THE REDUCTIVE PERTURBATION METHOD AND THE KORTEWEG-DE VRIES HIERARCHY

By using the reductive perturbation method of Taniuti with the introduction of an infinite sequence of slow time variables tau(1), tau(3), tau(5), ..., we study the propagation of long surface-waves in a shallow inviscid fluid. The Korteweg-de Vries (KdV) equation appears as the lowest order amplitude equation in slow variables. In this context, we show that, if the lowest order wave amplitude zeta(0) satisfies the KdV equation in the time tau(3), it must satisfy the (2n+1)th order equation of the KdV hierarchy in the time tau(2n+1), With n = 2, 3, 4,.... AS a consequence of this fact, we show with an explicit example that the secularities of the evolution equations for the higher-order terms (zeta(1), zeta(2),...) of the amplitude can be eliminated when zeta(0) is a solitonic solution to the KdV equation. By reversing this argument, we can say that the requirement of a secular-free perturbation theory implies that the amplitude zeta(0) satisfies the (2n+1)th order equation of the KdV hierarchy in the time tau(2n+1) This essentially means that the equations of the KdV hierarchy do play a role in perturbation theory. Thereafter, by considering a solitary-wave solution, we show, again with an explicit, example that the elimination of secularities through the use of the higher order KdV hierarchy equations corresponds, in the laboratory coordinates, to a renormalization of the solitary-wave velocity. Then, we conclude that this procedure of eliminating secularities is closely related to the renormalization technique developed by Kodama and Taniuti.

Boussinesq solitary-wave as a multiple-time solution of the Korteweg-de Vries hierarchy

We study the Boussinesq equation from the point of view of a multiple-time reductive perturbation method. As a consequence of the elimination of the secular producing terms through the use of the Korteweg-de Vries hierarchy, we show that the solitary-wave of the Boussinesq equation is a solitary-wave satisfying simultaneously all equations of the Korteweg-de Vries hierarchy, each one in an appropriate slow time variable. © 1995 American Institute of Physics.

The Korteweg-de Vries hierarchy and long water-waves

By using the multiple scale method with the simultaneous introduction of multiple times, we study the propagation of long surface-waves in a shallow inviscid fluid. As a consequence of the requirements of scale invariance and absence of secular terms in each order of the perturbative expansion, we show that the Korteweg-de Vries hierarchy equations do play a role in the description of such waves. Finally, we show that this procedure of eliminating secularities is closely related to the renormalization technique introduced by Kodama and Taniuti. © 1995 American Institute of Physics.

The Role of the Korteweg-de Vries Hierarchy in the N-Soliton Dynamics of the Shallow Water Wave Equation

We apply a multiple-time version of the reductive perturbation method to study long waves as governed by the shallow water wave model equation. As a consequence of the requirement of a secularity-free perturbation theory, we show that the well known N-soliton dynamics of the shallow water wave equation, in the particular case of α = 2β, can be reduced to the N-soliton solution that satisfies simultaneously all equations of the Korteweg-de Vries hierarchy.

First-order perturbed Korteweg-de Vries solitons

We consider the Korteweg-de Vries equation with a perturbation arising naturally in many physical situations. Although being asymptotically integrable, we show that the corresponding perturbed solitons do not have the usual scattering properties. Specifically, we show that there is a solution, correct up to O(ε), where ε is the perturbative parameter, consisting, at t→ -∞ of two superposed deformed solitons characterized by wave numbers k1 and k2 that give rise, for t→ +∞, to the same but phase-shifted superposed solitons plus a coupling term depending on k1, and k2. We also find the condition on the original equation for which this coupling vanishes.

Quasimodular instanton partition function and the elliptic solution of Korteweg-de Vries equations

Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)

Three dimensional Lifshitz black hole and the Korteweg-de Vries equation

We consider a solution of three dimensional New Massive Gravity with a negative cosmological constant and use the AdS/CTF correspondence to inquire about the equivalent two dimensional model at the boundary. We conclude that there should be a close relation of the theory with the Korteweg-de Vries equation. (C) 2012 Elsevier B.V..All rights reserved.

Solitrons Hidrodinâmicos de Korteweg-de Vries.

Esse artigo foi escrito para alunos de graduação e pós- graduação em Física e para alunos de Engenharia. Primeiramente mostramos como construir a equação diferencial não-linear de Korteweg e de Vries a partir das equações básicas da hidrodinâmica. Em seguida mostramos como resolvê-la obtendo as ondas denominadas de solitons.

Solution of the pulse width modulation problem using orthogonal polynomials and Korteweg-de Vries equations

The mathematical underpinning of the pulse width modulation (PWM) technique lies in the attempt to represent “accurately” harmonic waveforms using only square forms of a fixed height. The accuracy can be measured using many norms, but the quality of the approximation of the analog signal (a harmonic form) by a digital one (simple pulses of a fixed high voltage level) requires the elimination of high order harmonics in the error term. The most important practical problem is in “accurate” reproduction of sine-wave using the same number of pulses as the number of high harmonics eliminated. We describe in this paper a complete solution of the PWM problem using Padé approximations, orthogonal polynomials, and solitons. The main result of the paper is the characterization of discrete pulses answering the general PWM problem in terms of the manifold of all rational solutions to Korteweg-de Vries equations.

Evaluation et validation des équations de prédiction du risque de diabète dans la population lausannoise : étude CoLaus

Le diabète de type 2 est une maladie fréquente et en augmentation dans le monde entier. Malheureusement, elle est souvent diagnostiquée à un stade ou des complications sont déjà apparues. Depuis quelques années, des scores ont été développés pour identifier les sujets à risque de développer cette maladie. L'utilisation d'un tel score par le praticien pourrait amener ces patients à des mesures préventives, telles que le changement d'hygiène de vie, ou la prescription d'un traitement médicamenteux. Le but de notre étude est de comparer et de valider différents scores de risques de diabète de type 2 et de déterminer leur capacité à prédire la survenue de cette maladie dans la population de la cohorte CoLaus. Les premiers résultats, en étude transversale, ont tout d'abord montré de grandes différences quant à la population à risque d'un score à l'autre. En effet, le nombre de personnes à traiter varie considérablement selon la méthode utilisée. Ces différents scores ont donc nécessité une validation prospective. Ces résultats ont fait l'objet d'une publication (Schmid et col, Diabetes Care. 2011 Aug;34(8):1863-8). Au moyen des données du suivi à 5 ans, il est sorti qu'un score de risque utilisant des variables biologiques et cliniques, ainsi qu'un score utilisant des variables uniquement cliniques, obtenaient de très bon résultats quant à la prédiction du diabète de type 2. En effet, un des scores testés donne une valeur prédictive positive d'environ 20% à 5 ans, ce qui signifie qu'un patient « détecté » sur 5 pourrait bénéficier d'une intervention précoce. Toutefois, ces résultats concernent la population lausannoise et ne sont donc pas forcément applicables à l'ensemble de la population suisse. De plus, de plus amples études sont nécessaires évaluer l'efficacité d'un tel score dans la prévention du diabète en Suisse. Ces résultats ont fait l'objet d'une seconde publication (Schmid et col, Arch Intern Med. 2012 Jan 23;172(2):188-9). Dans un troisième volet de l'étude, l'impact de marqueurs génétiques a été évalué dans un sous- groupe de la population CoLaus. Les résultats n'ont toutefois montré qu'une très faible amélioration de la prédiction du risque en utilisant ces marqueurs. Ceci devrait nous encourager à intensifier les efforts de prévention sur le style de vie pour toute la population, plutôt qu'une approche ciblée sur les personnes génétiquement prédisposées. Ces résultats ont fait l'objet d'une troisième publication (Schmid et col, J Clin Endocrinol Metab. 2012 Apr 24. [Epub ahead of print]). La même démarche méthodologique a été utilisée pour évaluer l'importance pronostique de plusieurs marqueurs inflammatoires (interleukines 1 et 6, Τ Ν F-, protéine C-réactive) hépatiques (GT) ou adipocytaires (leptine et adiponectine) dans la survenue du diabète. Ces résultats sont actuellement soumis au Journal of Clinical Endocrinology and Metabolism).

Méthodes rapides et efficaces pour la résolution numérique d'équations de type Hamilton-Jacobi avec application à la simulation de feux de forêt

Cette thèse est divisée en trois chapitres. Le premier explique comment utiliser la méthode «level-set» de manière rigoureuse pour faire la simulation de feux de forêt en utilisant comme modèle physique pour la propagation le modèle de l'ellipse de Richards. Le second présente un nouveau schéma semi-implicite avec une preuve de convergence pour la solution d'une équation de type Hamilton-Jacobi anisotrope. L'avantage principal de cette méthode est qu'elle permet de réutiliser des solutions à des problèmes «proches» pour accélérer le calcul. Une autre application de ce schéma est l'homogénéisation. Le troisième chapitre montre comment utiliser les méthodes numériques des deux premiers chapitres pour étudier l'influence de variations à petites échelles dans la vitesse du vent sur la propagation d'un feu de forêt à l'aide de la théorie de l'homogénéisation.

Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, professées à Stockholm (septembre, octobre, novembre 1895) sur lʼinvitation de S.M. le roi de Suède et de Norwège /

Autographed.