Modèle informatique du coapprentissage des ganglions de la base et du cortex : l'apprentissage par renforcement et le développement de représentations

Tout au long de la vie, le cerveau développe des représentations de son environnement permettant à l’individu d’en tirer meilleur profit. Comment ces représentations se développent-elles pendant la quête de récompenses demeure un mystère. Il est raisonnable de penser que le cortex est le siège de ces représentations et que les ganglions de la base jouent un rôle important dans la maximisation des récompenses. En particulier, les neurones dopaminergiques semblent coder un signal d’erreur de prédiction de récompense. Cette thèse étudie le problème en construisant, à l’aide de l’apprentissage machine, un modèle informatique intégrant de nombreuses évidences neurologiques. Après une introduction au cadre mathématique et à quelques algorithmes de l’apprentissage machine, un survol de l’apprentissage en psychologie et en neuroscience et une revue des modèles de l’apprentissage dans les ganglions de la base, la thèse comporte trois articles. Le premier montre qu’il est possible d’apprendre à maximiser ses récompenses tout en développant de meilleures représentations des entrées. Le second article porte sur l'important problème toujours non résolu de la représentation du temps. Il démontre qu’une représentation du temps peut être acquise automatiquement dans un réseau de neurones artificiels faisant office de mémoire de travail. La représentation développée par le modèle ressemble beaucoup à l’activité de neurones corticaux dans des tâches similaires. De plus, le modèle montre que l’utilisation du signal d’erreur de récompense peut accélérer la construction de ces représentations temporelles. Finalement, il montre qu’une telle représentation acquise automatiquement dans le cortex peut fournir l’information nécessaire aux ganglions de la base pour expliquer le signal dopaminergique. Enfin, le troisième article évalue le pouvoir explicatif et prédictif du modèle sur différentes situations comme la présence ou l’absence d’un stimulus (conditionnement classique ou de trace) pendant l’attente de la récompense. En plus de faire des prédictions très intéressantes en lien avec la littérature sur les intervalles de temps, l’article révèle certaines lacunes du modèle qui devront être améliorées. Bref, cette thèse étend les modèles actuels de l’apprentissage des ganglions de la base et du système dopaminergique au développement concurrent de représentations temporelles dans le cortex et aux interactions de ces deux structures.

Efficient estimation using the characteristic function : theory and applications with high frequency data

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Models and algorithms for the capacitated location-routing problem

Le problème de localisation-routage avec capacités (PLRC) apparaît comme un problème clé dans la conception de réseaux de distribution de marchandises. Il généralisele problème de localisation avec capacités (PLC) ainsi que le problème de tournées de véhicules à multiples dépôts (PTVMD), le premier en ajoutant des décisions liées au routage et le deuxième en ajoutant des décisions liées à la localisation des dépôts. Dans cette thèse on dévelope des outils pour résoudre le PLRC à l’aide de la programmation mathématique. Dans le chapitre 3, on introduit trois nouveaux modèles pour le PLRC basés sur des flots de véhicules et des flots de commodités, et on montre comment ceux-ci dominent, en termes de la qualité de la borne inférieure, la formulation originale à deux indices [19]. Des nouvelles inégalités valides ont été dévelopées et ajoutées aux modèles, de même que des inégalités connues. De nouveaux algorithmes de séparation ont aussi été dévelopés qui dans la plupart de cas généralisent ceux trouvés dans la litterature. Les résultats numériques montrent que ces modèles de flot sont en fait utiles pour résoudre des instances de petite à moyenne taille. Dans le chapitre 4, on présente une nouvelle méthode de génération de colonnes basée sur une formulation de partition d’ensemble. Le sous-problème consiste en un problème de plus court chemin avec capacités (PCCC). En particulier, on utilise une relaxation de ce problème dans laquelle il est possible de produire des routes avec des cycles de longueur trois ou plus. Ceci est complété par des nouvelles coupes qui permettent de réduire encore davantage le saut d’intégralité en même temps que de défavoriser l’apparition de cycles dans les routes. Ces résultats suggèrent que cette méthode fournit la meilleure méthode exacte pour le PLRC. Dans le chapitre 5, on introduit une nouvelle méthode heuristique pour le PLRC. Premièrement, on démarre une méthode randomisée de type GRASP pour trouver un premier ensemble de solutions de bonne qualité. Les solutions de cet ensemble sont alors combinées de façon à les améliorer. Finalement, on démarre une méthode de type détruir et réparer basée sur la résolution d’un nouveau modèle de localisation et réaffectation qui généralise le problème de réaffectaction [48].

Optimisation de la concentration en électrolytes au sein des matrices à base de HASCA pour la libération prolongée

Le sel sodique du carboxyméthylamidon à haute teneur en amylose, HASCA (Amylose 60%-amylopectine 40%), est un polymère hydrophile ionique utilisé pour obtenir des comprimés matriciels à libération prolongée. Il est caractérisé par la formation d'un hydrogel lors de la mise en contact avec le milieu de dissolution. La libération du principe actif (PA) à travers ce polymère est principalement contrôlée par la diffusion fickienne et la relaxation du réseau polymérique. De plus, la solubilité du PA est un facteur qui permet de moduler la libération, cependant, la solubilité d’un médicament dépend de la forme utilisée et du pH. Les bases ou les acides libres présentent une solubilité moins élevée que leurs sels. Nous proposons d’étudier l’effet d’une combinaison entre le sel et la forme acide ou le sel et la forme alcaline dans le même comprimé matriciel d’HASCA. Comme objectif de ce travail, nous étudions l’influence de la nature du polymère sur le profil de libération de PA dans un milieu aqueux en gradient de pH à cause de la nature des matrices à base d’HASCA caractérisées par la présence de groupement carboxyliques, ionisés ou non selon l’acidité du milieu de dissolution. Nous étudions également l’influence de la nature du PA (base libre ou son sel vs acide libre ou son sel) sur le profil de libération, ceci en sélectionnant des PAs modèles représentatifs de chaque catégorie. L’influence de changement de proportions entre la forme libre (acide ou base) et son sel sur le profil de libération est aussi investiguée. Pour ce, des comprimés à base de HASCA avec des proportions différentes de, soit le naproxène acide et le naproxène de sodium (PA acide et son sel), soit la tétracycline et le chlorhydrate de tétracycline (PA alcalin et son sel) ont été utilisés. Ceux-ci sont évalués lors des tests de dissolution dans un milieu simulant le milieu gastro-intestinal, selon les normes de l’USP (spectrophotométrie UV). Nous avons également menés des études de vitesse de dissolution intrinsèque sur les PAs purs, afin de déterminer leur solubilité et vitesse de libération dans les même pH de dissolution étudiés. Nous avons réussit d’obtenir des comprimés matriciels à base de HASCA convenables à être administrés une fois par jour en utilisant une combinaison du naproxène acide et son sel comme PA. Tandis que les résultats ont montré qu’en utilisant la tétracycline et son sel, les temps de libération étaient trop élevés pour permettre la réalisation d’une formulation convenable pour une administration quotidienne unique

The relationship between product design and business models in the context of sustainability

Dans les sphères du développement durable, des modèles d’affaires et du design de produit, certains leviers rendent le croisement de ces trois sphères de plus en plus pertinent. Au croisement de ces trois sphères se trouve une opportunité de comprendre les relations existantes entre le design de produit et les modèles d’affaires afin d’aider les décideurs à développer des solutions davantage durables. L’approche méthodologique de cette recherche utilise un système complexe et est basée sur un paradigme pragmatique. En vue de répondre à la question « Dans quelle mesure des modèles d’affaires et le design de produit sont liés dans un contexte de développement durable? », cette recherche a soigneusement analysé trois cas: Better Place, une compagnie californienne ayant développé une infrastructure permettant le chargement des voitures électriques; Interface Inc., un manufacturier mondial de tuiles de tapis commerciales établi à Atlanta; et Métacycle, un concept d’entreprise développé par une équipe de chercheurs en design à Montréal. Chaque cas a été analysé en corrélant des aspects du design de produit à des éléments de leur modèle d’affaires. Les résultats montrent que dans le contexte du développement durable, le design de produit et les modèles d’affaires sont interdépendants. Les résultats peuvent être résumés en six points: il existe des relations applicables universellement; les innovations de design substantielles jouent un rôle important dans le développement durable; la « durabilité » peut être une qualité émergente d’un modèle d’affaires; les partenariats peuvent être vitaux pour l’intégration des systèmes; un modèle de services a des bénéfices et des limitations considérables; le design peut agir comme levier à l’utilisation d’énergies renouvelables. Pratiquer simultanément l’innovation du modèle d’affaires et du produit peut apporter une valeur ajoutée, susciter des opportunités et augmenter l’efficience sur plusieurs facettes. Toutefois, les risques et les coûts de tels procédés sont souvent très élevés. En aidant à comprendre et définir comment les trois sphères mentionnées plus tôt sont interdépendantes, cette recherche pourrait idéalement inspirer des recherches supplémentaires sur le sujet. L’application par des organisations de la méthodologie et des apprentissages résultant de cette recherche peut permettre à d’autres d’utiliser le croisement entre l’innovation de produit et l’innovation du modèle d’affaires afin de résoudre des enjeux sociaux et environnementaux complexes.

Le repérage automatique des entités nommées dans la langue arabe : vers la création d'un système à base de règles

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Estimation of State Space Models and Stochastic Volatility

Ma thèse est composée de trois chapitres reliés à l'estimation des modèles espace-état et volatilité stochastique. Dans le première article, nous développons une procédure de lissage de l'état, avec efficacité computationnelle, dans un modèle espace-état linéaire et gaussien. Nous montrons comment exploiter la structure particulière des modèles espace-état pour tirer les états latents efficacement. Nous analysons l'efficacité computationnelle des méthodes basées sur le filtre de Kalman, l'algorithme facteur de Cholesky et notre nouvelle méthode utilisant le compte d'opérations et d'expériences de calcul. Nous montrons que pour de nombreux cas importants, notre méthode est plus efficace. Les gains sont particulièrement grands pour les cas où la dimension des variables observées est grande ou dans les cas où il faut faire des tirages répétés des états pour les mêmes valeurs de paramètres. Comme application, on considère un modèle multivarié de Poisson avec le temps des intensités variables, lequel est utilisé pour analyser le compte de données des transactions sur les marchés financières. Dans le deuxième chapitre, nous proposons une nouvelle technique pour analyser des modèles multivariés à volatilité stochastique. La méthode proposée est basée sur le tirage efficace de la volatilité de son densité conditionnelle sachant les paramètres et les données. Notre méthodologie s'applique aux modèles avec plusieurs types de dépendance dans la coupe transversale. Nous pouvons modeler des matrices de corrélation conditionnelles variant dans le temps en incorporant des facteurs dans l'équation de rendements, où les facteurs sont des processus de volatilité stochastique indépendants. Nous pouvons incorporer des copules pour permettre la dépendance conditionnelle des rendements sachant la volatilité, permettant avoir différent lois marginaux de Student avec des degrés de liberté spécifiques pour capturer l'hétérogénéité des rendements. On tire la volatilité comme un bloc dans la dimension du temps et un à la fois dans la dimension de la coupe transversale. Nous appliquons la méthode introduite par McCausland (2012) pour obtenir une bonne approximation de la distribution conditionnelle à posteriori de la volatilité d'un rendement sachant les volatilités d'autres rendements, les paramètres et les corrélations dynamiques. Le modèle est évalué en utilisant des données réelles pour dix taux de change. Nous rapportons des résultats pour des modèles univariés de volatilité stochastique et deux modèles multivariés. Dans le troisième chapitre, nous évaluons l'information contribuée par des variations de volatilite réalisée à l'évaluation et prévision de la volatilité quand des prix sont mesurés avec et sans erreur. Nous utilisons de modèles de volatilité stochastique. Nous considérons le point de vue d'un investisseur pour qui la volatilité est une variable latent inconnu et la volatilité réalisée est une quantité d'échantillon qui contient des informations sur lui. Nous employons des méthodes bayésiennes de Monte Carlo par chaîne de Markov pour estimer les modèles, qui permettent la formulation, non seulement des densités a posteriori de la volatilité, mais aussi les densités prédictives de la volatilité future. Nous comparons les prévisions de volatilité et les taux de succès des prévisions qui emploient et n'emploient pas l'information contenue dans la volatilité réalisée. Cette approche se distingue de celles existantes dans la littérature empirique en ce sens que ces dernières se limitent le plus souvent à documenter la capacité de la volatilité réalisée à se prévoir à elle-même. Nous présentons des applications empiriques en utilisant les rendements journaliers des indices et de taux de change. Les différents modèles concurrents sont appliqués à la seconde moitié de 2008, une période marquante dans la récente crise financière.

Une silhouette naturelle est-elle fréquemment classée dans plusieurs catégories de base?

Les silhouettes ambiguës, comme celle du lapin/canard (Jastrow, 1899), ont été étudiées selon plusieurs approches. Toutefois, les figures prises en exemples dans la large majorité des études sont généralement les mêmes. Cette redondance des images ambiguës utilisées pousse à croire qu'elles sont peut-être assez rares. Certaines observations anecdotiques suggèrent cependant qu’elles seraient au contraire relativement fréquentes. C'est ce que cherche à déterminer cette expérience. Nous avons utilisé des modèles tridimensionnels d'animaux projetés de façon aléatoire afin d'en extraire les silhouettes dont la complexité périmétrique a ensuite été modifiée par lissage. Treize sujets ont dû indiquer ce qu'ils percevaient dans l'image. Nous démontrons qu’une silhouette est classée en moyenne dans 1.9079 catégories de base. Nous avons également démontré qu’une diminution de la complexité périmétrique rend d’abord une silhouette plus ambiguë pour éventuellement atteindre un sommet (équivalent à environ six fois la complexité périmétrique d’un disque) à la suite duquel l’ambiguïté chute.

Étude du cortex prémoteur et préfrontal lors de la prise de décision pendant l'intégration temporelle des informations

Une variété de modèles sur le processus de prise de décision dans divers contextes présume que les sujets accumulent les évidences sensorielles, échantillonnent et intègrent constamment les signaux pour et contre des hypothèses alternatives. L'intégration continue jusqu'à ce que les évidences en faveur de l'une des hypothèses dépassent un seuil de critère de décision (niveau de preuve exigé pour prendre une décision). De nouveaux modèles suggèrent que ce processus de décision est plutôt dynamique; les différents paramètres peuvent varier entre les essais et même pendant l’essai plutôt que d’être un processus statique avec des paramètres qui ne changent qu’entre les blocs d’essais. Ce projet de doctorat a pour but de démontrer que les décisions concernant les mouvements d’atteinte impliquent un mécanisme d’accumulation temporelle des informations sensorielles menant à un seuil de décision. Pour ce faire, nous avons élaboré un paradigme de prise de décision basée sur un stimulus ambigu afin de voir si les neurones du cortex moteur primaire (M1), prémoteur dorsal (PMd) et préfrontal (DLPFc) démontrent des corrélats neuronaux de ce processus d’accumulation temporelle. Nous avons tout d’abord testé différentes versions de la tâche avec l’aide de sujets humains afin de développer une tâche où l’on observe le comportement idéal des sujets pour nous permettre de vérifier l’hypothèse de travail. Les données comportementales chez l’humain et les singes des temps de réaction et du pourcentage d'erreurs montrent une augmentation systématique avec l'augmentation de l'ambigüité du stimulus. Ces résultats sont cohérents avec les prédictions des modèles de diffusion, tel que confirmé par une modélisation computationnelle des données. Nous avons, par la suite, enregistré des cellules dans M1, PMd et DLPFc de 2 singes pendant qu'ils s'exécutaient à la tâche. Les neurones de M1 ne semblent pas être influencés par l'ambiguïté des stimuli mais déchargent plutôt en corrélation avec le mouvement exécuté. Les neurones du PMd codent la direction du mouvement choisi par les singes, assez rapidement après la présentation du stimulus. De plus, l’activation de plusieurs cellules du PMd est plus lente lorsque l'ambiguïté du stimulus augmente et prend plus de temps à signaler la direction de mouvement. L’activité des neurones du PMd reflète le choix de l’animal, peu importe si c’est une bonne réponse ou une erreur. Ceci supporte un rôle du PMd dans la prise de décision concernant les mouvements d’atteinte. Finalement, nous avons débuté des enregistrements dans le cortex préfrontal et les résultats présentés sont préliminaires. Les neurones du DLPFc semblent beaucoup plus influencés par les combinaisons des facteurs de couleur et de position spatiale que les neurones du PMd. Notre conclusion est que le cortex PMd est impliqué dans l'évaluation des évidences pour ou contre la position spatiale de différentes cibles potentielles mais assez indépendamment de la couleur de celles-ci. Le cortex DLPFc serait plutôt responsable du traitement des informations pour la combinaison de la couleur et de la position des cibles spatiales et du stimulus ambigu nécessaire pour faire le lien entre le stimulus ambigu et la cible correspondante.

Systematic construction of models for the exchange hole of density functional theory.

Dans ce travail, nous étendons le nombre de conditions physiques actuellement con- nues du trou d’échange exact avec la dérivation de l’expansion de quatrième ordre du trou d’échange sphérique moyenne exacte. Nous comparons les expansions de deux- ième et de quatrième ordre avec le trou d’échange exact pour des systèmes atomiques et moléculaires. Nous avons constaté que, en général, l’expansion du quatrième ordre reproduit plus fidèlement le trou d’échange exact pour les petites valeurs de la distance interélectronique. Nous démontrons que les ensembles de base de type gaussiennes ont une influence significative sur les termes de cette nouvelle condition, en étudiant com- ment les oscillations causées par ces ensembles de bases affectent son premier terme. Aussi, nous proposons quatre modèles de trous d’échange analytiques auxquels nous imposons toutes les conditions actuellement connues du trou d’échange exact et la nou- velle présentée dans ce travail. Nous évaluons la performance des modèles en calculant des énergies d’échange et ses contributions à des énergies d’atomisation. On constate que les oscillations causeés par les bases de type gaussiennes peuvent compromettre la précision et la solution des modèles.

Les trajectoires de femmes victimes de violence conjugale : les facteurs qui expliquent la dynamique de la violence physique à travers le temps.

La violence conjugale peut prendre différentes formes et évoluer à travers le temps. On ne peut écarter la possibilité que les différentes trajectoires soient influencées par le contexte de vie dans lequel la victime se présente. Dans cet ordre d’idée, la perspective des parcours de vie se présente comme un cadre théorique approprié pour comprendre les différents changements temporels qui s’opèrent dans les trajectoires de victimisation en contexte conjugal. Toutefois, le soutien empirique sur les facteurs derrière le nombre d’épisodes de la violence et ses variations au fil du temps est mince; notamment en raison de la rareté des données longitudinales ou rétrospectives requises pour ce type de recherche. Cette étude propose de combler ces lacunes dans l’analyse des trajectoires individuelles des femmes qui ont été victimes de violence conjugale. Plus spécifiquement, elle analyse l’évolution de l’occurrence et de l’intensité de la violence physique à travers le temps. L’échantillon est composé de 53 femmes, toutes victimes de violence conjugale au courant des 36 derniers mois référées par plusieurs milieux (par exemple : maisons d’hébergement, Cour municipale, centres d’aide aux victimes d’acte criminel, centres de thérapie, maisons de transition). Cette recherche est basée sur des données rétrospectives des circonstances entourant la vie de ces femmes au cours des 36 derniers mois. Les trajectoires individuelles ont été reconstruites en utilisant la méthode des calendriers d’histoire de la vie. Cette méthode qui a fait ses preuves dans l’étude des carrières criminelles et de la victimisation permet de situer les trajectoires dans leur contexte de vie et de reconstruire la dynamique derrière les victimisations. L’utilisation de la modélisation de type multiniveaux comme stratégie d’analyse est privilégiée dans cette étude. Combiné avec le calendrier d’histoire de vie, ce type de modèle permet d’examiner les changements dans la chronicité et l’intensité de la violence au sein des trajectoires individuelles des victimes. Les résultats permettent une meilleure compréhension des éléments statiques et dynamiques dernières trajectoires des femmes victimes. Cette recherche se veut avant tout exploratoire et ouvre la porte à une multitude de possibilités à de futures recherches.

Fuzzy Topological Games and Related Topics

The main purpose of study is to extend the concept of the topological game G(K, X) and some other kinds of games into fuzzy topological games and to obtain some results regarding them. Owing to the fact that topological games have plenty of applications in covering properties, it made an attempt to explore some inter relations of games and covering properties in fuzzy topological spaces. Even though the main focus is on fuzzy para-meta compact spaces and closure preserving shading families, some brief sketches regarding fuzzy P-spaces and Shading Dimension is also provided. In a topological game players choose some objects related to the topological structure of a space such as points, closed subsets, open covers etc. More over the condition on a play to be winning for a player may also include topological notions such as closure, convergence, etc. It turns out that topological games are related to the Baire property, Baire spaces, Completeness properties, Convergence properties, Separation properties, Covering and Base properties, Continuous images, Suslin sets, Singular spaces etc.

Box Products in Fuzzy Topological Spaces and Related Topics

The topology as the product set with a base chosen as all products of open sets in the individual spaces. This topology is known as box topology. The main objective of this study is to extend the concept of box products to fuzzy box products and to obtain some results regarding them. Owing to the fact that box products have plenty of applications in uniform and covering properties, here made an attempt to explore some inter relations of fuzzy uniform properties and fuzzy covering properties in fuzzy box products. Even though the main focus is on fuzzy box products, some brief sketches regarding hereditarily fuzzy normal spaces and fuzzy nabla product is also provided. The main results obtained include characterization of fuzzy Hausdroffness and fuzzy regularity of box products of fuzzy topological spaces. The investigation of the completeness of fuzzy uniformities in fuzzy box products proved that a fuzzy box product of spaces is fuzzy topologically complete if each co-ordinate space is fuzzy topologically complete. The thesis also prove that the fuzzy box product of a family of fuzzy α-paracompact spaces is fuzzy topologically complete. In Fuzzy box product of hereditarily fuzzy normal spaces, the main result obtained is that if a fuzzy box product of spaces is hereditarily fuzzy normal ,then every countable subset of it is fuzzy closed. It also deals with the notion of fuzzy nabla product of spaces which is a quotient of fuzzy box product. Here the study deals the relation connecting fuzzy box product and fuzzy nabla product

Design and Development of data mining models for the predictions of manpower placement in the technical Domain

Data mining is one of the hottest research areas nowadays as it has got wide variety of applications in common man’s life to make the world a better place to live. It is all about finding interesting hidden patterns in a huge history data base. As an example, from a sales data base, one can find an interesting pattern like “people who buy magazines tend to buy news papers also” using data mining. Now in the sales point of view the advantage is that one can place these things together in the shop to increase sales. In this research work, data mining is effectively applied to a domain called placement chance prediction, since taking wise career decision is so crucial for anybody for sure. In India technical manpower analysis is carried out by an organization named National Technical Manpower Information System (NTMIS), established in 1983-84 by India's Ministry of Education & Culture. The NTMIS comprises of a lead centre in the IAMR, New Delhi, and 21 nodal centres located at different parts of the country. The Kerala State Nodal Centre is located at Cochin University of Science and Technology. In Nodal Centre, they collect placement information by sending postal questionnaire to passed out students on a regular basis. From this raw data available in the nodal centre, a history data base was prepared. Each record in this data base includes entrance rank ranges, reservation, Sector, Sex, and a particular engineering. From each such combination of attributes from the history data base of student records, corresponding placement chances is computed and stored in the history data base. From this data, various popular data mining models are built and tested. These models can be used to predict the most suitable branch for a particular new student with one of the above combination of criteria. Also a detailed performance comparison of the various data mining models is done.This research work proposes to use a combination of data mining models namely a hybrid stacking ensemble for better predictions. A strategy to predict the overall absorption rate for various branches as well as the time it takes for all the students of a particular branch to get placed etc are also proposed. Finally, this research work puts forward a new data mining algorithm namely C 4.5 * stat for numeric data sets which has been proved to have competent accuracy over standard benchmarking data sets called UCI data sets. It also proposes an optimization strategy called parameter tuning to improve the standard C 4.5 algorithm. As a summary this research work passes through all four dimensions for a typical data mining research work, namely application to a domain, development of classifier models, optimization and ensemble methods.

A study on fuzzy semi inner product spaces

Mathematical models are often used to describe physical realities. However, the physical realities are imprecise while the mathematical concepts are required to be precise and perfect. Even mathematicians like H. Poincare worried about this. He observed that mathematical models are over idealizations, for instance, he said that only in Mathematics, equality is a transitive relation. A first attempt to save this situation was perhaps given by K. Menger in 1951 by introducing the concept of statistical metric space in which the distance between points is a probability distribution on the set of nonnegative real numbers rather than a mere nonnegative real number. Other attempts were made by M.J. Frank, U. Hbhle, B. Schweizer, A. Sklar and others. An aspect in common to all these approaches is that they model impreciseness in a probabilistic manner. They are not able to deal with situations in which impreciseness is not apparently of a probabilistic nature. This thesis is confined to introducing and developing a theory of fuzzy semi inner product spaces.