteristics of which are easily available in the literature. The model of the whole railway vehicle (multibody model and contact model) has been implemented in the Matlab/Simulink environment. The multibody model has been implemented in SimMechanics, a Matlab toolbox specifically designed for multibody dynamics, while, as regards the contact models, the CS – functions have been used; this particular Matlab architecture allows to efficiently connect the Matlab/Simulink and the C/C++ environment. The 3D multibody model of the same vehicle (this time equipped with a standard contact model based on the semi - elastic approach) has been then implemented also in Simpack Rail, a commercial multibody software for railway vehicles widely tested and validated. Finally numerical simulations of the vehicle dynamics have been carried out on many different railway tracks with the aim of evaluating the performances of the whole model. The comparison between the results obtained by the Matlab/ Simulink model and those obtained by the Simpack Rail model has allowed an accurate and reliable validation of the new contact models. In conclusion to this brief introduction to my Ph. D. thesis, we would like to thank Trenitalia and the Regione Toscana for the support provided during all the Ph. D. activity. Moreover we would also like to thank the INTEC GmbH, the society the develops the software Simpack Rail, with which we are currently working together to develop innovative toolboxes specifically designed for the wheel rail contact analysis.

Il ruolo dei Sirfidi nell'agricoltura sostenibile: analisi del potenziale delle specie afidifaghe nella lotta biologica conservativa

Scopo della presente ricerca era quello di approfondire il ruolo dei Sirfidi afidifagi ponendo particolare attenzione alle interazioni multitrofiche e all'effetto del paesaggio sul popolamento di Sirfidi. Larve e pupe di Sirfidi sono state monitorate in siti a diverso impatto antropico, in particolare in monocolture di mais e frumento ed in aree a maggiore diversità. La percentuale di parassitizzazione è risultata significativamente maggiore in aree a maggiore semplificazione, in particolare nei campi di mais. Anche la tipologia dei parassitoidi di Sirfidi è risultata diversa: mentre Pachyneuron (Encyrtidae) è il parassitoide chiave nel mais, in altri siti i Diplazontini (Ichneumonidae) sono risultati più frequenti. La distribuzione spaziale di Sirfidi ed altri predatori/parassitoidi afidifagi è stata analizzata in campi di mais e frumento dal 2007 al 2009. I pattern di distribuzione spaziale e temporale sembrano tali da impedire la sovrapposizione degli afidifagi favorendo una partizione di nicchia. Il popolamento di Sirfidi in un'area rurale caratterizzata da forte ricchezza in elementi di naturalità è stata analizzata per tre anni consecutivi, permettendo il ritrovamento di specie molto rare come Criorhina pachymera. Ai dati ottenuti è stato applicato Syrph the Net per la valutazione dello stato di conservazione del sito; è stata riscontrata una percentuale elevata di specie osservate ma non attese confermando come questo parametro può essere molto utile nella valutazione del paesaggio soprattutto in ambienti rurali. Infine Syrph the Net è stato applicato al popolamento di Sirfidi della provincia di Ferrara confermando l'utilità di questa tecnica per la valutazione della conservazione degli habitat anche in comprensori molto ampi.

Analisi numerica della combustione di gas a basso potere calorifico per applicazioni a microturbine a gas

Il presente lavoro si occupa dell’analisi numerica di combustione di gas a basso potere calorifico (gas di sintesi derivanti da pirolisi di biomasse). L’analisi è stata condotta su due principali geometrie di camera di combustione. La prima è un bruciatore sperimentale da laboratorio adatto allo studio delle proprietà di combustione del singas. Esso è introdotto in camera separatamente rispetto ad una corrente d’aria comburente al fine di realizzare una combustione non-premiscelata diffusiva in presenza di swirl. La seconda geometria presa in considerazione è la camera di combustione anulare installata sulla microturbina a gas Elliott TA 80 per la quale si dispone di un modello installato al banco al fine dell’esecuzione di prove sperimentali. I principali obbiettivi conseguiti nello studio sono stati la determinazione numerica del campo di moto a freddo su entrambe le geometrie per poi realizzare simulazioni in combustione mediante l’utilizzo di diversi modelli di combustione. In particolare è stato approfondito lo studio dei modelli steady laminar flamelet ed unsteady flamelet con cui sono state esaminate le distribuzioni di temperatura e delle grandezze tipiche di combustione in camera, confrontando i risultati numerici ottenuti con altri modelli di combustione (Eddy Dissipation ed ED-FR) e con i dati sperimentali a disposizione. Di importanza fondamentale è stata l’analisi delle emissioni inquinanti, realizzata per entrambe le geometrie, che mostra l’entità di tali emissioni e la loro tipologia. Relativamente a questo punto, il maggior interesse si sposta sui risultati ottenuti numericamente nel caso della microturbina, per la quale sono a disposizione misure di emissione ottenute sperimentalmente. Sempre per questa geometria è stato inoltre eseguito il confronto fra microturbina alimentata con singas a confronto con le prestazioni emissive ottenute con il gas naturale. Nel corso dei tre anni, l’esecuzione delle simulazioni e l’analisi critica dei risultati ha suggerito alcuni limiti e semplificazioni eseguite sulle griglie di calcolo realizzate per lo studio numerico. Al fine di eliminare o limitare le semplificazioni o le inesattezze, le geometrie dei combustori e le griglie di calcolo sono state migliorate ed ottimizzate. In merito alle simulazioni realizzate sulla geometria del combustore della microturbina Elliott TA 80 è stata condotta dapprima l’analisi numerica di combustione a pieno carico per poi analizzare le prestazioni ai carichi parziali. Il tutto appoggiandosi a tecniche di simulazione RANS ed ipotizzando alimentazioni a gas naturale e singas derivato da biomasse. Nell’ultimo anno di dottorato è stato dedicato tempo all’approfondimento e allo studio della tecnica Large Eddy Simulation per testarne una applicazione alla geometria del bruciatore sperimentale di laboratorio. In tale simulazione è stato implementato l’SGS model di Smagorinsky-Lilly completo di combustione con modelli flamelet. Dai risultati sono stati estrapolati i profili di temperatura a confronto con i risultati sperimentali e con i risultati RANS. Il tutto in diverse simulazioni a diverso valore del time-step imposto. L’analisi LES, per quanto migliorabile, ha fornito risultati sufficientemente precisi lasciando per il futuro la possibilità di approfondire nuovi modelli adatti all’applicazione diretta sulla MTG.

Advanced N.D.T.: analisi e studio di componenti in materiale composito

Numerose evidenze dimostrano che le proprietà dei materiali compositi sono strettamente legate ai processi produttivi, alle tipologie di fibra e resina impiegate nel materiale stesso. Proprietà caratterizzate anche dai difetti contenuti nel materiale stesso. Nella tesi si presta particolare attenzione al processo produttivo con prepreg e autoclave trattando anche il tema della stesura di un ply-book. Si valutano in modo teorico e critico alcuni tra i metodi N.D.T. più avanzati tra cui: P.T.(Penetrant Test), Rx(Radiography Test), UT (Ultrasound Test in Phased Array) e IRT (InfraRed Termography - Pulsata). Molteplici sono i componenti testati che variano tra loro per: tipologia di resina e fibra impiegata, processo produttivo e geometria. Tutti questi componenti permettono di capire come i singoli parametri influenzino la visualizzazione e l'applicabilità delle tecniche N.D.T. sopra citate. Su alcuni provini è stata eseguita la prova meccanica Drop Weight Test secondo ASTM D7136 per correlare le aree di delaminazione indotte e la sensibilità di ogni singolo metodo, visualizzando così la criticità indotta dagli urti con bassa energia di impatto (BVID Barely Invisible Impact)di cui i materiali compositi soffrono durante la "service life". A conclusione del lavoro si potrà comprendere come solo l'analisi con più metodi in parallelo permetta di ottenere una adeguata Probability Of Detection.

Simulazione numerica di giunzioni incollate in materiali compositi : valutazione degli effetti di bordo

Sviluppo di uno studio numerico, tramite metodo agli elementi finiti (FEM), sull'effetto di bordo in giunti incollati a sovrapposizione semplice (unsupported single-lap joints). E’ stata implementata l’analisi numerica di provini standard da normativa relativa a test sperimentali, per giunzioni tra lamine metalliche e tra materiali compositi in fibre di carbonio/matrice epossidica (CFRP). E’ stato cercata la geometria del bordo dello strato adesivo che potrebbe garantire una maggiore resistenza del giunto.

Analisi dell'interazione terreno-struttura per la progettazione di una fondazione su pali di una pila da ponte

Analisi dell'interazione terreno-struttura nel caso di palo singolo caricato assialmente e perpendicolarmente all'asse. Studio analitico e modellazione agli elementi finiti, bidimensionale e tridimensionale. Analisi dell'interazione platea-pali-terreno nel caso di platea su pali. Studio analitico e modellazione agli elementi finiti, bidimensionale e tridimensionale.

Sviluppo e validazione di metodologie di analisi numerica per flussi cavitanti all'interno di iniettori ad alta pressione

Il continuo sviluppo dei sistemi di iniezione, rispondente ad aumento di performance unito alla riduzione delle emissioni inquinanti, evidenzia sempre più la necessità di studiare i fenomeni cavitanti che si instaurano all’interno degli iniettori. La cavitazione, infatti, se particolarmente intensa e prolungata nel tempo porta all’erosione del materiale con la conseguente rottura dell’organo elettromeccanico. Attraverso un confronto tra le diverse tipologie di fori iniettore, si è messa a punto una metodologia di analisi per prevedere quali siano le zone dell’iniettore a maggior rischio di danneggiamento per erosione da cavitazione e quale sia l’influenza della geometria su queste. Lo studio è stato effettuato con il software commerciale FLUENT, codice di simulazione fluidodinamica di ANSYS.

Analisi fluidodinamica di reattori utilizzati per la produzione di biogas

Il lavoro riguarda la caratterizzazione fluidodinamica di un reattore agitato meccanicamente utilizzato per la produzione di biogas. Lo studio è stato possibile attraverso l’impiego della PIV (Particle Image Velocimetry), tecnica di diagnostica ottica non invasiva adatta a fornire misure quantitative dei campi di velocità delle fasi all’interno del reattore. La caratterizzazione è stata preceduta da una fase di messa a punto della tecnica, in modo da definire principalmente l’influenza dello spessore del fascio laser e dell’intervallo di tempo tra gli impulsi laser sui campi di moto ottenuti. In seguito, il reattore è stato esaminato in due configurazioni: con albero in posizione centrata e con albero in posizione eccentrica. Entrambe le geometrie sono state inoltre analizzate in condizione monofase e solido-liquido. Le prove in monofase con albero centrato hanno permesso di identificare un particolare regime transitorio del fluido nei primi minuti dopo la messa in funzione del sistema di agitazione, caratterizzato da una buona efficienza di miscelazione in tutta la sezione di analisi. In condizioni di regime stazionario, dopo circa 1 ora di agitazione, è stato invece osservato che il fluido nella zona vicino alla parete è essenzialmente stagnante. Sempre con albero centrato, le acquisizioni in condizione bifase hanno permesso di osservare la forte influenza che la presenza di particelle di solido ha sui campi di moto della fase liquida. Per l’assetto con albero in posizione eccentrica, in condizione monofase e regime di moto stazionario, è stata evidenziata una significativa influenza del livello di liquido all’interno del reattore sui campi di moto ottenuti: aumentando il livello scalato rispetto a quello usato nella pratica industriale è stato osservato un miglioramento dell’efficienza di miscelazione grazie al maggior lavoro svolto dal sistema di agitazione. In questa configurazione, inoltre, è stato effettuato un confronto tra i campi di moto indotti da due tipologie di giranti aventi stesso diametro, ma diversa geometria. Passando alla condizione bifase con albero eccentrico, i risultati hanno evidenziato la forte asimmetria del reattore: è stato evidenziato, infatti, come il sistema raggiunga regimi stazionari differenti a seconda delle velocità di rotazione e delle condizioni adottate per il raggiungimento della stabilità. Grazie alle prove su piani orizzontali del reattore in configurazione eccentrica e condizioni bifase, è stato concluso che i sistemi in uso inducano un campo di moto prettamente tangenziale, non ottimizzato però per la sospensione della fase solida necessaria in questa tipologia di processi.

Studio di fattibilità del gruppo di sterzo di un rasaerba professionale

Studio del gruppo di sterzo di un nuovo trattore rasaerba professionale della Grillo S.p.A., azienda che opera nell'ambito dell'agricoltura e del giardinaggio. Lo studio consta principalmente nella definizione di una geometria di sterzo efficace in grado di garantire alla macchina rasaerba il più piccolo raggio di sterzata possibile, compatibilmente con gli ingombri e le dimensioni della macchina stessa, il cui vantaggio consiste nel permettere la realizzazione di traiettorie strette in prossimità di alberi e nell'intorno di ostacoli che possono essere presenti lungo i percorsi di taglio, caratteristica molto ricercata dai clienti ed indispensabile per ottenere alta guidabilità del veicolo e rasatura uniforme del manto erboso senza la necessità di interventi manuali. Le ruote sterzanti di un veicolo risultano parallele solo in condizioni di traiettorie rettilinee mentre in corrispondenza di traiettorie curve tendono ad assumere angoli diversi, venendo a mancare in questo modo il parallelismo. E' oggetto di questa trattazione determinare i valori degli angoli necessari per ottenere un determinato raggio di curvatura e definire di conseguenza il sistema articolato in grado di far seguire alle ruote l'andamento di questi angoli. L'obiettivo è quindi il miglioramento e l'evoluzione del gruppo di sterzo presente sulle macchine della stessa gamma cercando di realizzare un prodotto meccanicamente più semplice e con un comportamento regolare ed uniforme in funzione del verso di sterzata; l'analisi degli sforzi e le successive verifiche strutturali, anche mediante l'impiego di software FEM dei componenti soggetti a carichi variabili con il variare della sterzata, permetteranno di convalidarne l'integrità e l'effettiva resistenza alle sollecitazioni. I componenti primari dell'assale necessiteranno di essere verificati anche nel caso di carichi dinamici (urti) in situazioni particolarmente gravose tipiche di incidenti e rotture delle macchine Grillo avvenuti in fase di lavoro o nel caso di manovre incaute. La movimentazione del veicolo avverrà per mezzo di quattro motori idraulici due dei quali verranno installati in corrispondenza dei fuselli dell'assale sterzante: ciò comporterà il dimensionamento di tali motori al fine di garantire non solo la percorrenza del mezzo con una determinata velocità ma anche il taglio lungo salite di pendenza discreta, condizioni di lavoro ordinarie di molti utilizzatori.

Analisi energetica di un impianto di condizionamento a tutt'aria integrato con l'involucro opaco verticale di un edificio

Il mantenimento delle condizioni termoigrometriche ottimali all’interno di edifici mediante l’uso di unità di trattamento dell'aria comporta generalmente consumi energetici notevoli. Ciò che determina il livello entalpico di immissione dell’aria è il fabbisogno energetico dell’involucro edilizio: la geometria, i materiali di costruzione, unitamente ai carichi interni, alle infiltrazioni d’aria indesiderate, e ovviamente, alla zona climatica in cui l’edificio sorge, giocano un ruolo fondamentale nel computo dei consumi energetici. Nella pratica, esistono diverse soluzioni tecniche volte alla riduzione dei consumi e quindi dei costi di gestione di queste tipologie di impianto. Tra queste, occorre senz’altro ricordare l’inserimento del “cappotto termico” e delle cosiddette facciate ventilate. Ciascuna di queste due soluzioni interviene direttamente sull’involucro edilizio, riducendone il fabbisogno energetico. Si trovano poi soluzioni che non interessano direttamente l’involucro, ma che sono inserite all’interno dell’impianto in modo da ridurne i consumi. E’ il caso dei recuperatori di calore, scambiatori di calore che utilizzano l’aria prelevata dal locale condizionato per preriscaldare o preraffreddare l’aria esterna. Lo scopo di questo elaborato è quello di analizzare le prestazioni energetiche di un impianto di condizionamento che utilizzi, combinandole, due di queste soluzioni: l’intercapedine ventilata, con convezione di tipo forzata, e il recuperatore di calore. In particolare, si è fatto in modo che la facciata ventilata sia una sorta di componente dell’impianto, che risulta quindi “integrato nell’involucro”: l’idea è quella di studiare l’effetto della frazione di portata elaborata dall’impianto che viene inviata alla parete sui consumi energetici. Si è posta l’attenzione principalmente sulla stagione estiva, nella quale l’impianto studiato fa anche uso della tecnica del cosiddetto mist cooling: umidificando la portata d’aria di ripresa sia a monte che all’interno dell’intercapedine ventilata, si abbatte la temperatura dell’aria, con un conseguente abbattimento della temperatura di parete e con un notevole miglioramento delle prestazioni del recuperatore di calore.

Analisi degli effetti di trascinamento in relativita generale

Il presente lavoro si compone di una parte iniziale in cui si introducono i principi alla base della teoria della Relatività Generale, e viene discussa la loro effettiva importanza come elementi fondanti del lavoro di Einstein. Nel capitolo 1 si sviluppano i principali concetti di geometria differenziale utili alla comprensione dei risultati ottenuti nei capitoli successivi. In particolare viene mostrato un risultato notevole che permette di ricavare gli integrali primi del moto geodetico a partire dalla dipendenza del tensore metrico dalle coordinate utilizzate. Vengono poi brevemente introdotte le Equazioni di campo di Einstein. Nel capitolo 2 Viene ricavata la soluzione di Schwarzschild e le quantità conservate nel moto in caduta libera verso una sorgente a simmetria sferica e statica. Viene poi definito il concetto di orizzonte degli eventi. Infine nel capitolo 3 viene introdotta la metrica di Kerr, e si suggerisce come questa possa essere indotta da una sorgente massiva rotante. Vengono analizzati gli integrali primi del moto di particelle in caduta libera e da questi viene ricavata l'espressione dell'effetto di trascinamento. Vengono poi introdotto il concetto di limite statico e la definizione di ergosfera, e viene ricavata l'espressione del raggio dell'orizzonte degli eventi.