EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES

Na disciplina de Análise Matemática, logo ao início de certos cursos de licenciatura, é usual tratar, entre outros temas, o das equações diferenciais, sejam ordinárias ou às derivadas parciais.

EQUAÇÕES ÀS DIFERENÇAS ORDINÁRIAS LINEARES

Na disciplina de Análise Matemática, em geral no final do segundo semestre do primeiro ano dos cursos de licenciatura em Economia, Gestão e Engenharia, é usual tratar, entre outros temas, o das equações às diferenças, quase sempre apenas ordinárias.

Estimativa da erodibilidade a partir de atributos de solos com horizonte B textural no Brasil

Os métodos existentes para estimar a erodibilidade dos solos (fator K) não se têm mostrado adequados quando aplicados a solos brasileiros. Este trabalho teve por objetivo o desenvolvimento de método indireto para estimar a erodibilidade, visando obter esse fator, a partir de propriedades do solo facilmente determináveis. Assim, os horizontes A e Bt (B textural) de 22 solos de várias regiões geográficas do Brasil foram submetidos a diversas análises químicas e físicas, e a descrição morfológica do perfil foi considerada. Tais resultados (variáveis independentes) foram submetidos à análise de regressão linear múltipla em "stepwise", e relacionados com a erodibilidade (fator K) medida diretamente no campo (variável dependente). Obtiveram-se várias equações com graus crescentes de complexidade e precisão. A partir das variáveis selecionadas, tanto do horizonte A quanto do Bt, e da distribuição do tamanho das partículas, obtida com e sem dispersante químico, foi possível estimar, satisfatoriamente, a erodibilidade desses solos. As informações contidas na descrição morfológica dos perfis de solo, especialmente as referentes à estrutura, bem como os teores de carbono orgânico, foram de grande importância para a determinação indireta da erodibilidade (fator K).

Estimativa de H + AL pelo pH SMP em solos do Rio Grande do Sul e de Santa Catarina

A capacidade de troca de cátions (CTC) e a proporção dos principais cátions retidos nas cargas negativas do solo são de grande importância para a caracterização química e para o diagnóstico da fertilidade do solo. Essas características, juntamente com o Al, o Ca e o Mg trocáveis, foram incluídas na análise de solo realizada pelos laboratórios oficiais do Rio Grande do Sul e de Santa Catarina, a partir de 1994. Este trabalho avaliou a relação entre o valor de H + Al e o pH SMP, visando estabelecer uma equação para a estimativa do valor de H + Al (acidez potencial), o qual pode ser utilizado no cálculo da CTC (método da soma de cátions trocáveis). O trabalho foi realizado nos laboratórios de solos da Universidade de Passo Fundo (UPF) e da Universidade Federal do Rio Grande do Sul (UFRGS), em 1995, constando da determinação do teor de H + Al, extraído com acetato de cálcio 1,0 mol L-1, pH 7,0, e do pH SMP em um grupo de 113 amostras de solo. Os resultados obtidos foram reunidos com os de outros pesquisadores, procedendo-se à análise de regressão para um conjunto de 250 amostras representativas de solos dos dois estados. Observou-se relação significativa entre o valor de H + Al e o pH SMP. Concluiu-se que as equações log (H + Al) = 3,9014 - 0,391 SMP (R² = 0,90) ou ln (H + Al) = 8,9832 - 0,9004 SMP (R² = 0,90), com os valores de H + Al expressos em mmol c dm-3, podem ser utilizadas para a estimativa do teor de H + Al pelo uso do pH SMP.

Avaliação de fatores edafoclimáticos e do manejo na produção de cafeeiros (Coffea arabica L.) no Oeste Paulista

Atributos do clima, solo e manejo foram caracterizados em 10 lavouras comerciais de café, estabelecidas na região oeste do estado de São Paulo, nos municípios de Sagres, Pompéia, Iacri, Bastos, Herculândia, Marília, Vera Cruz, Garça e Gália. Os objetivos foram identificar os principais fatores limitantes à cultura e estabelecer um modelo multivariado simples para explicar as produções observadas entre 1984 e 1989. Foram analisados, por correlação simples, mais de 2.000 atributos em relação às produções finais. Os atributos que apresentaram significância a 5% de probalidade pelo teste t de Student foram combinados em sucessivas análises de regressão múltipla. Três equações, com quatorze, cinco e seis variáveis preditoras, foram selecionadas, com graus de explicação da produção observada da ordem de 77, 73 e 75%, respectivamente. Quatro variáveis foram comuns aos três modelos: produção do ano anterior, idade da lavoura, temperatura mínima absoluta média na época do abotoamento e florescimento e soma dos teores de silte e argila nos horizontes subsuperficiais. Outras variáveis selecionadas foram: precipitação na época do abotoamento e florescimento; precipitação na época da maturação e colheita; densidade do solo e água disponível junto à cova (camada de 20-40 cm); macroporosidade na rodagem de máquinas (camada de 0-20 cm); adubação nitrogenada; pH em água e fósforo, ambos na área adubada (camada de 20-40 cm); teor de cálcio trocável e relação Mg:K trocáveis, ambos na área adubada (camada de 0-20 cm). A análise dos dados de produção no período de seis anos mostrou que as lavouras encontravam-se em processo de depauperamento, com declínio da produtividade da ordem de 400 kg ha-1 ano-1. As áreas necessitavam de melhoria da calagem, fosfatagem em profundidade, restabelecimento dos níveis de magnésio no solo e adubação mineral equilibrada. Também ficou evidenciada a necessidade de ser evitada a instalação da lavoura em áreas de acúmulo de ar frio no inverno ou solos com acentuado gradiente textural.

Correlação entre características de latossolos e parâmetros de equações de adsorção de cobre e zinco

A adsorção de Cu e Zn é um dos principais fenômenos responsáveis pela disponibilidade desses elementos para as plantas. Portanto, estudos sobre a adsorção desses elementos em solos podem ser ferramentas úteis para compreensão da relação entre características dos solos e retenção desses micronutrientes. Nesse sentido, o presente trabalho objetivou caracterizar a adsorção de Cu e Zn em amostras de seis Latossolos de Minas Gerais e as influências de características dos solos sobre os parâmetros de adsorção obtidos pelas equações de Langmuir e de Freundlich. Para tanto, foram utilizadas soluções de cloreto de cobre e cloreto de zinco nas concentrações 0, 10, 20, 40, 60, 80, 100, 120 e 140 mg L-1, ajustadas a pH 5,5. As equações de Langmuir e Freundlich foram eficientes na determinação dos parâmetros de adsorção de Zn e Cu, sendo os teores de argila e de matéria orgânica, respectivamente, as características mais bem relacionadas com a capacidade de adsorção desses elementos pelos solos. Os solos estudados apresentaram maior energia de ligação dos sítios de troca e maior capacidade de adsorção máxima para Cu relativamente ao Zn. O P remanescente não se correlacionou com os parâmetros de adsorção de Zn, em virtude, provavelmente, da influência da matéria orgânica em sua determinação. Este fato pode limitar sua eficiência na previsão da adsorção deste elemento em solos com alto teor de C orgânico.

Erosividade, coeficiente de chuva, padrões e período de retorno das chuvas de Quaraí, RS

O conhecimento da potencialidade das chuvas em causar erosão é necessário para planejamento de atividades agrícolas e de engenharia civil. Para a localidade de Quaraí (RS), foram determinados a erosividade da chuva e a relação com a precipitação e o coeficiente de chuva, os padrões hidrológicos e o período de retorno das chuvas. Utilizaram-se dados pluviográficos diários do período 1966-2003. Para cada chuva erosiva, foram separados os segmentos do pluviograma com a mesma intensidade e registrados os dados em planilha. Com o programa Chuveros, foram calculadas as erosividades mensal, anual e média das chuvas pelo índice EI30, no Sistema Internacional de Unidades, e os padrões hidrológicos de chuva, bem como o coeficiente de chuva. Foram realizadas correlações de Pearson e regressões lineares simples entre o índice de erosividade EI30 e os valores médios mensais (p) e anuais (P) de precipitação e do coeficiente de chuva (Rc). Foi calculada a intensidade máxima da chuva pelo método da distribuição extrema tipo 1 para durações de chuva de 1/6, 1/3, 1/2, 1, 2, 4, 8, 12, 24 e 48 h e períodos de retorno da chuva de 2, 5, 10, 20, 50 e 100 anos. Foram ajustadas equações que relacionam a intensidade máxima e a duração da chuva para os períodos de retorno da chuva de 2, 5, 10, 20, 50 e 100 anos, pelo método de regressão linear simples, e construído o gráfico que relaciona essas características da chuva. O valor médio anual de EI30 (fator R da USLE) calculado para Quaraí foi de 9.292 MJ mm ha-1 h-1 ano-1. Obtiveram-se as equações EI30 = -754,37 + 13,50 p (r² = 0,85) e EI30 = -47,35 + 82,72 Rc (R² = 0,84). Em relação ao total das chuvas estudadas, 44 % do número e 90 % do volume foram erosivas. Do número total das chuvas erosivas, 51 % foram do padrão hidrológico avançado, 25 % do intermediário e 24 % do atrasado, ao passo que, do volume total das chuvas erosivas, 57 % foram do padrão avançado, 25 % do intermediário e 18 % do atrasado. Das chuvas erosivas, 57 % da erosividade correspondeu a chuvas do padrão avançado, 25 % a chuvas do padrão intermediário e 18 % a chuvas do padrão atrasado.

Estimativa da resistência mecânica à penetração de um latossolo vermelho sob cultura perene no norte do estado do Paraná

Uma das propriedades físicas importantes para o manejo e estudo da qualidade física dos solos é sua resistência à penetração, uma vez que esta propriedade se apresenta relacionada a diversos atributos do solo indicadores do grau de compactação. O objetivo deste trabalho foi estimar a resistência mecânica do solo à penetração de um Latossolo Vermelho eutroférrico sob cultura perene, em três condições de umidade gravimétrica, a partir da densidade, umidade, teor de argila (Arg) e matéria orgânica do solo. A resistência mecânica do solo à penetração foi avaliada mediante o uso do penetrômetro de impacto, e os dados obtidos em impactos dm-1 foram convertidos em resistência dinâmica (MPa). No momento da determinação da resistência mecânica do solo, foram coletadas 30 amostras por profundidade: 0-0,10; 0,1-0,3; 0,3-0,5 m, para determinação de três diferentes teores de umidade gravimétrica (Ug) (Ug1 < 0,20 kg kg-1 , 0,20 < Ug2 < 0,30 kg kg-1 e Ug3 > 0,30 kg kg-1 ), composição granulométrica, teor de matéria orgânica (MO) e densidade do solo (Ds). Foram aplicados testes de distribuição normal para seleção das variáveis participantes dos modelos, por meio do teste W. Em seguida, foram realizadas análises de correlação simples entre as variáveis e análise de regressão múltipla por Stepwise. Para obtenção dos modelos, realizou-se uma análise com quatro variáveis independentes, representadas por: X1 = Ug, X2 = Ds, X3 = MO, X4 = Arg, e a variável dependente (Y), caracterizada pela resistência do solo à penetração (RP). Após obtenção dos modelos finais, testaram-se os efeitos de multicolinearidade por meio do VIF (Fator de Incremento de Variância), sendo os valores de VIF menores que 10 indicativos de que o efeito da multicolineridade não influencia os resultados da regressão. Foi utilizado o nível de significância do valor F da variável de 15 % de probabilidade para a inclusão e exclusão de variáveis no modelo. Os resultados permitiram concluir que as equações que melhor estimaram a resistência do solo à penetração foram: para Ug < 0,20 kg kg-1 : RPE = 1,12 + 2,04Ds + 0,17MO (R² = 0,92); para (0,20 < Ug < 0,30 kg kg-1): RPE = 2,93 - 17,85Ug + 2,98Ds (R² = 0,95); para Ug > 0,30 kg kg-1: RPE = 3,20 - 13,78Ug + 4,43Ds (R² = 0,97). Em todas as situações estudadas, os coeficientes de variação variaram de altos (situação UG1) a muito altos (situação UG2 e Ug3), caracterizando alta variabilidade espacial da RP; logo, a utilização dos modelos selecionados deve ser feita com cautela, pois ocorre importante dispersão de pontos estimados por meio dos modelos, em relação aos valores medidos.

Comparação de modelos matemáticos para descrição das curvas de dessorção de sementes de milho-doce

Este trabalho teve como objetivo determinar as curvas de dessorção das sementes de milho-doce (Zea mays L.), cultivares Superdoce e Doce Cristal, e ajustar diferentes modelos matemáticos aos dados obtidos. As sementes das duas cultivares foram submetidas à dessorção em diversos níveis de temperatura (30, 40, 50 e 60°C), combinados com diferentes umidades relativas do ar (30, 40, 50 e 60%), até atingirem a umidade de equilíbrio. Os seguintes modelos matemáticos foram ajustados por análise de regressão: Henderson-Thompson, Chung-Pfost, Copace, Sigma-Copace, Sabbah e Smith. As sementes das duas cultivares apresentaram umidades de equilíbrio higroscópico semelhantes. Os valores da variância explicada e do desvio-padrão, bem como a distribuição dos resíduos, das duas cultivares, indicam que as equações de Chung-Pfost, Sabbah e Smith foram as que melhor se ajustaram aos dados experimentais, com pequena superioridade da primeira.

Comparação de métodos de regressão para avaliar a estabilidade fenotípica em cana-de-açúcar

O objetivo deste trabalho foi comparar dois métodos de regressão empregados para avaliar a estabilidade fenotípica em plantas de cana-de-açúcar, o linear, de Cruz et al., e o não-linear, de Toler & Burrows. Utilizaram-se as informações do ensaio de caracterização de 1994 do programa de melhoramento genético da Copersucar, compreendendo 13 locais e 20 genótipos de cana-de-açúcar no Estado de São Paulo. Os resultados permitiram concluir que ambos os modelos se ajustaram satisfatoriamente aos dados. As estimativas da qualidade ambiental pelos dois modelos mostraram diferenças entre seus valores, porém foram concordantes para inferir sobre os melhores e piores ambientes. Ao classificar os genótipos com base na produtividade e no padrão de resposta, no entanto, apenas dez foram coincidentes nos dois métodos. As vantagens estatísticas do método não-linear torna-o recomendável para pesquisa sobre estabilidade.

Equações para a estimativa do índice de área foliar do cafeeiro

Com o objetivo de estudar a variação temporal do índice de área foliar (IAF) da cultura de café, utilizando um método simples e não-destrutivo, foi instalado um experimento no Departamento de Produção Vegetal, da Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz, da Universidade de São Paulo. Utilizou-se a cultivar Mundo Novo IAC 388-17, enxertada sobre a cultivar Apoatã IAC 2258 (de 15 até 35 meses de idade), no espaçamento de 2,5 x 1,0 m. Foram coletadas todas as folhas de duas plantas de café, em intervalos de 60 a 150 dias, para a mensuração da área foliar com o equipamento LI-COR (modelo 3100). Para obter a relação funcional entre IAF e diferentes variáveis de crescimento (altura da planta, número e massa total de folhas e área foliar) e arquitetura da copa (área da seção inferior, média e superior do dossel, área lateral do dossel, diâmetro inferior, médio e superior do dossel, volume do dossel da planta e altura do primeiro par de ramos), assumiu-se que a parte aérea do cafeeiro tem a forma cônica. O diâmetro da seção inferior do dossel (primeiro par de ramos) e a altura da planta podem ser utilizadas para estimar o índice de área foliar do cafeeiro.

Análise de fatores e regressão bissegmentada em estudos de estratificação ambiental e adaptabilidade em milho

O objetivo deste trabalho foi verificar possíveis divergências entre os resultados obtidos nas avaliações da adaptabilidade de 27 genótipos de milho (Zea mays L.), e na estratificação de 22 ambientes no Estado do Paraná, por meio de técnicas baseadas na análise de fatores e regressão bissegmentada. As estratificações ambientais foram feitas por meio do método tradicional e por análise de fatores, aliada ao porcentual da porção simples da interação GxA (PS%). As análises de adaptabilidade foram realizadas por meio de regressão bissegmentada e análise de fatores. Pela análise de regressão bissegmentada, os genótipos estudados apresentaram alta performance produtiva; no entanto, não foi constatado o genótipo considerado como ideal. A adaptabilidade dos genótipos, analisada por meio de plotagens gráficas, apresentou respostas diferenciadas quando comparada à regressão bissegmentada. A análise de fatores mostrou-se eficiente nos processos de estratificação ambiental e adaptabilidade dos genótipos de milho.

Seleção de variáveis em modelos matemáticos dos parâmetros de cultivo do camarão marinho Litopenaeus vannamei

O objetivo deste trabalho foi selecionar as variáveis de manejo do camarão marinho Litopenaeus vannamei que mais influenciaram nas variáveis-respostas ao cultivo (produção, produtividade, peso final e taxa de sobrevivência), em modelos matemáticos. O banco de dados foi composto por 83 cultivos, realizados no período de 2003 a 2005, obtidos de uma fazenda comercial localizada no litoral sul de Pernambuco. Para estimar os parâmetros dos modelos, utilizou-se a técnica dos mínimos quadrados. A seleção das variáveis foi realizada com o processo "backward elimination" associado ao método de transformação de Box e Cox. A adequação das equações e os pressupostos de normalidade e homocedasticidade, para os erros, foram analisadas com base na análise de variância e análise de resíduo. É possível relacionar essas variáveis e estabelecer predições com as equações.

Homogeneidade e heterogeneidade de variância residual em modelos de regressão aleatória sobre o crescimento de caprinos Anglo-Nubianos

O objetivo deste trabalho foi comparar modelos de regressão aleatória com diferentes estruturas de variâncias residuais, na estimação dos componentes de covariância e parâmetros genéticos de características de crescimento de caprinos. A função de regressão por meio de polinômios ortogonais de Legendre de ordem quatro foi usada para modelar a trajetória média de crescimento animal, e de ordem três, para modelar os efeitos genéticos aditivos direto e materno e de ambiente permanente. Diferentes estruturas de variâncias residuais foram consideradas, por meio de classes de uma a sete variâncias residuais, e funções de variâncias com uso dos polinômios ordinários e de Legendre, com ordens que variaram de linear até a do quarto grau. Os modelos foram comparados pelo teste de razão de verossimilhança, o critério de informação de Akaike e o critério bayesiano de Schwarz. Os modelos com funções de variâncias residuais foram superiores aos de classes de variância. O polinômio ordinário de terceira ordem apresentou melhores resultados. Os parâmetros genéticos são influenciados pelo ajuste da variância residual, no entanto, os estimados pelos modelos que consideraram classes de variância, polinômio ordinário e polinômio de Legendre, de terceira ordem, são semelhantes.

Adaptabilidade e estabilidade via regressão não paramétrica em genótipos de café

O objetivo deste trabalho foi avaliar uma metodologia de análise de adaptabilidade e estabilidade fenotípica de genótipos de café baseada em regressão não paramétrica. A técnica utilizada difere das demais, pois reduz a influência na estimação do parâmetro de adaptabilidade de algum ponto extremo, ocasionado pela presença de genótipos com respostas demasiadamente diferenciadas a determinado ambiente. Foram utilizados dados provenientes de um experimento sobre produtividade média de grãos de 40 genótipos de café (Coffea canephora), com delineamento em blocos ao acaso, com seis repetições. Os genótipos foram avaliados em cinco anos (1996, 1998, 1999, 2000 e 2001), em dois locais (Sooretama e Marilândia, ES) no total de dez ambientes. A metodologia proposta demonstrou ser adequada e eficiente, pois extingue os efeitos impróprios induzidos pela presença de pontos extremos e evita a recomendação incorreta de genótipos quanto à adaptabilidade.