As simetrias na tecelagem (parte I)

Neste artigo, convido o leitor a transformar-se num detetive à caça de simetrias! E desta vez o objeto da nossa atenção são as bonitas peças de tecelagem. Os tecidos obtêm-se através do entrelaçamento de fios longitudinais (fios de teia) com fios transversais (fios de trama), o que só por si já tem interesse do ponto de vista matemático. (...) Joana Dias é natural da Ilha de São Miguel e vive atualmente em Santa Maria. O seu trabalho artesanal em tecelagem, malhas e fiação de lã pode ser apreciado na Web. (...) Joana acrescenta: "Como designer tenho um fascínio pelo padrão, pela repetição de um motivo, pela desconstrução e pela sensação de desenhar e preencher um espaço sem limites, sem princípio nem fim. A repetição é infinita embora vejamos apenas uma parte. A arte da tecelagem representa este momento mágico de construção do padrão dentro dos limites do tear." Reforço o facto de este aspeto referido pela Joana ser de extrema importância para a compreensão intuitiva do conceito de simetria. Aqui está um exemplo claro de como é importante estabelecer pontes entre a Escola e a Sociedade, com enfoque nas nossas tradições. E por que não trazer à Escola artesãos açorianos para dar um testemunho das diferentes formas de artesanato tão características da nossa região? Muitos alunos certamente adorariam fazer as suas próprias peças orientados por quem sabe, para não falar no potencial deste tipo de atividades para a promoção de aprendizagens significativas. (...)

As simetrias na tecelagem (parte II)

Voltamos à conversa com Joana Dias sobre o trabalho que tem desenvolvido no âmbito da tecelagem tradicional. A artesã explica as diferentes fases de execução de uma peça: "Primeiro há que fazer a teia. Aqui reside o grande segredo da tecelagem: na preparação da teia e na consequente preparação do tear está mais de metade do trabalho feito. Em seguida, escolho os fios de trama para cobrir a teia. Se forem retalhos, por exemplo, tenho de os cortar, o que demora muito tempo. Confesso que, por vezes, esta é uma tarefa cansativa que me retira algum ânimo e energia. Já o tecer propriamente dito é relativamente rápido, mas é o mais interessante. Só por isso tudo o resto vale a pena!" De facto, é nesta fase que se define o padrão da peça e as simetrias que o caracterizam. É sobretudo esta componente criativa que entusiasma a nossa artesã. (...) A artesã acrescenta: "Penso que os trabalhos de artesanato se fazem, por vezes, ao contrário do que deveria ser. Numa busca pela modernização do artesanato, perde-se o que realmente é tradicional e 'de mestre' para entrarmos numa banalização de que tudo o que é feito à mão é artesanato. Por vezes, não sinto que haja uma vontade de preservar o que é verdadeiramente nosso, cedendo-se às pressões do souvenir para o turista, das miniaturas e afins, em vez de se ir à essência das coisas e partir daí para uma utilização real do objeto e/ou da técnica. Está a banalizar-se um saber fazer que antes se chamava de ofício e não de artesanato, usando-o como aspeto meramente decorativo, de utilização aleatória, que podia ser aquela ou outra qualquer." (...)

As simetrias na tecelagem (parte III)

Ao retomar o tema do último artigo, lanço novamente ao leitor o desafio de se tornar num detetive à descoberta de simetrias nas peças de tecelagem da autoria de Joana Dias. (...) Encontramos frisos em todos os exemplos selecionados. Os frisos são figuras que apresentam simetrias de translação numa única direção. Isto significa que estamos na presença de um friso sempre que é possível identificar um motivo que se repete sucessivamente ao longo de uma faixa, estando as cópias do motivo igualmente espaçadas. A classificação do friso baseia-se na forma como esse motivo se repete, ou seja, na identificação de outras simetrias que o friso possa apresentar. (...) Vejamos o primeiro exemplo (figura 1): "Esta mala é uma peça recente trabalhada em fio de algodão e retalhos de tecido de algodão. Cada mala corresponde seguramente a mais de oito horas de trabalho. Aprendi em S. Jorge um ditado popular muito interessante: À casa da tecedeira sempre lhe faltou telha!" Ao analisar em pormenor uma das suas faixas (figura 2), o friso em causa apresenta simetrias de reflexão em espelho (tem um eixo de simetria horizontal, que coincide com a reta a amarelo; e, supondo que o motivo se repete indefinidamente para a esquerda e para a direita, um número infinito de eixos de simetria verticais). Se o leitor colocar um espelho perpendicular à página do jornal, de modo a que a borda do espelho assente na reta a amarelo (reta horizontal que divide o friso ao meio), verá que cada lado da imagem é, de facto, um reflexo do outro. O mesmo exercício pode ser feito assentando o espelho nos eixos de simetria verticais do friso. Este exemplo também apresenta simetrias de meia-volta: se virarmos o friso "de pernas ao ar", a sua configuração não se altera. (...)

A Matemática do Pré-Escolar: o exemplo de Singapura

Singapura é uma Cidade-Estado localizada na ponta sul da Península Malaia, no Sudeste Asiático. Trata-se de um país insular constituído por 63 ilhas, que está separado da Malásia pelo Estreito de Johor, a norte, e das Ilhas Riau (Indonésia) pelo Estreito de Singapura, a sul. (...) No âmbito deste artigo, interessa-nos falar um pouco sobre o sistema de ensino deste país. A verdade é que os alunos de Singapura têm geralmente as notas mais altas nos exames internacionais de Matemática. Veja-se, por exemplo, o caso do TIMS (Trends in International Mathematics and Science Study) (...) O sucesso deste método também passa por uma forte aposta no Pré-Escolar, seguindo a máxima “É de pequenino que se torce o pepino!” Desde logo, há que desconstruir a ideia bastante comum em Portugal de que, no Jardim de Infância, os temas matemáticos são trabalhados nas rotinas diárias e que esse trabalho informal é mais do que suficiente para cumprir os objetivos relativos ao ensino da Matemática nos primeiros anos. Tal como acontece com as outras áreas e domínios, também a Matemática deve ter um espaço de trabalho próprio (em termos da calendarização semanal das atividades como também na organização do espaço físico da sala do Jardim de Infância). Esse espaço deve ser ocupado com atividades desafiadoras que, num tom lúdico e com apelo à utilização de muitos materiais (estruturados e não estruturados), estimulem o desenvolvimento de competências matemáticas. (...) O processo de aprendizagem deve processar-se em três etapas: Concreto (os alunos participam em atividades usando objetos concretos, quer sejam materiais estruturados ou não estruturados); Pictórico (os alunos trabalham representações pictóricas de conceitos matemáticos – por exemplo, utilizam tracinhos ou pontinhos); Abstrato (os alunos resolvem problemas matemáticos de forma abstrata, usando numerais e outros símbolos). Há também um extremo cuidado em não saltar etapas. Os novos conceitos matemáticos são introduzidos, partindo de conceitos que já foram trabalhados à exaustão e que a criança domina. Esta progressão em espiral permite também uma revisão de conceitos matemáticos importantes, enquanto se promove a expansão dessas bases. Outro aspeto crucial passa por estimular a prática da oralidade. As crianças são chamadas a verbalizar o seu raciocínio, a usar frases completas, com sujeito e predicado, e a alargar o vocabulário que têm à sua disposição. Uma última palavra para o treino motor (a criança é convidada a traçar no ar, a contornar objetos com o indicador e, posteriormente, com um lápis) e para um convite à capacidade de a criança monitorizar o seu próprio pensamento, a ter consciência das estratégias que pode usar e a repensar sobre os processos de pensamento individual, num claro convite ao desenvolvimento da metacognição. (...)

Matrizes e Quadrados Mágicos

Na sociedade atual, completamente dominada pela constante procura de informação, faz todo o sentido recorrer a formas organizadas de apresentar os dados recolhidos que permitam uma leitura rápida e acessível. As matrizes, pela sua estrutura, possibilitam este tipo de abordagem com vista ao tratamento de uma grande quantidade de informação. (...) Poucas áreas da Matemática sofreram nos últimos 30 anos uma evolução tão significativa como a Teoria de Matrizes. Isto deve-se ao desenvolvimento de computadores cada vez mais potentes do ponto de vista da capacidade computacional, bem como à introdução de métodos matriciais em diferentes áreas de aplicação. Atualmente, a Teoria de Matrizes é utilizada com frequência para modelar muitos fenómenos do mundo real. Mas quando é que surgiu este ramo da Matemática? (...) Embora este ramo da Matemática tenha sido desenvolvido a partir de meados do século XIX, conceitos elementares de matrizes remontam ao período anterior ao nascimento de Cristo, uma vez que os chineses aplicavam métodos matriciais para resolver certos sistemas de equações. Os quadrados mágicos constituem outro exemplo de aplicação rudimentar do conceito de matriz. As lendas sugerem que os quadrados mágicos são originários da China, tendo sido referidos pela primeira vez num manuscrito do tempo do imperador Yu, cerca de 2200 a. C. (...) Em 1514, Albrecht Dürer, conhecido artista da Renascença, pintou um quadro intitulado "Melancolia", onde figura um quadrado mágico, precisamente de ordem 4 (figura 2). De notar que os dois números centrais da última linha do quadrado permitem ler "1514", o ano em que o quadro foi pintado. O leitor pode comprovar que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais desse quadrado é sempre igual a 34, a constante mágica. Além disso, 34 é a soma dos números dos cantos (16+13+4+1=34) e do quadrado central 2x2 (10+11+6+7=34). (...)

O Sudoku

Um dos fenómenos mais curiosos do ano de 2005, que não deve ter passado despercebido ao leitor, foi o aparecimento do Sudoku. Os jornais começaram a incluir este quebra-cabeças ao lado dos horóscopos e das habituais palavras cruzadas. (...) Mas terá o Sudoku alguma Matemática? À primeira vista, o leitor pode pensar que a resposta é afirmativa, tendo em conta que, num desafio de Sudoku, utilizam-se os primeiros nove números naturais, do 1 ao 9. E se tem números é porque tem Matemática! A verdade é que nem tudo o que tem números é Matemática. Além disso, a dinâmica e interesse do Sudoku não está propriamente na utilização de números. Os números estão no Sudoku apenas porque são 9 símbolos que estamos muito habituados a reconhecer e a distinguir e não porque cumprem qualquer função matemática na resolução deste quebra-cabeças. As estratégias utilizadas na resolução de um problema de Sudoku assentam essencialmente na lógica e na eliminação de possibilidades. Podemos mesmo substituir cada um dos números, do 1 ao 9, por quaisquer outros símbolos, por exemplo por nove letras do alfabeto, obtendo exatamente o mesmo tipo de problema na sua essência. (...) A estrutura deste quebra-cabeças baseia-se num quadrado, com n linhas e n colunas, que deve ser preenchido com n símbolos diferentes em que cada símbolo aparece uma e uma só vez em cada linha e cada coluna. Este tipo de estrutura tem um nome em Matemática. Chama-se quadrado latino e é estudo em diversas áreas da Matemática, como na Álgebra. (...)

A evolução da contabilidade de gestão e a necessidade de informação

O objectivo deste artigo é apresentar o papel e o lugar da informação contabilística nos sistemas de informação das empresas e, em particular, a articulação entre a informação financeira e a não financeira nos sistemas de medida do desempenho. Por isso, procura-se interpretar claramente o contributo que a Contabilidade de Gestão pode conceder actualmente à gestão e ao controlo das organizações. A diversidade dos utilizadores da informação implica que sejam apresentadas as principais diferenças da informação proveniente da Contabilidade Financeira e da informação oriunda da Contabilidade de Gestão. Internamente, os gestores são confrontados continuamente com a necessidade de tomar decisões complexas, num ambiente empresarial em constante mutação. Dispor de informação oportuna e relevante sobre as consequências possíveis de uma dada afectação de recursos ou sobre as consequências passadas das afectações executadas é fundamental para a competitividade e para um bom desempenho, na medida em que o gestor escolhe a priori a acção que oferece melhor relação entre recursos consumidos e resultados obtidos. Os utilizadores externos necessitam de estar seguros de que as demonstrações financeiras são preparadas de acordo com os princípios contabilísticos geralmente aceites e que, por consequência, as comparações históricas e entre empresas são possíveis. Assim, para tomar decisões, estes utilizadores seleccionam a informação mais adequada às suas necessidades em função da sua relevância, da sua disponibilidade e da sua credibilidade.

Informação e conhecimento: fluxos e apropriação sob uma abordagem crítica

Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES)

Vigilância epidemiológica e o sistema de informação da tuberculose no Brasil, 2001-2003

OBJETIVO: Avaliar a qualidade da vigilância epidemiológica da tuberculose no Brasil. MÉTODOS: Dados municipais no período de 2001 a 2003 foram analisados segundo a qualidade de detecção e acompanhamento dos casos região, qualidade da informação produzida pelo sistema de notificação dos casos e a carga de morbidade da tuberculose. Os municípios foram classificados em quatro grupos, de acordo com a situação epidemiológica e qualidade da vigilância. RESULTADOS: Em cerca de 8% dos municípios brasileiros, mais do que 10% dos casos de tuberculose em moradores de um município foram notificados por serviços de saúde de outro município. Em aproximadamente 950 municípios, a freqüência de pacientes com tuberculose pulmonar que realizaram baciloscopia foi inferior a 90%. Amazonas, Pará e Amapá tinham mais municípios classificados nos grupos de baixa qualidade de vigilância. Pernambuco, Ceará e Bahia, no Nordeste, tinham menor nível de qualidade da vigilância. As regiões Sul e Centro-Oeste tinham maior número de municípios com melhores níveis de vigilância da tuberculose. CONCLUSÕES: Aproximadamente um terço dos municípios brasileiros apresenta condições precárias de vigilância da tuberculose. Este quadro não é homogêneo no Brasil e as regiões com mais casos da doença têm grande número de municípios com ações de controle aparentemente insuficientes.

Presentes de Natal com Matemática

[...] Há quem seja mais habilidoso e faça questão de oferecer prendas embrulhadas a preceito e há quem seja mais prático e despachado. De uma maneira ou de outra, poupar nos materiais utilizados (nomeadamente, no papel de embrulho e na fita adesiva) parece ser uma boa ideia nos dias que correm. Neste artigo, mostramos como podemos embrulhar um presente de Natal de modo a poupar no papel de embrulho e na fita adesiva e, simultaneamente, a produzir uma bonita embalagem. E tudo isto com a ajuda da Matemática! [...]

Como manter um bolo sempre fresco

(...) Um exemplo curioso prende-se com a forma como são partidas as fatias de um bolo e como são distribuídas pelos convidados numa festa. (...) Desde logo, para evitar que alguém se possa queixar do resultado da partilha, o melhor método designa-se por "um parte, outro escolhe" (...) Mas, se o problema se colocar a mais de dois convidados? A solução já não é assim tão simples. O desenvolvimento deste tipo de algoritmos acaba por ter aplicações em muitas outras áreas, desde a simples partilha de uma herança às negociações de desarmamento ou ao estabelecimento de fronteiras entre países. (...) Vejamos, agora, um método muito interessante para manter um bolo sempre fresco. Note-se que a forma tradicional de cortar um bolo é propícia a que, com o passar do tempo, este fique seco junto da zona de corte. O método inovador foi inventado por Francis Galton (1822-1911), matemático e estatístico inglês, primo de Charles Darwin. O seu texto "Cutting a Round Cake on Scientific Principles", publicado na edição de 20 de dezembro de 1906 da conceituada revista Nature, foi divulgado recentemente por Alex Bellos (...) As fatias devem ser cortadas de um lado ao outro do bolo (...) Se olharmos de cima, o bolo utilizado tem o formato de um círculo. Cada fatia cortada é limitada por duas retas paralelas e deve conter o centro do círculo. A ideia é cortar uma fatia e, de seguida, juntar as duas partes que sobraram, unindo-as, se necessário, com um elástico, de modo a sobrepor as zonas do corte (...) Da próxima vez que nos queiramos deliciar novamente com o bolo, devemos fazer novo corte com as mesmas características do anterior, mas agora com direção perpendicular (...)

Quadrados mágicos para todos os gostos

Voltamos ao tema dos quadrados mágicos. (...) Vejamos alguns exemplos curiosos. Começamos pelo Quadrado Mágico do Aniversariante (figura A). Se o leitor fizer as contas, verificará que a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada uma das duas diagonais do quadrado é sempre 22 (figura B). Este é, portanto, um quadrado mágico ideal para quem tem 22 anos. Contudo, a sua utilização é muito mais flexível do que à primeira vista se possa pensar. Isto porque também é possível utilizar este quadrado mágico para felicitar qualquer amigo com mais de 22 anos. Se quisermos que o quadrado da figura A tenha constante mágica igual a x, com x>22, basta adicionar a cada um dos números das quatro casas brancas o valor x-22. (...) Na figura D, apresenta-se um Quadrado Mágico Reversível. Este quadrado aparece no livro "Self-working Number Magic", de Karl Fulves, publicado em 1983. Para começar, uma observação atenta a cada linha, coluna ou diagonal do quadrado permite concluir que, em cada uma dessas filas, são utilizados os mesmos algarismos: 1, 6, 8 e 9. Um olhar ainda mais atento permite detetar duas ocorrências de cada um desses algarismos por fila. (...)

Subnotificação de nascidos vivos: procedimentos de mensuração a partir do Sistema de Informação Hospitalar

OBJETIVO: Avaliar a subnotificação de registros de nascidos vivos em sistemas de informação em saúde. MÉTODOS: Foram utilizados dados secundários do Sistema de Informação Hospitalar (SIH) e Sistema de Informação sobre Nascidos Vivos (Sinasc) em municípios de Minas Gerais, 2001. A análise foi feita por meio de dois procedimentos: a comparação do número de nascidos vivos por município de residência e a técnica de relacionamento probabilístico de dados individuais. Em ambos os casos, consideraram-se como indicadores de subnotificação as proporções de nascidos vivos informadas ao SIH e não obtidas no Sinasc. Os municípios foram posteriormente agregados em quatro faixas de tamanho populacional. RESULTADOS: O relacionamento probabilístico identificou maior proporção de nascidos vivos subnotificados no Sinasc, relativamente à comparação do número de nascidos vivos nos municípios. As variações das diferenças entre os percentuais de subnotificação por procedimentos foram: 9,4% nos municípios com população menor que 5.000 habitantes; 9,1% nos municípios com população entre 5.000 e 9.999 e 8,0% nos municípios com população entre 10.000 e 49.999 e com mais de 50.000 habitantes. CONCLUSÕES: A magnitude de acréscimos revelou-se sensível ao procedimento adotado. O relacionamento probabilístico incrementou certeza no pareamento e possibilitou identificação de maior proporção de casos não registrados no Sinasc, inclusive em grandes municípios. O SIH apresentou-se como importante indicador de subnotificação de nascidos vivos.

Quadrados mágicos místicos

Existem muitos exemplos interessantes de quadrados mágicos com histórias curiosas. Desde logo, se recuarmos no tempo e viajarmos até à antiga China. Segundo reza a lenda, por volta de 2200 a.C., o imperador Yu terá avistado uma tartaruga a sair do Rio Amarelo. Essa tartaruga apresentava um intrigante padrão formado por pontos pretos e brancos, que se assemelhava a uma grelha 3x3, preenchida com os primeiros 9 números naturais (1-9), dispostos de uma forma curiosa. (...) Outro aspeto curioso prende-se com o facto de os astrólogos da Renascença usarem quadrados mágicos associados aos diferentes planetas do Sistema Solar. (...) Outro aspeto que pode ser considerado nestes quadrados mágicos planetários é a soma de todos os números que compõem o quadrado, que se designa por soma mística (esta soma obtém-se multiplicando a constante mágica pelo número total de linhas do quadrado, isto porque ao adicionar os números de qualquer linha, obtém-se sempre a constante mágica). Por exemplo, o quadrado de Saturno tem soma mística igual a 15x3=45; o de Júpiter, 34x4=136; o de Marte, 65x5=325; e o do Sol, 111x6=666. Num quadrado planetário de ordem N, utilizam-se todos os números naturais, do 1 ao NxN, uma e uma só vez. Por este motivo, e tendo em conta as propriedades das progressões aritméticas, a soma mística de um quadrado planetário de ordem N pode ser obtida da fórmula NxN(NxN+1)/2, sendo a constante mágica igual a N(NxN+1)/2. (...)

Task-force para revitalização dos sistemas de informação

Este trabalho descreve as actividades desenvolvidas no âmbito de uma task-force para revitalizar a função Sistemas de Informação de uma grande empresa nacional. Apresenta, em particular, o sistema de indicadores de gestão definido nesse contexto