Étude de situations de validation en algèbre vécues par des élèves de 13 et 14 ans à l’aide et sans l’aide d’un forum électronique

L’un des buts de l’apprentissage des mathématiques est le développement du raisonnement et celui-ci participe à la compréhension des mathématiques. Très liée au raisonnement, la notion de preuve est aussi fondamentale à l’apprentissage des mathématiques, car elle permet d’établir la validité d’arguments mathématiques et de conférer un sens à différents concepts à travers l’explication de l’organisation logique du travail effectué. Toutefois, malgré l’importance accordée au développement de différents types de raisonnements, plusieurs élèves éprouvent des difficultés lorsqu’ils sont appelés à concevoir ou à évaluer des preuves. Dans le cadre de cette recherche, nous avons étudié l’impact de l’utilisation d’un forum électronique sur le développement d’habiletés de validation algébrique ainsi que sur le développement d’habiletés en lien avec l’évaluation de preuves en algèbre chez des élèves de 13 et 14 ans du Nouveau-Brunswick et du Québec. Les résultats laissent supposer que l’utilisation du forum électronique encourage le passage des preuves pragmatiques aux preuves intellectuelles, en plus de favoriser une utilisation adéquate des règles du débat mathématique.

Les progressions arithmétiques dans les nombres entiers

Le sujet de cette thèse est l'étude des progressions arithmétiques dans les nombres entiers. Plus précisément, nous nous intéressons à borner inférieurement v(N), la taille du plus grand sous-ensemble des nombres entiers de 1 à N qui ne contient pas de progressions arithmétiques de 3 termes. Nous allons donc construire de grands sous-ensembles de nombres entiers qui ne contiennent pas de telles progressions, ce qui nous donne une borne inférieure sur v(N). Nous allons d'abord étudier les preuves de toutes les bornes inférieures obtenues jusqu'à présent, pour ensuite donner une autre preuve de la meilleure borne. Nous allons considérer les points à coordonnés entières dans un anneau à d dimensions, et compter le nombre de progressions arithmétiques qu'il contient. Pour obtenir des bornes sur ces quantités, nous allons étudier les méthodes pour compter le nombre de points de réseau dans des sphères à plusieurs dimensions, ce qui est le sujet de la dernière section.

Facteurs de résolution des enquêtes de meurtres sexuels

Le but de notre étude était de déterminer des variables du modus operandi de meurtres sexuels prédisant la résolution de l’enquête policière. Notre échantillon incluait 265 homicides sexuels de femmes codifiés dans le ViCLAS. La comparaison entre des meurtres sexuels résolus (N=178) et des meurtres sexuels non résolus (N=87), devait également permettre d’identifier les différences entre les issues de l’enquête, les stratégies du meurtrier pour éviter l’appréhension ainsi que les facteurs prédisant la résolution. D’après l’analyse de régression logistique, les prédicteurs tels que l’utilisation d’une arme, l’utilisation d’un bandeau/bâillon et l’agression impliquant une introduction par effraction ou un vol augmentent les probabilités que l’agresseur soit appréhendé. Au contraire, lorsque l’agresseur emporte un objet et que la victime est piétinée, les chances de résoudre l’enquête diminuent. Ces variables du modus operandi traduisent un déficit des compétences criminelles du meurtrier qui peut le pousser à multiplier les erreurs. De manière générale notre étude nous apprend que le contact rapproché entre l’agresseur et la victime favorise la dispersion d’indices propices à la résolution de l’enquête. Le nombre de ces indices est décuplé lorsqu’il y a pénétration vaginale ou anale et lorsque la victime est battue ou mordue. En outre, des contraintes intrinsèques à l’utilisation de stratégies d’évitement expliquent le fait que ces moyens, entravant l’avancée de l’enquête, ne sont que rarement exploités. Enfin, la faible proportion d’actes sexuels et violents observés dans ce genre de crime entrave le processus de résolution. Il en va de même pour l’impact limité des bases de données et de la spécialisation du meurtrier sexuel.

Probabilité et temps de fixation à l’aide de processus ancestraux

Ce mémoire analyse l’espérance du temps de fixation conditionnellement à ce qu’elle se produise et la probabilité de fixation d’un nouvel allèle mutant dans des populations soumises à différents phénomènes biologiques en uti- lisant l’approche des processus ancestraux. Tout d’abord, l’article de Tajima (1990) est analysé et les différentes preuves y étant manquantes ou incomplètes sont détaillées, dans le but de se familiariser avec les calculs du temps de fixa- tion. L’étude de cet article permet aussi de démontrer l’importance du temps de fixation sur certains phénomènes biologiques. Par la suite, l’effet de la sé- lection naturelle est introduit au modèle. L’article de Mano (2009) cite un ré- sultat intéressant quant à l’espérance du temps de fixation conditionnellement à ce que celle-ci survienne qui utilise une approximation par un processus de diffusion. Une nouvelle méthode utilisant le processus ancestral est présentée afin d’arriver à une bonne approximation de ce résultat. Des simulations sont faites afin de vérifier l’exactitude de la nouvelle approche. Finalement, un mo- dèle soumis à la conversion génique est analysé, puisque ce phénomène, en présence de biais, a un effet similaire à celui de la sélection. Nous obtenons finalement un résultat analytique pour la probabilité de fixation d’un nouveau mutant dans la population. Enfin, des simulations sont faites afin de détermi- nerlaprobabilitédefixationainsiqueletempsdefixationconditionnellorsque les taux sont trop grands pour pouvoir les calculer analytiquement.

Introduction à quelques aspects de quantification géométrique.

On révise les prérequis de géométrie différentielle nécessaires à une première approche de la théorie de la quantification géométrique, c'est-à-dire des notions de base en géométrie symplectique, des notions de groupes et d'algèbres de Lie, d'action d'un groupe de Lie, de G-fibré principal, de connexion, de fibré associé et de structure presque-complexe. Ceci mène à une étude plus approfondie des fibrés en droites hermitiens, dont une condition d'existence de fibré préquantique sur une variété symplectique. Avec ces outils en main, nous commençons ensuite l'étude de la quantification géométrique, étape par étape. Nous introduisons la théorie de la préquantification, i.e. la construction des opérateurs associés à des observables classiques et la construction d'un espace de Hilbert. Des problèmes majeurs font surface lors de l'application concrète de la préquantification : les opérateurs ne sont pas ceux attendus par la première quantification et l'espace de Hilbert formé est trop gros. Une première correction, la polarisation, élimine quelques problèmes, mais limite grandement l'ensemble des observables classiques que l'on peut quantifier. Ce mémoire n'est pas un survol complet de la quantification géométrique, et cela n'est pas son but. Il ne couvre ni la correction métaplectique, ni le noyau BKS. Il est un à-côté de lecture pour ceux qui s'introduisent à la quantification géométrique. D'une part, il introduit des concepts de géométrie différentielle pris pour acquis dans (Woodhouse [21]) et (Sniatycki [18]), i.e. G-fibrés principaux et fibrés associés. Enfin, il rajoute des détails à quelques preuves rapides données dans ces deux dernières références.

Reconnaître pour choisir, orienter et rencontrer : mères, guérisseurs et biomédecins à l’épreuve des rencontres et reconnaissances en milieux pédiatriques camerounais

Si hier les guérisseurs revendiquaient uniquement le besoin de reconnaissance, aujourd’hui, ils se battent plutôt pour que la reconnaissance qui leur a été accordée par l’État soit capable d’intégrer les conceptions africaines de la maladie et des thérapies ; de les protéger au même titre que les biomédecins dans l’exercice de leur profession ; de protéger les malades en cas de préjudices moral et physique. Ils craignent que la reconnaissance [accordée] ne soit pas reconnue juridiquement par une loi camerounaise qui régule leurs pratiques de soins. Dans la mesure où, sans une reconnaissance juridique et institutionnelle, il leur est impossible de se maintenir dans l’espace [public] de sociabilité thérapeutique ; de changer, à partir de la position illégitime, leurs conditions de praticiens précaires, et surtout leur relation aux usagers de soins [les mères] et aux biomédecins. Dans cette perspective, on se demande quelles sont les modalités d’intéressement ou de désintéressement mutuel qui permettent aux guérisseurs – affaiblis institutionnellement – et aux biomédecins – fortement reconnus – d’évoluer vers une réciprocité de perspectives. L’étude cherche à identifier les modes d’arrachement à l’affaiblissement institutionnel, en s’intéressant, d’un côté, aux processus de capacitation et de renforcement de la légitimité ; et de l’autre, à l’impact de ce renforcement, d’abord, sur la redéfinition des objets et figures de la rencontre et de la reconnaissance, et ensuite, sur la reconfiguration de l’espace de soins et du profil du thérapeute camerounais contemporain. Pour répondre à cet objectif, nous avons sollicité le cadre théorique de la sociologie des épreuves d’inspiration pragmatiste [Thévenot, Boltanski, Gennard et Cantelli] et de l’anthropologie capacitaire [Ricœur]. Les observations de consultations en Maisons de Soins [chez les guérisseurs] et au Centre Mère et Enfant [Hôpital pédiatrique] et les entretiens individuels effectués à Yaoundé [Cameroun] ont engendré une réflexion sur le sens que donnent les mères, guérisseurs et biomédecins au fait de rencontrer ou de refuser de rencontrer un soignant. L’analyse des données recueillies inscrit la rencontre dans l’axe de la reconnaissance capacitaire [des compétences], permettant ainsi d’envisager une pluralité de figures de la reconnaissance et de la rencontre. Elle indique aussi que si la formation à l’identité professionnelle biomédicale constitue pour les guérisseurs une tactique de renforcement de leur légitimité, l’inscription en médecines africaines de certains biomédecins [résistants ou non conformistes] les prédisposent à une résistance institutionnelle aux normes biomédicales ; ce qui permet de nuancer, au regard de la pluralisation et de la diversification des rationalités en jeu, la compréhension du caractère monolithique des institutions. Il en résulte une réflexion sur le brouillage des frontières entre les médecines africaines et la biomédecine, ce brouillage ayant alors comme conséquences, entre autres, une possible fragmentation ou morcellement de ces médecines en termes de «biomodernisation» des médecines africaines et de «traditionalisation» de la biomédecine en contexte africain.

Le parcours en emploi des immigrantes sélectionnées au Québec : quelles différences avec leurs homologues masculins ?

L'Enquête rétrospective sur les travailleurs sélectionnés au Québec a permis d’analyser la relation formation-emploi des immigrantes — arrivées comme requérantes principales — et de jeter un regard sur le parcours en emploi de ces femmes, en comparaison avec leurs homologues masculins. Une attention particulière est mise sur l'effet de genre et de la région de provenance, ainsi que l'interaction entre ces deux variables. Des modèles semi-paramétriques de Cox mettent en exergue comment les caractéristiques individuelles, mais aussi les activités de formation dans la société d’accueil, affectent au fil du temps les risques relatifs d’obtenir un premier emploi correspondant à ses qualifications scolaires prémigratoires. Puis, des régressions linéaires font état des déterminants du salaire après deux ans sur le territoire. Les résultats montrent que l'accès à l'emploi qualifié n'est pas affecté différemment selon que l'immigrant soit un homme ou une femme. Des différences intragroupes apparaissent toutefois en fonction de la région de provenance, avec un net avantage pour les immigrants de l'Europe de l'Ouest et des États-Unis. L'accès au premier emploi (sans distinction pour les qualifications) et le salaire révèlent, quant à eux, des différences sur la base du genre, avec un désavantage pour les femmes. Chez ces dernières, l'insertion en emploi se fait de façon similaire entre les groupes régionaux, alors que les groupes d'hommes sont plus hétérogènes. D'ailleurs, certaines caractéristiques individuelles, comme la connaissance du français et la catégorie d'admission, affectent différemment les immigrants et les immigrantes dans l'accès au premier emploi.

Les actions de groupes en géométrie symplectique et l'application moment

Ce mémoire porte sur quelques notions appropriées d'actions de groupe sur les variétés symplectiques, à savoir en ordre décroissant de généralité : les actions symplectiques, les actions faiblement hamiltoniennes et les actions hamiltoniennes. Une connaissance des actions de groupes et de la géométrie symplectique étant prérequise, deux chapitres sont consacrés à des présentations élémentaires de ces sujets. Le cas des actions hamiltoniennes est étudié en détail au quatrième chapitre : l'importante application moment y est définie et plusieurs résultats concernant les orbites de la représentation coadjointe, tels que les théorèmes de Kirillov et de Kostant-Souriau, y sont démontrés. Le dernier chapitre se concentre sur les actions hamiltoniennes des tores, l'objectif étant de démontrer le théorème de convexité d'Atiyha-Guillemin-Sternberg. Une discussion d'un théorème de classification de Delzant-Laudenbach est aussi donnée. La présentation se voulant une introduction assez exhaustive à la théorie des actions hamiltoniennes, presque tous les résultats énoncés sont accompagnés de preuves complètes. Divers exemples sont étudiés afin d'aider à bien comprendre les aspects plus subtils qui sont considérés. Plusieurs sujets connexes sont abordés, dont la préquantification géométrique et la réduction de Marsden-Weinstein.

On Szegö’s Type Theorems

This study is to look the effect of change in the ordering of the Fourier system on Szegö’s classical observations of asymptotic distribution of eigenvalues of finite Toeplitz forms.This is done by checking proofs and Szegö’s properties in the new set up.The Fourier system is unconditional [19], any arbitrary ordering of the Fourier system forms a basis for the Hilbert space L2 [-Π, Π].Here study about the classical Szegö’s theorem.Szegö’s type theorem for operators in L2(R+) and check its validity for certain multiplication operators.Since the trigonometric basis is not available in L2(R+) or in L2(R) .This study discussed about the classes of orderings of Haar System in L2 (R+) and in L2(R) in which Szegö’s Type TheoreT Am is valid for certain multiplication operators.It is divided into two sections. In the first section there is an ordering to Haar system in L2(R+) and prove that with respect to this ordering, Szegö’s Type theorem holds for general class of multiplication operators Tƒ with multiplier ƒ ε L2(R+), subject to some conditions on ƒ.Finally in second section more general classes of ordering of Haar system in L2(R+) and in L2(R) are identified in such a way that for certain classes of multiplication operators the asymptotic distribution of eigenvalues exists.

Wirtschaft an der Grenze. Studien zum Wirtschaftsleben in römischen Militärlagern im Norden Britanniens

Die wichtigsten Quellen für die Erforschung des Wirtschaftsleben in den Militärlagern im Norden Britanniens sind die im Kastell Vindolanda gefundenen Holztäfelchen mit Texten aus dem Lageralltag von ca. 90-120 n. Chr. sowie die archäologischen Funde aus der Region. Nicht zuletzt aufgrund dieser Quellenlage wurde der Betrachtungszeitraum auf die Zeit von Agricola bis Hadrianus begrenzt. Es hat sich gezeigt, daß das Wirtschaftsleben in den römischen Militärlagern im Norden Britanniens dieser Epoche einerseits bürokratische Züge trägt, da Führungspersonen in Militär und Verwaltung im Rahmen redistributiver Strukturen viele Güter beschafften, die an die Soldaten gegen Abzüge vom Sold ausgegeben wurden. Andererseits stand diesem Verfahren eine beeindruckende Dynamik im Marktgeschehen gegenüber, die durch die Erfordernisse der Heeresversorgung und des individuellen Konsums der Soldaten entstand. Zu den Bereichen der Wirtschaftstätigkeit, in denen ein starker Einfluß der Bürokratie herrschte, zählten insbesondere die Versorgung mit den Grundnahrungsmitteln (v. a. Getreide, Bier). Hypothesen über ein militärisches Redistributivsystem für Olivenöl unter der Ägide des praefectus annonae wurden allerdings nicht bestätigt. Die Existenz einer zentralen Behörde für die Heeresversorgung im Reich für die Principatszeit nicht nachgewiesen werden. Es zeigte sich statt dessen eine in der Forschung bisher nicht so deutlich gesehene Verantwortung und Aktivität unterer militärischer Entscheidungsträger vor Ort. Die Märkte an der britannischen Grenze bieten eine sehr viel differenzierteres Bild als man es von Handelsplätzen am äußersten Rande der romanisierten Welt vielleicht erwartet hätte. Vor allem zeichneten sie sich durch ein breites Angebot an Waren aus, die über große Entfernungen heran transportiert worden waren (Wein, Oliven, mediterrane Fischcaucen, Pfeffer, Importkeramik). Im Bereich des Handwerks sind im Norden Britanniens durch archäologische Funde und die Tätigkeitsbezeichnungen von Handwerkern in den Texten aus Vindolanda vielfältige Zeugnisse eines Engagements der Militärs präsent.

Bieberbach's Conjecture, the de Branges and Weinstein Functions and the Askey-Gasper Inequality

The Bieberbach conjecture about the coefficients of univalent functions of the unit disk was formulated by Ludwig Bieberbach in 1916 [Bieberbach1916]. The conjecture states that the coefficients of univalent functions are majorized by those of the Koebe function which maps the unit disk onto a radially slit plane. The Bieberbach conjecture was quite a difficult problem, and it was surprisingly proved by Louis de Branges in 1984 [deBranges1985] when some experts were rather trying to disprove it. It turned out that an inequality of Askey and Gasper [AskeyGasper1976] about certain hypergeometric functions played a crucial role in de Branges' proof. In this article I describe the historical development of the conjecture and the main ideas that led to the proof. The proof of Lenard Weinstein (1991) [Weinstein1991] follows, and it is shown how the two proofs are interrelated. Both proofs depend on polynomial systems that are directly related with the Koebe function. At this point algorithms of computer algebra come into the play, and computer demonstrations are given that show how important parts of the proofs can be automated.

Solution properties of the de Branges differential recurrence equation

In this 1984 proof of the Bieberbach and Milin conjectures de Branges used a positivity result of special functions which follows from an identity about Jacobi polynomial sums thas was published by Askey and Gasper in 1976. The de Branges functions Tn/k(t) are defined as the solutions of a system of differential recurrence equations with suitably given initial values. The essential fact used in the proof of the Bieberbach and Milin conjectures is the statement Tn/k(t)<=0. In 1991 Weinstein presented another proof of the Bieberbach and Milin conjectures, also using a special function system Λn/k(t) which (by Todorov and Wilf) was realized to be directly connected with de Branges', Tn/k(t)=-kΛn/k(t), and the positivity results in both proofs Tn/k(t)<=0 are essentially the same. In this paper we study differential recurrence equations equivalent to de Branges' original ones and show that many solutions of these differential recurrence equations don't change sign so that the above inequality is not as surprising as expected. Furthermore, we present a multiparameterized hypergeometric family of solutions of the de Branges differential recurrence equations showing that solutions are not rare at all.

On Vessiot's Theory of Partial Differential Equations

The object of research presented here is Vessiot's theory of partial differential equations: for a given differential equation one constructs a distribution both tangential to the differential equation and contained within the contact distribution of the jet bundle. Then within it, one seeks n-dimensional subdistributions which are transversal to the base manifold, the integral distributions. These consist of integral elements, and these again shall be adapted so that they make a subdistribution which closes under the Lie-bracket. This then is called a flat Vessiot connection. Solutions to the differential equation may be regarded as integral manifolds of these distributions. In the first part of the thesis, I give a survey of the present state of the formal theory of partial differential equations: one regards differential equations as fibred submanifolds in a suitable jet bundle and considers formal integrability and the stronger notion of involutivity of differential equations for analyzing their solvability. An arbitrary system may (locally) be represented in reduced Cartan normal form. This leads to a natural description of its geometric symbol. The Vessiot distribution now can be split into the direct sum of the symbol and a horizontal complement (which is not unique). The n-dimensional subdistributions which close under the Lie bracket and are transversal to the base manifold are the sought tangential approximations for the solutions of the differential equation. It is now possible to show their existence by analyzing the structure equations. Vessiot's theory is now based on a rigorous foundation. Furthermore, the relation between Vessiot's approach and the crucial notions of the formal theory (like formal integrability and involutivity of differential equations) is clarified. The possible obstructions to involution of a differential equation are deduced explicitly. In the second part of the thesis it is shown that Vessiot's approach for the construction of the wanted distributions step by step succeeds if, and only if, the given system is involutive. Firstly, an existence theorem for integral distributions is proven. Then an existence theorem for flat Vessiot connections is shown. The differential-geometric structure of the basic systems is analyzed and simplified, as compared to those of other approaches, in particular the structure equations which are considered for the proofs of the existence theorems: here, they are a set of linear equations and an involutive system of differential equations. The definition of integral elements given here links Vessiot theory and the dual Cartan-Kähler theory of exterior systems. The analysis of the structure equations not only yields theoretical insight but also produces an algorithm which can be used to derive the coefficients of the vector fields, which span the integral distributions, explicitly. Therefore implementing the algorithm in the computer algebra system MuPAD now is possible.

Lower Bounds for Nonforgetting Restarting Automata and CD-Systems of Restarting Automata

The nonforgetting restarting automaton is a generalization of the restarting automaton that, when executing a restart operation, changes its internal state based on the current state and the actual contents of its read/write window instead of resetting it to the initial state. Another generalization of the restarting automaton is the cooperating distributed system (CD-system) of restarting automata. Here a finite system of restarting automata works together in analyzing a given sentence, where they interact based on a given mode of operation. As it turned out, CD-systems of restarting automata of some type X working in mode =1 are just as expressive as nonforgetting restarting automata of the same type X. Further, various types of determinism have been introduced for CD-systems of restarting automata called strict determinism, global determinism, and local determinism, and it has been shown that globally deterministic CD-systems working in mode =1 correspond to deterministic nonforgetting restarting automata. Here we derive some lower bound results for some types of nonforgetting restarting automata and for some types of CD-systems of restarting automata. In this way we establish separations between the corresponding language classes, thus providing detailed technical proofs for some of the separation results announced in the literature.

Preformal proving: examples and reflections

The starting point of our reflections is a classroom situation in grade 12 in which it was to be proved intuitively that non-trivial solutions of the differential equation f' = f have no zeros. We give a working definition of the concept of preformal proving, as well as three examples of preformal proofs. Then we furnish several such proofs of the aforesaid fact, and we analyse these proofs in detail. Finally, we draw some conclusions for mathematics in school and in teacher training.