927 resultados para optimal reactive power flow
Resumo:
Hybrid electric vehicles (HEV) have attracted very much attention during the latest years. Increasing environmental concern and an increase in fuel prices are key factors for the growing interest towards the HEV. In a hybrid electric vehicle the power train consists of both a mechanical power system and an electric power transmission system. The major subsystems in the mechanical power system are the internal combustion engine which powers the vehicle; electric power transmission including an energy storage, power electronic inverter, hybrid control system; the electric motor drive that runs either in the generating mode or in the motoring mode to process the power flow between the energy storage and the electrical machine. This research includes two advanced electric motors for a parallel hybrid: induction machine and permanent magnets synchronous machine. In the thesis an induction motor and a permanent magnet motor are compared as propulsion motors. Electric energy storages are also studied.
Resumo:
Sähkönjakeluverkkoyhtiöllä on sähkön siirtopalveluun alueellinen monopoli. Siirtohinnoittelun reunaehdot tulevat sähkömarkkinalaista ja hintojen kohtuullisuutta valvoo ja sääntelee Energiamarkkinavirasto. Tässä työssä selvitetään Turku Energia Sähköverkot Oy:lle kustannusvastaavat aiheuttamisperiaatteen mukaiset siirtohinnat. Samalla muodostetaan yleis-, yö- ja kausituotteiden perusmaksuihin asiakkaan liittymispisteen pääsulakkeen kokoon perustuva porrastus. Sulakeporrastuksen käyttöönotolla pystytään kehittämään siirtohinnoittelun kustannusvastaavuutta ja noudattamaan aiheuttamisperiaatteen mukaista hinnoittelupolitiikkaa entistä paremmin. Työssä tutkitaan siirtohinnoittelun kehitysnäkymiä myös pidemmällä tähtäimellä. Älykkäiden sähköverkkojen kehittyminen ja erityisesti etäluettavien mittareiden käyttöönotto tulevat luomaan kehitysmahdollisuuksia siirtohinnoitteluun tulevaisuudessa. Laitteista saatavia tarkkoja sähkönkulutus- ja tehotietoja voidaan käyttää kustannusvastaavuuslaskennan taustalla. Jotta verkon käyttö olisi sen mitoitukseen nähden mahdollisimman tehokasta, tulisi kuorman jakautua mahdollisimman tasaisesti ajan suhteen. Verkossa esiintyviä kulutushuippuja pystytään tulevaisuudessa mahdollisesti tasoittamaan esimerkiksi kuorman ohjauksen avulla, jonka tehokeinona voidaan käyttää siirtohinnoittelua. Siirtohinnoilla voidaan mahdollisesti vaikuttaa myös esimerkiksi kulutuksen ja tuotannon ajoittamiseen sekä kannusta asiakkaita loistehon kompensointiin. Siirtotuotteiden täytyy myös kehittyä asiakkaiden tarpeiden kehittymisen rinnalla ja esimerkiksi sähkön laadun tuotteistaminen voi olla eräs keino vastaamaan tiukentuneisiin vaatimuksiin.
Resumo:
Diplomityössä tarkastellaan tapausta, jossa tasasähköverkon vaihtosuuntaaja toteutetaan kolmella yksivaiheisella suuntaajalla yhden kolmivaiheisen sijaan. Modulaarinen rakenne mahdollistaa sen, että osa vaiheista voitaisiin sammuttaa kun kuormitus on erittäin pientä eikä kuorma ole kolmivaiheista. Galvaaninen erotus oletetaan tehtävän erottavalla DC-DC -konvertterilla, joka mahdollistaa samalla vaihtosuuntaajan DC-syöttöjännitteen muuttamisen. Työssä tutkitaan, mitkä tekijät vaikuttavat DC-syöttöjännitteen valintaan sekä tehdään valinta kyseisen jännitteen arvolle. Valittua jännitetasoa käytetään vaihtosuuntaajan suunnittelemiseen. Vaihtosuuntaajan rakennetta tarkastellaan vaihtosuuntaussillan kytkinkomponenttien sekä lähtöjännitteen suotimen osalta. Yksivaiheiselle moduulille määritetään optimaalinen teholuokka investointi- ja käyttökustannusten kannalta. Tarkastelu pitää sisällään erilaisten transistoritekniikkojen, kytkentätaajuuksien sekä kahden suodintyypin vaikutuksen kustannustehokkuuteen.
Resumo:
Currently, a high penetration level of Distributed Generations (DGs) has been observed in the Danish distribution systems, and even more DGs are foreseen to be present in the upcoming years. How to utilize them for maintaining the security of the power supply under the emergency situations, has been of great interest for study. This master project is intended to develop a control architecture for studying purposes of distribution systems with large scale integration of solar power. As part of the EcoGrid EU Smart Grid project, it focuses on the system modelling and simulation of a Danish representative LV network located in Bornholm island. Regarding the control architecture, two types of reactive control techniques are implemented and compare. In addition, a network voltage control based on a tap changer transformer is tested. The optimized results after applying a genetic algorithm to five typical Danish domestic loads are lower power losses and voltage deviation using Q(U) control, specially with large consumptions. Finally, a communication and information exchange system is developed with the objective of regulating the reactive power and thereby, the network voltage remotely and real-time. Validation test of the simulated parameters are performed as well.
Resumo:
This work presents an application of the Mobility Approach to the analysis of the power flow through grillage-like structures. Such structures are usually found in offshore platforms, supporting large and heavy machines. Different wave kinds (longitudinal, flexural and torsional) were initially considered in the power flow analysis between two beams joined in L. Beams excited by an in-plane point force showed strong coupling between longitudinal-flexural waves, while that for out-of-plane point force excitation, flexural-torsional waves coupling represents the most important mechanism of energy transmission. The response determination of grillages by the mobility approach requires the structure to be separated into simple beam-like structural components. Equations for rotations and displacements at the joints of all beams are written for as mobility functions, and moments and forces acting at the joints. A system of equations relating all such internal forces and moments is obtained. This approach was applied to simple grillages. Response results showed good agreement when compared to those provided by Finite Elements.
Resumo:
At present, permanent magnet synchronous generators (PMSGs) are of great interest. Since they do not have electrical excitation losses, the highly efficient, lightweight and compact PMSGs equipped with damper windings work perfectly when connected to a network. However, in island operation, the generator (or parallel generators) alone is responsible for the building up of the network and maintaining its voltage and reactive power level. Thus, in island operation, a PMSG faces very tight constraints, which are difficult to meet, because the flux produced by the permanent magnets (PMs) is constant and the voltage of the generator cannot be controlled. Traditional electrically excited synchronous generators (EESGs) can easily meet these constraints, because the field winding current is controllable. The main drawback of the conventional EESG is the relatively high excitation loss. This doctoral thesis presents a study of an alternative solution termed as a hybrid excitation synchronous generator (HESG). HESGs are a special class of electrical machines, where the total rotor current linkage is produced by the simultaneous action of two different excitation sources: the electrical and permanent magnet (PM) excitation. An overview of the existing HESGs is given. Several HESGs are introduced and compared with the conventional EESG from technical and economic points of view. In the study, the armature-reaction-compensated permanent magnet synchronous generator with alternated current linkages (ARC-PMSG with ACL) showed a better performance than the other options. Therefore, this machine type is studied in more detail. An electromagnetic design and a thermal analysis are presented. To verify the operation principle and the electromagnetic design, a down-sized prototype of 69 kVA apparent power was built. The experimental results are demonstrated and compared with the predicted ones. A prerequisite for an ARC-PMSG with ACL is an even number of pole pairs (p = 2, 4, 6, …) in the machine. Naturally, the HESG technology is not limited to even-pole-pair machines. However, the analysis of machines with p = 3, 5, 7, … becomes more complicated, especially if analytical tools are used, and is outside the scope of this thesis. The contribution of this study is to propose a solution where an ARC-PMSG replaces an EESG in electrical power generation while meeting all the requirements set for generators given for instance by ship classification societies, particularly as regards island operation. The maximum power level when applying the technology studied here is mainly limited by the economy of the machine. The larger the machine is, the smaller is the efficiency benefit. However, it seems that machines up to ten megawatts of power could benefit from the technology. However, in low-power applications, for instance in the 500 kW range, the efficiency increase can be significant.
Resumo:
Talotekniikan alalla valaistusmuutoksissa LED-valaistus on nykypäivää. Valaistuksen käyttöominaisuudet ja hyödyt tekevät siitä perustellun valinnan myös suurissa kohteissa. Näistä laajemmista valaistuksen muutoksista ja niiden vaikutuksista sähkön laatuun ei ole yleisesti mittaustietoa. Tämä tutkimus perustui sähkön laadun käytännön mittauksiin valaistusmuutoksessa, jossa elohopeahöyrylampuilla toteutettu valaistus vaihdettiin LED-valaistukseen hypermarketin pysäköintihallissa. Valaistusjärjestelmän muutoksen vaikutusta sähkön laatuun tutkittiin vertailemalla mittaustuloksia vanhan ja uuden järjestelmän välillä. Tutkimuksen tarkoituksena oli osoittaa miten LED-valaistukseen siirtyminen vaikuttaa sähkön laatuun valitussa tutkimuskohteessa. Tutkimuksessa tuotettu tieto on hyödynnettävissä vastaavissa kohteissa LED-valaistukseen siirryttäessä sekä valaistuksen käyttöönoton suunnittelussa ja toteuttamisessa. Tutkimuksen tuloksia voidaan hyödyntää myös kustannusten arvioimisessa valaistavan tilan sähkönkulutuksen osalta. Tutkimus toteutettiin käyttämällä triangulaatiomenetelmää eli teemahaastattelulla, kirjallisuuskatsauksella ja käytännön mittauksilla. Näiden menetelmien tulokset tukivat tutkimukselle asetettuja hypoteeseja. Valitulla tutkimusmenetelmällä saatiin selville, että LED-valaistukseen siirtymisellä ei ollut heikentäviä vaikutuksia sähkön laatuun tutkitun kohteen valaistusjärjestelmässä. Toisaalta positiivisina vaikutuksina huomioitiin muun muassa merkittävä energian säästö, virran harmonisten häiriöiden väheneminen sekä kokonaistehokertoimen parantuminen.
Resumo:
Wind turbines based on doubly fed induction generators (DFIG) become the most popular solution in high power wind generation industry. While this topology provides great performance with the reduced power rating of power converter, it has more complicated structure in comparison with full-rated topologies, and therefore leads to complexity of control algorithms and electromechanical processes in the system. The purpose of presented study is to present a proper vector control scheme for the DFIG and overall control for the WT to investigate its behavior at different wind speeds and in different grid voltage conditions: voltage sags, magnitude and frequency variations. The key principles of variable-speed wind turbine were implemented in simulation model and demonstrated during the study. Then, based on developed control scheme and mathematical model, the set of simulation is made to analyze reactive power capabilities of the DFIG wind turbine. Further, the rating of rotor-side converter is modified to not only generate active rated active power, but also to fulfill Grid Codes. Results of modelling and analyzing of the DFIG WT behavior under different speeds and different voltage conditions are presented in the work.
Resumo:
Sähkömarkkinalakimuutokset ovat ohjanneet useita verkkoyhtiötä muuttamaan investoin-tistrategioitaan. Kiristyneet toimitusvarmuusvaatimukset edellyttävät useilta verkkoyh-tiöiltä aiempaa suurempaa panostusta jakeluverkon kehittämiseksi. Toimitusvarmuusvaa-timusten täyttäminen edellyttää myös merkittäviä muutoksia verkkoyhtiöiden käyttämiin verkostotekniikoihin. Suurhäiriöille alttiita ilmajohtoja muutetaan verkkoyhtiöissä totuttua nopeammalla aikataululla maakaapeleiksi tiukentuneiden toimitusvarmuusvaatimusten täyttämiseksi. PKS Sähkönsiirto Oy:n 20 kV sähköverkko on ollut suurimmalta osalta avojohtoverkkoa jossa toimitusvarmuus ei ole nykyisellään muuttuneen sähkömarkkinalain asettamalla ta-solla. Tämä on johtanut verkostostrategian luomiseen, jossa yhtenä toimena toimitusvar-muuden lisäämiseksi vaaditulle tasolle on avojohtolinjojen korvaaminen maakaapeleilla. Maakaapelointien nopea rakennusaikataulu tuo monia haasteita verkkoyhtiöille. Maakaa-pelointien korkea maasulkuvirran ja loistehon tuotto verrattuna avojohtoverkkoon tulee huomioida yhtiössä verkkoa rakennettaessa. Tässä diplomityössä selvitetään PKS Sähkönsiirto Oy:n verkostostrategian mukaisten maakaapelointien vaikutuksia sähköverkolle. Työssä on arvioitu tavoiteverkon mukaisten maakaapeleiden aiheuttamaa maasulkuvirran ja loistehon tuoton tasoa. Tulosten perusteel-la on tehty johtopäätökset mihin verkkoyhtiön on kiinnitettävä huomioita kaapelointeja suunnitellessa ja toteuttaessa.
Resumo:
Tutkimuksessa käsitelty kemikaalitehdas on 110 kV:n kantaverkkoon liittyvä tehointensiivinen teollisuuslaitos. Prosessien käyttöön mukautetut sähkönjakeluverkon yliaaltosuodattimet ja niiden käyttökytkennät ovat tärkeässä asemassa loistehon tuoton hallitsemiseksi liittymän loistehoikkunaan ja riittävän yliaaltosuodatuksen järjestämiseksi häviöt minimoiden. Kohteena olleen kemikaalitehtaan sähkönjakeluverkon kompensointia ja yliaaltosuodatusta on viimeksi tutkittu vuonna 2003. Tämän jälkeen verkostokomponentit ovat ikääntyneet, prosessien käyttö sekä pienjänniteverkko ovat muuttuneet ja tehdasta käyttävät osittain eri henkilöt. Nykytilaselvitykselle ja verkon kehityskohteiden analysoinnille on tullut tarve edellisen selvityksen jatkoksi. Tutkimus painottuu vahvasti kenttämittauksiin, joiden perusteella sekä kirjallisuutta ja tehtaan järjestelmiä hyödyntäen määritetään loistehotasot verkon keskeisimmissä kohteissa pien-, keski- ja suurjännitetasoilla. Tutkimuksessa esitetään lipeätehtaan suotimien uudelleenjärjestely 4. yliaallon vähentämiseksi ja yksikkökoon pienentämiseksi. Kantaverkon liittymäpisteen tilanne oli hyväksyttävä. Tutkimus esittää pienjännitekompensointia KF-4-100 keskukseen varayhteyden kapasiteettia lisäten. Tutkimus tuotti yleistietoutta verkon käytöstä ja selvitti parhaat käyttökytkennät loistehoikkunan hallitsemiseksi ilman loistehokustannuksia.
Resumo:
L'insuffisance cardiaque est une maladie à grande incidence dont le traitement définitif est difficile. Les pompes d'assistance ventriculaire ont été proposées comme thérapie alternative à long terme, mais la technologie est relativement jeune et selon son design, axial ou centrifuge, le dispositif favorise soit l'hémolyse, soit la stagnation de l'écoulement sanguin. Les pompes à écoulement mixte, combinant certaines propriétés des deux types, ont été proposées comme solution intermédiaire. Pour évaluer leurs performances, nous avons effectué des comparaisons numériques entre huit pompes, deux axiales, deux centrifuges, et quatre mixtes, en employant un modèle Windkessel du système cardiovasculaire avec paramètres optimisés pour l'insuffisance cardiaque résolu avec une méthode Radau IIA3, une méthode de résolution de système d'équations différentielles ordinaires L-stable appartenant à la famille des méthodes Runge-Kutta implicites. Nos résultats semblent suggérer que les pompes d'assistance mixtes ne démontrent qu'un léger avantage comparativement aux autres types en terme de performance optimale dans le cas de l'insuffisance cardiaque, mais il faudrait effectuer plus d'essais numériques avec un modèle plus complet, entre autres avec contrôles nerveux implémentés.
Resumo:
Study on variable stars is an important topic of modern astrophysics. After the invention of powerful telescopes and high resolving powered CCD’s, the variable star data is accumulating in the order of peta-bytes. The huge amount of data need lot of automated methods as well as human experts. This thesis is devoted to the data analysis on variable star’s astronomical time series data and hence belong to the inter-disciplinary topic, Astrostatistics. For an observer on earth, stars that have a change in apparent brightness over time are called variable stars. The variation in brightness may be regular (periodic), quasi periodic (semi-periodic) or irregular manner (aperiodic) and are caused by various reasons. In some cases, the variation is due to some internal thermo-nuclear processes, which are generally known as intrinsic vari- ables and in some other cases, it is due to some external processes, like eclipse or rotation, which are known as extrinsic variables. Intrinsic variables can be further grouped into pulsating variables, eruptive variables and flare stars. Extrinsic variables are grouped into eclipsing binary stars and chromospheri- cal stars. Pulsating variables can again classified into Cepheid, RR Lyrae, RV Tauri, Delta Scuti, Mira etc. The eruptive or cataclysmic variables are novae, supernovae, etc., which rarely occurs and are not periodic phenomena. Most of the other variations are periodic in nature. Variable stars can be observed through many ways such as photometry, spectrophotometry and spectroscopy. The sequence of photometric observa- xiv tions on variable stars produces time series data, which contains time, magni- tude and error. The plot between variable star’s apparent magnitude and time are known as light curve. If the time series data is folded on a period, the plot between apparent magnitude and phase is known as phased light curve. The unique shape of phased light curve is a characteristic of each type of variable star. One way to identify the type of variable star and to classify them is by visually looking at the phased light curve by an expert. For last several years, automated algorithms are used to classify a group of variable stars, with the help of computers. Research on variable stars can be divided into different stages like observa- tion, data reduction, data analysis, modeling and classification. The modeling on variable stars helps to determine the short-term and long-term behaviour and to construct theoretical models (for eg:- Wilson-Devinney model for eclips- ing binaries) and to derive stellar properties like mass, radius, luminosity, tem- perature, internal and external structure, chemical composition and evolution. The classification requires the determination of the basic parameters like pe- riod, amplitude and phase and also some other derived parameters. Out of these, period is the most important parameter since the wrong periods can lead to sparse light curves and misleading information. Time series analysis is a method of applying mathematical and statistical tests to data, to quantify the variation, understand the nature of time-varying phenomena, to gain physical understanding of the system and to predict future behavior of the system. Astronomical time series usually suffer from unevenly spaced time instants, varying error conditions and possibility of big gaps. This is due to daily varying daylight and the weather conditions for ground based observations and observations from space may suffer from the impact of cosmic ray particles. Many large scale astronomical surveys such as MACHO, OGLE, EROS, xv ROTSE, PLANET, Hipparcos, MISAO, NSVS, ASAS, Pan-STARRS, Ke- pler,ESA, Gaia, LSST, CRTS provide variable star’s time series data, even though their primary intention is not variable star observation. Center for Astrostatistics, Pennsylvania State University is established to help the astro- nomical community with the aid of statistical tools for harvesting and analysing archival data. Most of these surveys releases the data to the public for further analysis. There exist many period search algorithms through astronomical time se- ries analysis, which can be classified into parametric (assume some underlying distribution for data) and non-parametric (do not assume any statistical model like Gaussian etc.,) methods. Many of the parametric methods are based on variations of discrete Fourier transforms like Generalised Lomb-Scargle peri- odogram (GLSP) by Zechmeister(2009), Significant Spectrum (SigSpec) by Reegen(2007) etc. Non-parametric methods include Phase Dispersion Minimi- sation (PDM) by Stellingwerf(1978) and Cubic spline method by Akerlof(1994) etc. Even though most of the methods can be brought under automation, any of the method stated above could not fully recover the true periods. The wrong detection of period can be due to several reasons such as power leakage to other frequencies which is due to finite total interval, finite sampling interval and finite amount of data. Another problem is aliasing, which is due to the influence of regular sampling. Also spurious periods appear due to long gaps and power flow to harmonic frequencies is an inherent problem of Fourier methods. Hence obtaining the exact period of variable star from it’s time series data is still a difficult problem, in case of huge databases, when subjected to automation. As Matthew Templeton, AAVSO, states “Variable star data analysis is not always straightforward; large-scale, automated analysis design is non-trivial”. Derekas et al. 2007, Deb et.al. 2010 states “The processing of xvi huge amount of data in these databases is quite challenging, even when looking at seemingly small issues such as period determination and classification”. It will be beneficial for the variable star astronomical community, if basic parameters, such as period, amplitude and phase are obtained more accurately, when huge time series databases are subjected to automation. In the present thesis work, the theories of four popular period search methods are studied, the strength and weakness of these methods are evaluated by applying it on two survey databases and finally a modified form of cubic spline method is intro- duced to confirm the exact period of variable star. For the classification of new variable stars discovered and entering them in the “General Catalogue of Vari- able Stars” or other databases like “Variable Star Index“, the characteristics of the variability has to be quantified in term of variable star parameters.
Resumo:
Nach einem einleitenden ersten Kapitel wird im zweiten Kapitel der Stand der Technik für Regelungs- und Monitoringsysteme mit vernetzten Systemen dargestellt. Daraus wird die Motivation zur Entwicklung neuer, kostengünstiger Systeme abgeleitet. Im dritten Kapitel folgt eine Darstellung der verschiedenen Arten marktverfügbarer Embedded Systems und dafür geeigneter Betriebssysteme. Anforderungen an verteilte Regelungssysteme, unterschiedliche Strukturen dieser Systeme und deren Vor- und Nachteile sind Gegenstand des vierten Kapitels. Anhand von Beispielen aus den Bereichen Erzeugungsmanagement für den Betrieb von KWK-Anlagen, Energieverbrauchsmonitoring und Smart-Metering wird der Einsatz von verteilten Regelungs- und Monitoringsystemen im fünften Kapitel dargestellt. Im folgenden sechsten Kapitel wird die Bedeutung normierter Kommunikation für den Einsatz in verteilten Systemen sowie dafür vorhandene Standards aus der elektrischen Energieversorgungstechnik und der Automatisierungstechnik behandelt. Der Stand der Internet-Technik für verteilte Systeme ist Gegenstand des siebten Kapitels. Dabei werden zunächst die verschiedenen drahtlosen und drahtgebundenen Kommunikationsmedien vorgestellt und ihre Eigenschaften und die Randbedingungen für ihren Einsatz erörtert. Ebenso werden technische Probleme beim Einsatz der Internet-Technik aufgezeigt und Lösungsmöglichkeiten für diese Probleme dargestellt. Es folgt eine Übersicht von Netzwerkdiensten, die für den Betrieb von verteilten Systemen notwendig sind. Außerdem werden Techniken zur Überwachung von verteilten Systemen behandelt. Kapitel acht zeigt Sicherheitsrisiken bei der Nutzung des Internets auf und bewertet verschiedene Techniken zur Absicherung des Netzwerkverkehrs. Kapitel neun stellt ein Internet-basiertes Client-Server-System zur Online-Visualisierung von Anlagendaten im Webbrowser mit Hilfe von Java-Applets und XML-RPC vor. Die Visualisierung von Anlagendaten auf Mobiltelefonen mit Hilfe des Wireless Application Protocol sowie die dafür notwendige Software und Infrastruktur ist Gegenstand des zehnten Kapitels. Im elften Kapitel wird eine neuartige Software für die Simulation von dezentralen Energiesystemen und deren Regelungssystemen auf Basis von virtuellen Maschinen, virtuellen Netzwerken und einer thermischen Simulationsumgebung vorgestellt sowie deren Anwendung für die Reglerentwicklung erklärt. Verschiedene Techniken für die Installation von Betriebssystemen und Software für die Embedded Systems eines verteilten Systems werden im Kapitel zwölf untersucht. Im Kapitel 13 werden verschiedene Technologien zur Konfiguration und Parametrierung von Regelungssystemen in der industriellen Prozess- und Fertigungsautomatisierung hinsichtlich ihrer Eignung für dezentrale Energiesysteme analysiert. Anschließend wird eine Software zur Installation und Parametrierung von Monitoringsystemen sowie der dazugehörigen Infrastruktur vorgestellt. Kapitel 14 beschäftigt sich mit Anforderungen an die Hardware für verteilte Systeme und mit Maßnahmen zur Erhöhung der Betriebs- und der Datensicherheit. Im 15. Kapitel werden die in den bisherigen Kapiteln vorgestellten Techniken anhand eines großen verteilten Monitoringsystems und anhand eines Power Flow and Power Quality Management Systems auf Basis von verteilten Embedded Systems evaluiert. Kapitel 16 fasst die Ergebnisse der Arbeit zusammen und enthält einen Ausblick auf zukünftige Entwicklungen.
Resumo:
The stability of stationary flow of a two-dimensional ice sheet is studied when the ice obeys a power flow law (Glen's flow law). The mass accumulation rate at the top is assumed to depend on elevation and span and the bed supporting the ice sheet consists of an elastic layer lying on a rigid surface. The normal perturbation of the free surface of the ice sheet is a singular eigenvalue problem. The singularity of the perturbation at the front of the ice sheet is considered using matched asymptotic expansions, and the eigenvalue problem is seen to reduce to that with fixed ice front. Numerical solution of the perturbation eigenvalue problem shows that the dependence of accumulation rate on elevation permits the existence of unstable solutions when the equilibrium line is higher than the bed at the ice divide. Alternatively, when the equilibrium line is lower than the bed, there are only stable solutions. Softening of the bed, expressed through a decrease of its elastic modulus, has a stabilising effect on the ice sheet.