Faktorisierung in Schief-Polynomringen

In der Arbeit werden zunächst die wesentlichsten Fakten über Schiefpolynome wiederholt, der Fokus liegt dabei auf Shift- und q-Shift-Operatoren in Charakteristik Null. Alle für die Arithmetik mit diesen Objekten notwendigen Konzepte und Algorithmen finden sich im ersten Kapitel. Einige der zur Bestimmung von Lösungen notwendigen Daten können aus dem Newtonpolygon, einer den Operatoren zugeordneten geometrischen Figur, abgelesen werden. Die Herleitung dieser Zusammenhänge ist das Thema des zweiten Kapitels der Arbeit, wobei dies insbesondere im q-Shift-Fall in dieser Form neu ist. Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit der Bestimmung polynomieller und rationaler Lösungen dieser Operatoren, dabei folgt es im Wesentlichen der Darstellung von Mark van Hoeij. Der für die Faktorisierung von (q-)Shift Operatoren interessanteste Fall sind die sogenannten (q-)hypergeometrischen Lösungen, die direkt zu Rechtsfaktoren erster Ordnung korrespondieren. Im vierten Kapitel wird der van Hoeij-Algorithmus vom Shift- auf den q-Shift-Fall übertragen. Außerdem wird eine deutliche Verbesserung des q-Petkovsek-Algorithmus mit Hilfe der Daten des Newtonpolygons hergeleitet. Das fünfte Kapitel widmet sich der Berechnung allgemeiner Faktoren, wozu zunächst der adjungierte Operator eingeführt wird, der die Berechnung von Linksfaktoren erlaubt. Dann wird ein Algorithmus zur Berechnung von Rechtsfaktoren beliebiger Ordnung dargestellt. Für die praktische Benutzung ist dies allerdings für höhere Ordnungen unpraktikabel. Bei fast allen vorgestellten Algorithmen tritt das Lösen linearer Gleichungssysteme über rationalen Funktionenkörpern als Zwischenschritt auf. Dies ist in den meisten Computeralgebrasystemen nicht befriedigend gelöst. Aus diesem Grund wird im letzten Kapitel ein auf Evaluation und Interpolation basierender Algorithmus zur Lösung dieses Problems vorgestellt, der in allen getesteten Systemen den Standard-Algorithmen deutlich überlegen ist. Alle Algorithmen der Arbeit sind in einem MuPAD-Package implementiert, das der Arbeit beiliegt und eine komfortable Handhabung der auftretenden Objekte erlaubt. Mit diesem Paket können in MuPAD nun viele Probleme gelöst werden, für die es vorher keine Funktionen gab.

Evolving Distributed Algorithms with Genetic Programming

Distributed systems are one of the most vital components of the economy. The most prominent example is probably the internet, a constituent element of our knowledge society. During the recent years, the number of novel network types has steadily increased. Amongst others, sensor networks, distributed systems composed of tiny computational devices with scarce resources, have emerged. The further development and heterogeneous connection of such systems imposes new requirements on the software development process. Mobile and wireless networks, for instance, have to organize themselves autonomously and must be able to react to changes in the environment and to failing nodes alike. Researching new approaches for the design of distributed algorithms may lead to methods with which these requirements can be met efficiently. In this thesis, one such method is developed, tested, and discussed in respect of its practical utility. Our new design approach for distributed algorithms is based on Genetic Programming, a member of the family of evolutionary algorithms. Evolutionary algorithms are metaheuristic optimization methods which copy principles from natural evolution. They use a population of solution candidates which they try to refine step by step in order to attain optimal values for predefined objective functions. The synthesis of an algorithm with our approach starts with an analysis step in which the wanted global behavior of the distributed system is specified. From this specification, objective functions are derived which steer a Genetic Programming process where the solution candidates are distributed programs. The objective functions rate how close these programs approximate the goal behavior in multiple randomized network simulations. The evolutionary process step by step selects the most promising solution candidates and modifies and combines them with mutation and crossover operators. This way, a description of the global behavior of a distributed system is translated automatically to programs which, if executed locally on the nodes of the system, exhibit this behavior. In our work, we test six different ways for representing distributed programs, comprising adaptations and extensions of well-known Genetic Programming methods (SGP, eSGP, and LGP), one bio-inspired approach (Fraglets), and two new program representations called Rule-based Genetic Programming (RBGP, eRBGP) designed by us. We breed programs in these representations for three well-known example problems in distributed systems: election algorithms, the distributed mutual exclusion at a critical section, and the distributed computation of the greatest common divisor of a set of numbers. Synthesizing distributed programs the evolutionary way does not necessarily lead to the envisaged results. In a detailed analysis, we discuss the problematic features which make this form of Genetic Programming particularly hard. The two Rule-based Genetic Programming approaches have been developed especially in order to mitigate these difficulties. In our experiments, at least one of them (eRBGP) turned out to be a very efficient approach and in most cases, was superior to the other representations.

Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen

Die q-Analysis ist eine spezielle Diskretisierung der Analysis auf einem Gitter, welches eine geometrische Folge darstellt, und findet insbesondere in der Quantenphysik eine breite Anwendung, ist aber auch in der Theorie der q-orthogonalen Polynome und speziellen Funktionen von großer Bedeutung. Die betrachteten mathematischen Objekte aus der q-Welt weisen meist eine recht komplizierte Struktur auf und es liegt daher nahe, sie mit Computeralgebrasystemen zu behandeln. In der vorliegenden Dissertation werden Algorithmen für q-holonome Funktionen und q-hypergeometrische Reihen vorgestellt. Alle Algorithmen sind in dem Maple-Package qFPS, welches integraler Bestandteil der Arbeit ist, implementiert. Nachdem in den ersten beiden Kapiteln Grundlagen geschaffen werden, werden im dritten Kapitel Algorithmen präsentiert, mit denen man zu einer q-holonomen Funktion q-holonome Rekursionsgleichungen durch Kenntnis derer q-Shifts aufstellen kann. Operationen mit q-holonomen Rekursionen werden ebenfalls behandelt. Im vierten Kapitel werden effiziente Methoden zur Bestimmung polynomialer, rationaler und q-hypergeometrischer Lösungen von q-holonomen Rekursionen beschrieben. Das fünfte Kapitel beschäftigt sich mit q-hypergeometrischen Potenzreihen bzgl. spezieller Polynombasen. Wir formulieren einen neuen Algorithmus, der zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung einer q-hypergeometrischen Reihe mit nichttrivialem Entwicklungspunkt die entsprechende q-holonome Rekursionsgleichung für die Koeffizienten ermittelt. Ferner können wir einen neuen Algorithmus angeben, der umgekehrt zu einer q-holonomen Rekursionsgleichung für die Koeffizienten eine q-holonome Rekursionsgleichung der Reihe bestimmt und der nützlich ist, um q-holonome Rekursionen für bestimmte verallgemeinerte q-hypergeometrische Funktionen aufzustellen. Mit Formulierung des q-Taylorsatzes haben wir schließlich alle Zutaten zusammen, um das Hauptergebnis dieser Arbeit, das q-Analogon des FPS-Algorithmus zu erhalten. Wolfram Koepfs FPS-Algorithmus aus dem Jahre 1992 bestimmt zu einer gegebenen holonomen Funktion die entsprechende hypergeometrische Reihe. Wir erweitern den Algorithmus dahingehend, dass sogar Linearkombinationen q-hypergeometrischer Potenzreihen bestimmt werden können. ________________________________________________________________________________________________________________

Algorithms for Tamagawa Number Conjectures

In dieser Arbeit werden Algorithmen zur Untersuchung der äquivarianten Tamagawazahlvermutung von Burns und Flach entwickelt. Zunächst werden Algorithmen angegeben mit denen die lokale Fundamentalklasse, die globale Fundamentalklasse und Tates kanonische Klasse berechnet werden können. Dies ermöglicht unter anderem Berechnungen in Brauergruppen von Zahlkörpererweiterungen. Anschließend werden diese Algorithmen auf die Tamagawazahlvermutung angewendet. Die Epsilonkonstantenvermutung kann dadurch für alle Galoiserweiterungen L|K bewiesen werden, bei denen L in einer Galoiserweiterung E|Q vom Grad kleiner gleich 15 eingebettet werden kann. Für die Tamagawazahlvermutung an der Stelle 1 wird ein Algorithmus angegeben, der die Vermutung für ein gegebenes Fallbeispiel L|Q numerischen verifizieren kann. Im Spezialfall, dass alle Charaktere rational oder abelsch sind, kann dieser Algorithmus die Vermutung für L|Q sogar beweisen.

Semi-algebraic methods for symbolic analysis of complex reaction networks

The identification of chemical mechanism that can exhibit oscillatory phenomena in reaction networks are currently of intense interest. In particular, the parametric question of the existence of Hopf bifurcations has gained increasing popularity due to its relation to the oscillatory behavior around the fixed points. However, the detection of oscillations in high-dimensional systems and systems with constraints by the available symbolic methods has proven to be difficult. The development of new efficient methods are therefore required to tackle the complexity caused by the high-dimensionality and non-linearity of these systems. In this thesis, we mainly present efficient algorithmic methods to detect Hopf bifurcation fixed points in (bio)-chemical reaction networks with symbolic rate constants, thereby yielding information about their oscillatory behavior of the networks. The methods use the representations of the systems on convex coordinates that arise from stoichiometric network analysis. One of the methods called HoCoQ reduces the problem of determining the existence of Hopf bifurcation fixed points to a first-order formula over the ordered field of the reals that can then be solved using computational-logic packages. The second method called HoCaT uses ideas from tropical geometry to formulate a more efficient method that is incomplete in theory but worked very well for the attempted high-dimensional models involving more than 20 chemical species. The instability of reaction networks may lead to the oscillatory behaviour. Therefore, we investigate some criterions for their stability using convex coordinates and quantifier elimination techniques. We also study Muldowney's extension of the classical Bendixson-Dulac criterion for excluding periodic orbits to higher dimensions for polynomial vector fields and we discuss the use of simple conservation constraints and the use of parametric constraints for describing simple convex polytopes on which periodic orbits can be excluded by Muldowney's criteria. All developed algorithms have been integrated into a common software framework called PoCaB (platform to explore bio- chemical reaction networks by algebraic methods) allowing for automated computation workflows from the problem descriptions. PoCaB also contains a database for the algebraic entities computed from the models of chemical reaction networks.

Elimination in Operator Algebras

A large class of special functions are solutions of systems of linear difference and differential equations with polynomial coefficients. For a given function, these equations considered as operator polynomials generate a left ideal in a noncommutative algebra called Ore algebra. This ideal with finitely many conditions characterizes the function uniquely so that Gröbner basis techniques can be applied. Many problems related to special functions which can be described by such ideals can be solved by performing elimination of appropriate noncommutative variables in these ideals. In this work, we mainly achieve the following: 1. We give an overview of the theoretical algebraic background as well as the algorithmic aspects of different methods using noncommutative Gröbner elimination techniques in Ore algebras in order to solve problems related to special functions. 2. We describe in detail algorithms which are based on Gröbner elimination techniques and perform the creative telescoping method for sums and integrals of special functions. 3. We investigate and compare these algorithms by illustrative examples which are performed by the computer algebra system Maple. This investigation has the objective to test how far noncommutative Gröbner elimination techniques may be efficiently applied to perform creative telescoping.

Multi-Robot Task Allocation for Inspection Problems with Cooperative Tasks Using Hybrid Genetic Algorithms

In dieser Dissertation werden Methoden zur optimalen Aufgabenverteilung in Multirobotersystemen (engl. Multi-Robot Task Allocation – MRTA) zur Inspektion von Industrieanlagen untersucht. MRTA umfasst die Verteilung und Ablaufplanung von Aufgaben für eine Gruppe von Robotern unter Berücksichtigung von operativen Randbedingungen mit dem Ziel, die Gesamteinsatzkosten zu minimieren. Dank zunehmendem technischen Fortschritt und sinkenden Technologiekosten ist das Interesse an mobilen Robotern für den Industrieeinsatz in den letzten Jahren stark gestiegen. Viele Arbeiten konzentrieren sich auf Probleme der Mobilität wie Selbstlokalisierung und Kartierung, aber nur wenige Arbeiten untersuchen die optimale Aufgabenverteilung. Da sich mit einer guten Aufgabenverteilung eine effizientere Planung erreichen lässt (z. B. niedrigere Kosten, kürzere Ausführungszeit), ist das Ziel dieser Arbeit die Entwicklung von Lösungsmethoden für das aus Inspektionsaufgaben mit Einzel- und Zweiroboteraufgaben folgende Such-/Optimierungsproblem. Ein neuartiger hybrider Genetischer Algorithmus wird vorgestellt, der einen teilbevölkerungbasierten Genetischen Algorithmus zur globalen Optimierung mit lokalen Suchheuristiken kombiniert. Zur Beschleunigung dieses Algorithmus werden auf die fittesten Individuen einer Generation lokale Suchoperatoren angewendet. Der vorgestellte Algorithmus verteilt die Aufgaben nicht nur einfach und legt den Ablauf fest, sondern er bildet auch temporäre Roboterverbünde für Zweiroboteraufgaben, wodurch räumliche und zeitliche Randbedingungen entstehen. Vier alternative Kodierungsstrategien werden für den vorgestellten Algorithmus entworfen: Teilaufgabenbasierte Kodierung: Hierdurch werden alle möglichen Lösungen abgedeckt, allerdings ist der Suchraum sehr groß. Aufgabenbasierte Kodierung: Zwei Möglichkeiten zur Zuweisung von Zweiroboteraufgaben wurden implementiert, um die Effizienz des Algorithmus zu steigern. Gruppierungsbasierte Kodierung: Zeitliche Randbedingungen zur Gruppierung von Aufgaben werden vorgestellt, um gute Lösungen innerhalb einer kleinen Anzahl von Generationen zu erhalten. Zwei Umsetzungsvarianten werden vorgestellt. Dekompositionsbasierte Kodierung: Drei geometrische Zerlegungen wurden entworfen, die Informationen über die räumliche Anordnung ausnutzen, um Probleme zu lösen, die Inspektionsgebiete mit rechteckigen Geometrien aufweisen. In Simulationsstudien wird die Leistungsfähigkeit der verschiedenen hybriden Genetischen Algorithmen untersucht. Dazu wurde die Inspektion von Tanklagern einer Erdölraffinerie mit einer Gruppe homogener Inspektionsroboter als Anwendungsfall gewählt. Die Simulationen zeigen, dass Kodierungsstrategien, die auf der geometrischen Zerlegung basieren, bei einer kleinen Anzahl an Generationen eine bessere Lösung finden können als die anderen untersuchten Strategien. Diese Arbeit beschäftigt sich mit Einzel- und Zweiroboteraufgaben, die entweder von einem einzelnen mobilen Roboter erledigt werden können oder die Zusammenarbeit von zwei Robotern erfordern. Eine Erweiterung des entwickelten Algorithmus zur Behandlung von Aufgaben, die mehr als zwei Roboter erfordern, ist möglich, würde aber die Komplexität der Optimierungsaufgabe deutlich vergrößern.

Modellbildung in der algebraischen Kryptoanalyse

In der algebraischen Kryptoanalyse werden moderne Kryptosysteme als polynomielle, nichtlineare Gleichungssysteme dargestellt. Das Lösen solcher Gleichungssysteme ist NP-hart. Es gibt also keinen Algorithmus, der in polynomieller Zeit ein beliebiges nichtlineares Gleichungssystem löst. Dennoch kann man aus modernen Kryptosystemen Gleichungssysteme mit viel Struktur generieren. So sind diese Gleichungssysteme bei geeigneter Modellierung quadratisch und dünn besetzt, damit nicht beliebig. Dafür gibt es spezielle Algorithmen, die eine Lösung solcher Gleichungssysteme finden. Ein Beispiel dafür ist der ElimLin-Algorithmus, der mit Hilfe von linearen Gleichungen das Gleichungssystem iterativ vereinfacht. In der Dissertation wird auf Basis dieses Algorithmus ein neuer Solver für quadratische, dünn besetzte Gleichungssysteme vorgestellt und damit zwei symmetrische Kryptosysteme angegriffen. Dabei sind die Techniken zur Modellierung der Chiffren von entscheidender Bedeutung, so das neue Techniken entwickelt werden, um Kryptosysteme darzustellen. Die Idee für das Modell kommt von Cube-Angriffen. Diese Angriffe sind besonders wirksam gegen Stromchiffren. In der Arbeit werden unterschiedliche Varianten klassifiziert und mögliche Erweiterungen vorgestellt. Das entstandene Modell hingegen, lässt sich auch erfolgreich auf Blockchiffren und auch auf andere Szenarien erweitern. Bei diesen Änderungen muss das Modell nur geringfügig geändert werden.

Boundaries and Topological Algorithms

This thesis develops a model for the topological structure of situations. In this model, the topological structure of space is altered by the presence or absence of boundaries, such as those at the edges of objects. This allows the intuitive meaning of topological concepts such as region connectivity, function continuity, and preservation of topological structure to be modeled using the standard mathematical definitions. The thesis shows that these concepts are important in a wide range of artificial intelligence problems, including low-level vision, high-level vision, natural language semantics, and high-level reasoning.

From Genetic Algorithms to Efficient Organization

The work described in this thesis began as an inquiry into the nature and use of optimization programs based on "genetic algorithms." That inquiry led, eventually, to three powerful heuristics that are broadly applicable in gradient-ascent programs: First, remember the locations of local maxima and restart the optimization program at a place distant from previously located local maxima. Second, adjust the size of probing steps to suit the local nature of the terrain, shrinking when probes do poorly and growing when probes do well. And third, keep track of the directions of recent successes, so as to probe preferentially in the direction of most rapid ascent. These algorithms lie at the core of a novel optimization program that illustrates the power to be had from deploying them together. The efficacy of this program is demonstrated on several test problems selected from a variety of fields, including De Jong's famous test-problem suite, the traveling salesman problem, the problem of coordinate registration for image guided surgery, the energy minimization problem for determining the shape of organic molecules, and the problem of assessing the structure of sedimentary deposits using seismic data.

On the Convergence of Stochastic Iterative Dynamic Programming Algorithms

Recent developments in the area of reinforcement learning have yielded a number of new algorithms for the prediction and control of Markovian environments. These algorithms, including the TD(lambda) algorithm of Sutton (1988) and the Q-learning algorithm of Watkins (1989), can be motivated heuristically as approximations to dynamic programming (DP). In this paper we provide a rigorous proof of convergence of these DP-based learning algorithms by relating them to the powerful techniques of stochastic approximation theory via a new convergence theorem. The theorem establishes a general class of convergent algorithms to which both TD(lambda) and Q-learning belong.

Support Vector Machines: Training and Applications

The Support Vector Machine (SVM) is a new and very promising classification technique developed by Vapnik and his group at AT&T Bell Labs. This new learning algorithm can be seen as an alternative training technique for Polynomial, Radial Basis Function and Multi-Layer Perceptron classifiers. An interesting property of this approach is that it is an approximate implementation of the Structural Risk Minimization (SRM) induction principle. The derivation of Support Vector Machines, its relationship with SRM, and its geometrical insight, are discussed in this paper. Training a SVM is equivalent to solve a quadratic programming problem with linear and box constraints in a number of variables equal to the number of data points. When the number of data points exceeds few thousands the problem is very challenging, because the quadratic form is completely dense, so the memory needed to store the problem grows with the square of the number of data points. Therefore, training problems arising in some real applications with large data sets are impossible to load into memory, and cannot be solved using standard non-linear constrained optimization algorithms. We present a decomposition algorithm that can be used to train SVM's over large data sets. The main idea behind the decomposition is the iterative solution of sub-problems and the evaluation of, and also establish the stopping criteria for the algorithm. We present previous approaches, as well as results and important details of our implementation of the algorithm using a second-order variant of the Reduced Gradient Method as the solver of the sub-problems. As an application of SVM's, we present preliminary results we obtained applying SVM to the problem of detecting frontal human faces in real images.

Scaling algorithms for distributed max flow

Bibliography: p. 22-24.

Enhancing fault management performance of two-step QoS routing algorithms in GMPLS networks

In this paper a novel methodology aimed at minimizing the probability of network failure and the failure impact (in terms of QoS degradation) while optimizing the resource consumption is introduced. A detailed study of MPLS recovery techniques and their GMPLS extensions are also presented. In this scenario, some features for reducing the failure impact and offering minimum failure probabilities at the same time are also analyzed. Novel two-step routing algorithms using this methodology are proposed. Results show that these methods offer high protection levels with optimal resource consumption

Enhancing MPLS QoS routing algorithms by using the network protection degree paradigm

IP based networks still do not have the required degree of reliability required by new multimedia services, achieving such reliability will be crucial in the success or failure of the new Internet generation. Most of existing schemes for QoS routing do not take into consideration parameters concerning the quality of the protection, such as packet loss or restoration time. In this paper, we define a new paradigm to develop new protection strategies for building reliable MPLS networks, based on what we have called the network protection degree (NPD). This NPD consists of an a priori evaluation, the failure sensibility degree (FSD), which provides the failure probability and an a posteriori evaluation, the failure impact degree (FID), to determine the impact on the network in case of failure. Having mathematical formulated these components, we point out the most relevant components. Experimental results demonstrate the benefits of the utilization of the NPD, when used to enhance some current QoS routing algorithms to offer a certain degree of protection