Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type

Soit $\displaystyle P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ un polynôme de degré $n$ et $\displaystyle M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|.$ Sans aucne restriction suplémentaire, on sait que $|P'(z)|\leq Mn$ pour $|z|\leq 1$ (inégalité de Bernstein). Si nous supposons maintenant que les zéros du polynôme $P$ sont à l'extérieur du cercle $|z|=k,$ quelle amélioration peut-on apporter à l'inégalité de Bernstein? Il est déjà connu [{\bf \ref{Mal1}}] que dans le cas où $k\geq 1$ on a $$(*) \qquad |P'(z)|\leq \frac{n}{1+k}M \qquad (|z|\leq 1),$$ qu'en est-il pour le cas où $k < 1$? Quelle est l'inégalité analogue à $(*)$ pour une fonction entière de type exponentiel $\tau ?$ D'autre part, si on suppose que $P$ a tous ses zéros dans $|z|\geq k \, \, (k\geq 1),$ quelle est l'estimation de $|P'(z)|$ sur le cercle unité, en terme des quatre premiers termes de son développement en série entière autour de l'origine. Cette thèse constitue une contribution à la théorie analytique des polynômes à la lumière de ces questions.

Spectral approximations to the fractional integral and derivative

In this paper, the spectral approximations are used to compute the fractional integral and the Caputo derivative. The effective recursive formulae based on the Legendre, Chebyshev and Jacobi polynomials are developed to approximate the fractional integral. And the succinct scheme for approximating the Caputo derivative is also derived. The collocation method is proposed to solve the fractional initial value problems and boundary value problems. Numerical examples are also provided to illustrate the effectiveness of the derived methods.

3D Acoustic Analysis Of Spherical Chamber Having Single Inlet And Multiple Outlet: An Impedance Matrix Approach

The transmission loss (TL) performance of spherical chambers having single inlet and multiple outlet is obtained analytically through modal expansion of acoustic field inside the spherical cavity in terms of the spherical Bessel functions and Legendre polynomials. The uniform piston driven model based upon the impedance [Z] matrix is used to characterize the multi-port spherical chamber. It is shown analytically that the [Z] parameters are independent of the azimuthal angle (phi) due to the axisymmetric shape of the sphere; rather, they depend only upon the polar angle (theta) and radius of the chamber R(0). Thus, the effects of relative polar angular location of the ports and number of outlet ports are investigated. The analytical results are shown to be in good agreement with the 3D FEA results, thereby validating the procedure suggested in this work.

The Baltic Dry Index: cyclicalities, forecasting and hedging strategies

The cyclical properties of the Baltic Dry Index (BDI) and their implications for forecasting performance are investigated. We find that changes in the BDI can lead to permanent shocks to trade of major exporting economies. In our forecasting exercise, we show that commodities and trigonometric regression can lead to improved predictions and then use our forecasting results to perform an investment exercise and to show how they can be used for improved risk management in the freight sector.

A Review of Operational Matrices and Spectral Techniques for Fractional Calculus

Recently, operational matrices were adapted for solving several kinds of fractional differential equations (FDEs). The use of numerical techniques in conjunction with operational matrices of some orthogonal polynomials, for the solution of FDEs on finite and infinite intervals, produced highly accurate solutions for such equations. This article discusses spectral techniques based on operational matrices of fractional derivatives and integrals for solving several kinds of linear and nonlinear FDEs. More precisely, we present the operational matrices of fractional derivatives and integrals, for several polynomials on bounded domains, such as the Legendre, Chebyshev, Jacobi and Bernstein polynomials, and we use them with different spectral techniques for solving the aforementioned equations on bounded domains. The operational matrices of fractional derivatives and integrals are also presented for orthogonal Laguerre and modified generalized Laguerre polynomials, and their use with numerical techniques for solving FDEs on a semi-infinite interval is discussed. Several examples are presented to illustrate the numerical and theoretical properties of various spectral techniques for solving FDEs on finite and semi-infinite intervals.

Formules de quadrature pour les fonctions entières de type exponentiel

Ce mémoire contient quelques résultats sur l'intégration numérique. Ils sont liés à la célèbre formule de quadrature de K. F. Gauss. Une généralisation très intéressante de la formule de Gauss a été obtenue par P. Turán. Elle est contenue dans son article publié en 1948, seulement quelques années après la seconde guerre mondiale. Étant données les circonstances défavorables dans lesquelles il se trouvait à l'époque, l'auteur (Turán) a laissé beaucoup de détails à remplir par le lecteur. Par ailleurs, l'article de Turán a inspiré une multitude de recherches; sa formule a été étendue de di érentes manières et plusieurs articles ont été publiés sur ce sujet. Toutefois, il n'existe aucun livre ni article qui contiennent un compte-rendu détaillé des résultats de base, relatifs à la formule de Turán. Je voudrais donc que mon mémoire comporte su samment de détails qui puissent éclairer le lecteur tout en présentant un exposé de ce qui a été fait sur ce sujet. Voici comment nous avons organisé le contenu de ce mémoire. 1-a. La formule de Gauss originale pour les polynômes - L'énoncé ainsi qu'une preuve. 1-b. Le point de vue de Turán - Compte-rendu détaillé des résultats de son article. 2-a. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Gauss. 2-b. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Turán. 3-a. Deux formules pour les fonctions entières de type exponentiel, analogues à celle de Gauss pour les polynômes. 3-b. Une formule pour les fonctions entières de type exponentiel, analogue à celle de Turán. 4-a. Annexe A - Notions de base sur les polynômes de Legendre. 4-b. Annexe B - Interpolation polynomiale. 4-c. Annexe C - Notions de base sur les fonctions entières de type exponentiel. 4-d. Annexe D - L'article de P. Turán.

Special functions of Weyl groups and their continuous and discrete orthogonality

Cette thèse s'intéresse à l'étude des propriétés et applications de quatre familles des fonctions spéciales associées aux groupes de Weyl et dénotées $C$, $S$, $S^s$ et $S^l$. Ces fonctions peuvent être vues comme des généralisations des polynômes de Tchebyshev. Elles sont en lien avec des polynômes orthogonaux à plusieurs variables associés aux algèbres de Lie simples, par exemple les polynômes de Jacobi et de Macdonald. Elles ont plusieurs propriétés remarquables, dont l'orthogonalité continue et discrète. En particulier, il est prouvé dans la présente thèse que les fonctions $S^s$ et $S^l$ caractérisées par certains paramètres sont mutuellement orthogonales par rapport à une mesure discrète. Leur orthogonalité discrète permet de déduire deux types de transformées discrètes analogues aux transformées de Fourier pour chaque algèbre de Lie simple avec racines des longueurs différentes. Comme les polynômes de Tchebyshev, ces quatre familles des fonctions ont des applications en analyse numérique. On obtient dans cette thèse quelques formules de <>, pour des fonctions de plusieurs variables, en liaison avec les fonctions $C$, $S^s$ et $S^l$. On fournit également une description complète des transformées en cosinus discrètes de types V--VIII à $n$ dimensions en employant les fonctions spéciales associées aux algèbres de Lie simples $B_n$ et $C_n$, appelées cosinus antisymétriques et symétriques. Enfin, on étudie quatre familles de polynômes orthogonaux à plusieurs variables, analogues aux polynômes de Tchebyshev, introduits en utilisant les cosinus (anti)symétriques.

A generic formula for the values at the boundary points of monic classical orthogonal polynomials

In a previous paper we have determined a generic formula for the polynomial solution families of the well-known differential equation of hypergeometric type σ(x)y"n(x)+τ(x)y'n(x)-λnyn(x)=0. In this paper, we give another such formula which enables us to present a generic formula for the values of monic classical orthogonal polynomials at their boundary points of definition.

Wavelets and the generalization of the variogram

The experimental variogram computed in the usual way by the method of moments and the Haar wavelet transform are similar in that they filter data and yield informative summaries that may be interpreted. The variogram filters out constant values; wavelets can filter variation at several spatial scales and thereby provide a richer repertoire for analysis and demand no assumptions other than that of finite variance. This paper compares the two functions, identifying that part of the Haar wavelet transform that gives it its advantages. It goes on to show that the generalized variogram of order k=1, 2, and 3 filters linear, quadratic, and cubic polynomials from the data, respectively, which correspond with more complex wavelets in Daubechies's family. The additional filter coefficients of the latter can reveal features of the data that are not evident in its usual form. Three examples in which data recorded at regular intervals on transects are analyzed illustrate the extended form of the variogram. The apparent periodicity of gilgais in Australia seems to be accentuated as filter coefficients are added, but otherwise the analysis provides no new insight. Analysis of hyerpsectral data with a strong linear trend showed that the wavelet-based variograms filtered it out. Adding filter coefficients in the analysis of the topsoil across the Jurassic scarplands of England changed the upper bound of the variogram; it then resembled the within-class variogram computed by the method of moments. To elucidate these results, we simulated several series of data to represent a random process with values fluctuating about a mean, data with long-range linear trend, data with local trend, and data with stepped transitions. The results suggest that the wavelet variogram can filter out the effects of long-range trend, but not local trend, and of transitions from one class to another, as across boundaries.

A full family of multimodal maps on the circle

We exhibit a family of trigonometric polynomials inducing a family of 2m-multimodal maps on the circle which contains all relevant dynamical behavior.

INEQUALITIES FOR ZEROS of JACOBI POLYNOMIALS VIA OBRECHKOFF'S THEOREM

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Monotonicity of the zeros of orthogonal polynomials through related measures

Relation between two sequences of orthogonal polynomials, where the associated measures are related to each other by a first degree polynomial multiplication (or division), is well known. We use this relation to study the monotonicity properties of the zeros of generalized orthogonal polynomials. As examples, the Jacobi, Laguerre and Charlier polynomials are considered. (c) 2005 Elsevier B.V. All rights reserved.

Zeros of classical orthogonal polynomials of a discrete variable

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Métodos numéricos para encontrar zeros de funções: aplicações para o Ensino Médio

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Formal group laws and hypergraph colorings

Thesis (Ph.D.)--University of Washington, 2016-06