Use of computer algebra in the calculation of Feynman diagrams

The increasing precision of current and future experiments in high-energy physics requires a likewise increase in the accuracy of the calculation of theoretical predictions, in order to find evidence for possible deviations of the generally accepted Standard Model of elementary particles and interactions. Calculating the experimentally measurable cross sections of scattering and decay processes to a higher accuracy directly translates into including higher order radiative corrections in the calculation. The large number of particles and interactions in the full Standard Model results in an exponentially growing number of Feynman diagrams contributing to any given process in higher orders. Additionally, the appearance of multiple independent mass scales makes even the calculation of single diagrams non-trivial. For over two decades now, the only way to cope with these issues has been to rely on the assistance of computers. The aim of the xloops project is to provide the necessary tools to automate the calculation procedures as far as possible, including the generation of the contributing diagrams and the evaluation of the resulting Feynman integrals. The latter is based on the techniques developed in Mainz for solving one- and two-loop diagrams in a general and systematic way using parallel/orthogonal space methods. These techniques involve a considerable amount of symbolic computations. During the development of xloops it was found that conventional computer algebra systems were not a suitable implementation environment. For this reason, a new system called GiNaC has been created, which allows the development of large-scale symbolic applications in an object-oriented fashion within the C++ programming language. This system, which is now also in use for other projects besides xloops, is the main focus of this thesis. The implementation of GiNaC as a C++ library sets it apart from other algebraic systems. Our results prove that a highly efficient symbolic manipulator can be designed in an object-oriented way, and that having a very fine granularity of objects is also feasible. The xloops-related parts of this work consist of a new implementation, based on GiNaC, of functions for calculating one-loop Feynman integrals that already existed in the original xloops program, as well as the addition of supplementary modules belonging to the interface between the library of integral functions and the diagram generator.

On the Design of a Boolean-network Robot Swarm: Collective Recognition of Ground Patterns.

Uno dei principali ambiti di ricerca dell’intelligenza artificiale concerne la realizzazione di agenti (in particolare, robot) in grado di aiutare o sostituire l’uomo nell’esecuzione di determinate attività. A tal fine, è possibile procedere seguendo due diversi metodi di progettazione: la progettazione manuale e la progettazione automatica. Quest’ultima può essere preferita alla prima nei contesti in cui occorra tenere in considerazione requisiti quali flessibilità e adattamento, spesso essenziali per lo svolgimento di compiti non banali in contesti reali. La progettazione automatica prende in considerazione un modello col quale rappresentare il comportamento dell’agente e una tecnica di ricerca (oppure di apprendimento) che iterativamente modifica il modello al fine di renderlo il più adatto possibile al compito in esame. In questo lavoro, il modello utilizzato per la rappresentazione del comportamento del robot è una rete booleana (Boolean network o Kauffman network). La scelta di tale modello deriva dal fatto che possiede una semplice struttura che rende agevolmente studiabili le dinamiche tuttavia complesse che si manifestano al suo interno. Inoltre, la letteratura recente mostra che i modelli a rete, quali ad esempio le reti neuronali artificiali, si sono dimostrati efficaci nella programmazione di robot. La metodologia per l’evoluzione di tale modello riguarda l’uso di tecniche di ricerca meta-euristiche in grado di trovare buone soluzioni in tempi contenuti, nonostante i grandi spazi di ricerca. Lavori precedenti hanno gia dimostrato l’applicabilità e investigato la metodologia su un singolo robot. Lo scopo di questo lavoro è quello di fornire prova di principio relativa a un insieme di robot, aprendo nuove strade per la progettazione in swarm robotics. In questo scenario, semplici agenti autonomi, interagendo fra loro, portano all’emergere di un comportamento coordinato adempiendo a task impossibili per la singola unità. Questo lavoro fornisce utili ed interessanti opportunità anche per lo studio delle interazioni fra reti booleane. Infatti, ogni robot è controllato da una rete booleana che determina l’output in funzione della propria configurazione interna ma anche dagli input ricevuti dai robot vicini. In questo lavoro definiamo un task in cui lo swarm deve discriminare due diversi pattern sul pavimento dell’arena utilizzando solo informazioni scambiate localmente. Dopo una prima serie di esperimenti preliminari che hanno permesso di identificare i parametri e il migliore algoritmo di ricerca, abbiamo semplificato l’istanza del problema per meglio investigare i criteri che possono influire sulle prestazioni. E’ stata così identificata una particolare combinazione di informazione che, scambiata localmente fra robot, porta al miglioramento delle prestazioni. L’ipotesi è stata confermata applicando successivamente questo risultato ad un’istanza più difficile del problema. Il lavoro si conclude suggerendo nuovi strumenti per lo studio dei fenomeni emergenti in contesti in cui le reti booleane interagiscono fra loro.

Le matrici e la loro algebra

In questa tesi ci si propone lo studio dell'anello delle matrici quadrate di ordine n, su un campo, per arrivare a dimostrare che ha solo ideali banali pur non essendo un campo. Allo scopo si introducono le operazioni elementari e il procedimento di traduzione di tali operazioni con opportune moltiplicazioni per matrici dette elementari. Si considera inoltre il gruppo generale lineare arrivando a dimostrare che un particolare sottoinsieme delle matrici elementari è un generatore di tale gruppo.

Algebra esterna e grassmanniane

Nella tesi viene fornita una costruzione dell'algebra esterna di un K-spazio vettoriale, alcune conseguenze principali come la derivazione in maniera traspente del determinante di e alcune sue proprietà e l'introduzione del concetto di Grassmanniana.

Il polinomio strutturale di un'algebra monounaria

Questa tesi descrive alcune proprietà delle algebre monounarie finite e si propone di trovare un metodo per classificarle. Poiché infatti il numero di algebre di ordine n aumenta notevolmente con la crescita di quest’ultimo, si cerca un modo per suddividerle in classi d’isomorfismo. In particolare, dal momento che anche il numero di queste classi cresce esponenzialmente all’aumentare di n, utilizziamo una classificazione meno fine dell’isomorfismo basata sul polinomio strutturale. Grazie a questo strumento infatti è possibile risalire a famiglie di grafi orientati associati ad algebre monounarie, a due a due non isomorfi, ricavando perciò alcune specifiche caratteristiche di quest’ultime. Infine, calcolando l’ordine di gruppi particolari, detti automorfi, si può ottenere l’effettivo numero di algebre aventi un dato polinomio strutturale.

Automatic Design of Boolean Networks for Modelling Differentiation Trees

Real living cell is a complex system governed by many process which are not yet fully understood: the process of cell differentiation is one of these. In this thesis work we make use of a cell differentiation model to develop gene regulatory networks (Boolean networks) with desired differentiation dynamics. To accomplish this task we have introduced techniques of automatic design and we have performed experiments using various differentiation trees. The results obtained have shown that the developed algorithms, except the Random algorithm, are able to generate Boolean networks with interesting differentiation dynamics. Moreover, we have presented some possible future applications and developments of the cell differentiation model in robotics and in medical research. Understanding the mechanisms involved in biological cells can gives us the possibility to explain some not yet understood dangerous disease, i.e the cancer. Le cellula è un sistema complesso governato da molti processi ancora non pienamente compresi: il differenziamento cellulare è uno di questi. In questa tesi utilizziamo un modello di differenziamento cellulare per sviluppare reti di regolazione genica (reti Booleane) con dinamiche di differenziamento desiderate. Per svolgere questo compito abbiamo introdotto tecniche di progettazione automatica e abbiamo eseguito esperimenti utilizzando vari alberi di differenziamento. I risultati ottenuti hanno mostrato che gli algoritmi sviluppati, eccetto l'algoritmo Random, sono in grado di poter generare reti Booleane con dinamiche di differenziamento interessanti. Inoltre, abbiamo presentato alcune possibili applicazioni e sviluppi futuri del modello di differenziamento in robotica e nella ricerca medica. Capire i meccanismi alla base del funzionamento cellulare può fornirci la possibilità di spiegare patologie ancora oggi non comprese, come il cancro.

Computer algebra for x-ray spectral reconstruction between 6 and 25 MV

A previously presented algorithm for the reconstruction of bremsstrahlung spectra from transmission data has been implemented into MATHEMATICA. Spectra vectorial algebra has been used to solve the matrix system A * F = T. The new implementation has been tested by reconstructing photon spectra from transmission data acquired in narrow beam conditions, for nominal energies of 6, 15, and 25 MV. The results were in excellent agreement with the original calculations. Our implementation has the advantage to be based on a well-tested mathematical kernel. Furthermore it offers a comfortable user interface.