Il modello di Kaluza: unificazione tra gravità ed elettromagnetismo

Una teoria di unificazione ha il notevole compito di fornire un modello in grado di unificare le forze fondamentali della natura in una sola. Storicamente uno dei primi tentativi è rappresentato dal modello di Kaluza, che propone una formulazione unificata di gravità ed elettromagnetismo. In 4 dimensioni il campo gravitazionale e il campo elettromagnetico sono entità nettamente separate. Tale dualismo può essere superato estendendo la teoria della Relatività Generale ad uno spaziotempo a 5 dimensioni. Se alle consuete 4 si aggiunge una quinta dimensione spaziale, allora si dimostra che la gravità e l’elettromagnetismo possono essere visti come la manifestazione di un unico campo di forza, che è interpretabile in termini della geometria dello spaziotempo a 5 dimensioni. Nonostante i suoi intrinseci limiti, il modello di Kaluza rappresenta comunque un punto di partenza per molte altre teorie di campo unificato più moderne e a più di 5 dimensioni. L'obiettivo è di sviluppare le linee fondamentali del modello di Kaluza. Preliminarmente si riportano i risultati principali dell'elettromagnetismo e della Relatività Generale, dato che il modello si formula a partire da questi. Si stabilisce la condizione di cilindro, secondo cui le quantità fisiche non subiscono variazioni nella quinta dimensione. Si ipotizza un ansatz per il tensore metrico 5D e si scrivono le equazioni di campo unitario e della geodetica, come estensioni a 5 dimensioni di quelle in 4. Si dimostra che il campo unitario in 4 dimensioni si separa nel campo scalare costante, nel campo elettromagnetico e nel campo gravitazionale. Le componenti quadridimensionali della geodetica 5D riconducono a quella 4D e alle leggi del moto 4D in presenza dei campi gravitazionale ed elettromagnetico. Inoltre si interpreta la carica elettrica come la quinta componente della velocità covariante 5D.

Un teorema di immersione di Whitney

Nella tesi vengono introdotte le varietà differenziabili per poter trattare un problema di immergibilità di varietà differenziabili. Viene data una dimostrazione di un teorema di Whitney nel caso di varietà differenziabili compatte. Il teorema stabilisce che per una varietà compatta di dimensione n esiste un embedding nello spazio euclideo di dimensione 2n+1. Whitney stesso ha migliorato questo risultato, dimostrando che una varietà differenziabile può essere immersa tramite un embedding nello spazio euclideo di dimensione 2n. Nella tesi vengono dati alcuni esempi di questo miglioramento del teorema.

Moto per curvatura per l'elaborazione di immagini ecocardiografiche

In questa tesi discutiamo un modello di segmentazione di immagini ecocardiografiche espresso tramite un'equazione a derivate parziali di evoluzione geometrica. A questo scopo introduciamo la nozione di curvatura in una opportuna metrica riemanniana associata all'immagine e verifichiamo che il modello inizialmente introdotto da C. Corsi, G. Saracino, A. Sarti, C. Lamberti, può essere interpretato come una generalizzaione di un flusso per curvatura in questa metrica.

Lo spettro di alcuni oscillatori non commutativi

Questa tesi si occupa della teoria spettrale di certi sistemi di equazioni ordinarie chiamati oscillatori non commutativi. Dopo avere introdotto i fondamenti necessari per la teoria vengono dimostrati alcuni teoremi qualitativi sullo spettro di tali sistemi.

Curve di terzo grado nel piano e nello spazio

Si è interessati a classificare le cubiche del piano proiettivo complesso. In particolare vengono classificate le cubiche piane dimostrando che ogni cubica non singolare è proiettivamente equivalente a una cubica di equazione affine nota e che esistono infinite classi di equivalenza proiettiva per le cubiche piane non singolari. Si mostra inoltre che le cubiche piane singolari irriducibili possono essere ricondotte a due classi di equivalenza proiettive: la prima classe contiene le cubiche con un nodo, la seconda classe contiene invece le cubiche con una cuspide. Infine si studiano le proiezioni piane della cubica gobba da un suo punto, oppure da un punto esterno alla cubica.

Una trattazione ipertestuale di alcuni elementi di statica dei sistemi meccanici.

L'obbiettivo di questa tesi è svolgere una trattazione semplice ma esauriente degli aspetti essenziali per lo studio delle configurazioni di equilibrio di semplici sistemi meccanici. In particolare l'analisi è volta a far parte del 'Progetto Matematica'; un portale del Dipartimento di Matematica dell'Università di Bologna, il cui scopo, attraverso le tesi di chi vi partecipa, è ''presentare la Matematica del primo biennio delle facoltà scientifiche in maniera interattiva, graduale, multimediale: in una parola, nel modo più amichevole possibile''. L'analisi, dopo alcuni richiami su elementi di base di calcolo vettoriale, si apre con un capitolo che enuncia nozioni e risultati fondamentali di meccanica classica, indispensabili per affrontare il problema dell'equilibrio nell'ambito della statica. Con il secondo capitolo inizia la trattazione delle configurazioni di equilibrio partendo dalla statica del punto materiale per poi passare ai sistemi più complessi costituiti da un numero arbitrario di punti. Per la parte di applicazioni vengono illustrati i due metodi classici di risoluzione: quello basato sulle equazioni cardinali della statica, che oltre ad individuare le configurazioni di equilibrio del sistema consente di determinare anche i corrispondenti valori delle reazioni vincolari, e quello basato sul principio dei lavori virtuali. Vengono poi riportati tre problemi standard la cui risoluzione è svolta attraverso entrambi i metodi per cercare di garantire una più completa comprensione della materia. Per l'esposizione degli argomenti analizzati si è fatto riferimento principalmente ai Trattati: D. Graffi, 'Elementi di Meccanica Razionale', Patron, Bologna 1973; S. Graffi, 'Appunti dalle lezioni di Fisica Matematica II'; a cui si rinvia per ogni ulteriore approfondimento (sulla materia),in particolare riguardo ai dettagli che, per necessità di sintesi, si sono dovuti omettere.

Analisi preliminare di missione per lanci aviotrasportati di microsatelliti

Il presente lavoro di tesi si propone di analizzare e dimensionare una missione in orbita bassa per due microsatelliti di osservazione terrestre. I microsatelliti si stanno attualmente diffondendo su larga scala, grazie principalmente ai vantaggi economici garantiti dal fatto di lavorare con masse ridotte. Parallelamente alla diffusione dei microsatelliti, stanno nascendo numerosi progetti per lo sviluppo di sistemi di aviolancio, che consentono di attuare i vantaggi dei microsatelliti anche nella fase più dispendiosa della missione, cioè la messa in orbita. Vengono, inizialmente, introdotti i sistemi coinvolti nella missione, cioè l’aviolanciatore Pegasus XL, due microsatelliti del peso di 100 kg ciascuno, e un motore elettrico ad effetto Hall per ciascun satellite, usato per il trasferimento orbitale. Si introducono poi brevemente le equazioni del moto del razzo e alcuni cenni di meccanica celeste, specialmente quello che riguarda la definizione dei parametri orbitali. Segue la vera e propria analisi di missione, divisa in due parti: la prima relativa alla fase di aviolancio, con l’obbiettivo di stabilire se effettivamente il lanciatore è in grado di portare il payload prestabilito nell’orbita circolare di parcheggio, e di dimensionare alcune variabili di volo, quali l’angolo di traiettoria iniziale e i due tempi di coasting dovuti allo sgancio degli stadi del razzo; la seconda parte verte invece sull’analisi della missione in orbita, specialmente sul trasferimento a bassa spinta dall’orbita di partenza a quella target, tramite il motore ad effetto Hall. Anche in questo caso si vuole verificare se le prestazioni del motore elettrico sono adeguate al tipo di missione.

Un modello di percezione del colore, espresso da un problema di Cauchy in spazi di Banach

Scopo della tesi è studiare un modello di percezione cromatica, che descrive la propagazione dell'attività mediante un problema di Cauchy in spazi di Banach. Presentiamo dapprima il problema della stabilità delle soluzioni al problema di Cauchy tramite il metodo Lyapunov; prima in dimensione finita, e poi in spazi di Banach. Poi verifichiamo che l'equazione fondamentale di percezione cromatica ricade nel setting considerato e che il funzionale di Lyapunov associato verifica le ipotesi che assicurano la stabilità.

Analisi e progetto di un convertitore ZETA per la correzione del fattore di potenza

Questa tesi ha studiato a fondo le modalità di funzionamento del convertitore ZETA. Si è visto che la presenza dei due magnetici determina una condizione di funzionamento non convenzionale (lo stesso accade nel SEPIC) poco studiata in letteratura. Questa condizione, corrispondente al modo discontinuo nei più elementari convertitori, in cui la corrente si annulla sia nel transistor che nel diodo, dà invece luogo ad un ricircolo di corrente pressochè costante in una maglia che comprende entrambe le induttanze. Questa corrente testimonia un intrappolamento di energia magnetica con relativa perdita per dissipazione che presumibilmente degrada l’efficienza del convertitore. Questo è potuto avvenire perchè non vi è nulla che impedisca il flusso di una corrente negativa sui singoli induttori quando la somma algebrica dei due risulti comunque positiva o nulla (diodo in conduzione). Questo problema si può riscontrare sia nel funzionamento in continua (sempre almeno uno fra transistor e diodo in conduzione) che in discontinua (con un intervallo di tempo in cui non conducono nessuno dei due). Per ovviare a questo problema le soluzioni proposte in questa tesi sono quelle di aggiungere un ulteriore diodo rettificatore in serie agli avvolgimenti e/o di gestire il rapporto di induttanze dei due avvolgimenti in modo che nella condizione nominale di funzionamento raggiungano contemporaneamente la condizione di inversione della corrente. Queste possibilità sono state esplorate con successo nell’utilizzo del convertitore ZETA per applicazioni di correzione del fattore di potenza PFC in cui si è proposto un insieme di equazioni di dimensionamento che portano al progetto del convertitore al fine di ottenere le forme d’onda desiderate.

Analisi della rete di teleriscaldamento di Corticella in presenza di utenze attive

Oggetto di questa tesi è lo studio di una rete di teleriscaldamento (TLR) preesistente, la rete di Corticella (Bo) ipotizzando la presenza di sottostazioni di scambio termico attive. Inizialmente sono state presentate le sottostazioni di scambio termico sia tradizionali che attive. Nelle tradizionali ci si è soffermato sul tipo di regolazione che può avvenire. Per quanto riguarda le sottostazioni di scambio termico attive son stati esaminati i 4 layout che permettono uno scambio termico bidirezionale di energia termica. E’ stato presentato il software IHENA (intelligent Heat Energy Network Analysis) creato dal dipartimento di ingegneria industriale, che ha permesso di effettuare le simulazioni sulla rete analizzata. Viene mostrato l’algoritmo di Todini-Pilati generalizzato dall’utilizzo delle equazioni di Darcy-Weisbach su cui si basa il motore di calcolo. Inoltre vengono presentati i vari input che è necessario inserire per ottenere il calcolo della rete. Dopo nozioni di base relative al teleriscaldamento attivo e la presentazione del software utilizzato si è passati alla vera e propria analisi della rete di teleriscaldamento. Sono state effettuate varie simulazioni per vedere l’andamento della rete di Corticella sia considerandola passiva (come nella realtà) che ipotizzandola attiva tramite l’inserimento di sottostazioni di scambio termico ative. Le analisi condotte riguardano i seguenti punti. a) E’ stata presentata la rete di Corticella cosi come è andando a studiare quindi il caso base. b) Sono state svolte delle analisi per vedere come si comportava la rete nel caso in cui venivano variati dei parametri operativi come i carichi termici richiesti dalle utenze. c) Sono stati valutati i percorsi più critici. d) Si è condotta un analisi sulla regolazione al variare delle temperature esterne. Dopo l'analisi del caso base sono state introdotte delle sottostazioni di scambio termico attive, prima solo una, e poi varie lungo determinati percorsi. Le valutazioni effettuate mettevano in primo piano gli andamenti della temperatura nei percorsi, la potenza termica generata dalla sorgente, la temperatura di ritorno in centrale e se si verificano delle problematiche sugli scambiatori di calore. In queste simulazioni sono stati valutati tutti e quattro gli schemi utilizzabili. Infine è stata effettuata un analisi comparativa tra le varie soluzioni studiate per poter mettere a confronto i casi. In particolare anche qui si sono voluti confrontare i valori di potenza spesa per il pompaggio, temperatura di ritorno in centrale e potenza termica offerta dalla sorgente.

Serie di Puiseux

La tesi è incentrata sullo studio dei punti di singolarità di una curva nel piano proiettivo complesso. Nel caso in cui il punto sia regolare possiamo sfruttare il teorema delle funzioni implicite che ci permette di esplicitare il luogo di zeri di un'equazione implicita rispetto a una variabile. Quando questa ipotesi di regolarità viene meno per avere un risultato analogo diventa necessario utilizzare le serie di Puiseux. L'interpretazione algebrica del teorema di Puiseux risponde alla domanda di trovare un'estensione del campo delle serie di Laurent che sia algebricamente chiuso; prendendo un polinomio di grado positivo in K(x)*[y], mostreremo che esiste sempre una radice del polinomio appartenente a K(x)*. Il legame con l’interpretazione analitica risulta ora evidente: data infatti una curva nel piano complesso la sua equazione può essere vista come un particolare polinomio in K(x)*[y], esplicitare la y in funzione della x equivale appunto a trovare una radice in K(x)*. Nel primo capitolo abbiamo in primo luogo richiamato il risultato di Dini e parlato del luogo singolare di una curva, mostrando che quest'ultimo è un numero finito di punti. In seguito abbiamo introdotto il poligono di Newton, il quale è un insieme convesso del piano associato ad un polinomio in due variabili. Nel secondo capitolo abbiamo visto due formulazioni del teorema di Puiseux, entrambe le dimostrazioni di questo risultato sono costruttive; per renderle più scorrevoli abbiamo ritenuto opportuno costruire degli esempi che evidenziassero i vari passi.

Il gruppo dei punti razionali di una curva ellittica

In questo lavoro si studia l'insieme dei punti di una curva ellittica, visto come gruppo abeliano, con particolare attenzione al caso dei punti a coordinate razionali quando la curva è data da un'equazione a coefficienti razionali. Dopo aver visto le proprietà della legge di gruppo su una cubica liscia piana razionale in forma normale, vengono presentati alcuni risultati sul sottogruppo dei punti razionali, fra i quali i teoremi di Nagell-Lutz e di Mordell, che permettono di dare una descrizione di tale sottogruppo.

Progettazione e sperimentazione di un sistema di cogenerazione statica di energia elettrica tramite celle ad effetto Seebeck

Il tema della presente tesi è lo studio di progettazione e sperimentazione di un generatore termoelettrico, privo di parti in movimento, sfruttando il fenomeno dell’effetto Seebeck. La prima parte offre una panoramica introduttiva riguardo i moduli TEG e i loro possibili campi di applicazione. La seconda parte riassume le equazioni fisiche alla base del fenomeno e lo stato dell’arte della generazione termoelettrica, focalizzando l’attenzione sulle caldaie a biomassa. Nella terza parte è analizzato il procedimento progettuale dell’impianto. Partendo da un analisi comparativa di soluzioni esistenti e dall’obbiettivo di ottenere la massima efficienza dei moduli TEG si è arrivati alla determinazione dei vincoli dimensionali dei componenti direttamente interessati da scambi termodinamici. La quarta parte illustra la struttura del prototipo finale dedicato al laboratorio, la sua messa in servizio e il primo collaudo dell’impianto. I risultati ottenuti dai test sono il primo passo verso l’ottimizzazione del generatore termoelettrico che potrà quindi essere studio di un’interessante campagna sperimentale.

Processi di trasporto conservativo in acque sotterranee ed interpretazione di esperimenti a scala di laboratorio

Preservare la qualita delle acque sotterranee e di primaria importanza nel contesto della gestione delle risorse idriche. Al fine di interpretare in modo corretto i processi di trasporto di contaminanti all'interno di mezzi porosi saturi, e utile analizzare esperimenti a scala di laboratorio, in cui le condizioni al contorno e iniziali sono sufficientemente controllate. In questo lavoro, si e interpretato un esperimento di trasporto conservativo presente in letteratura, al fine di valutare l'accuratezza di un modello advettivo-dispersivo e di individuare tecniche appropriate per la stima dei parametri chiave del modello stesso.

Analisi del flusso in acque sotterranee e principi di progettazione di barriere idrauliche

Le acque sotterranee rappresentano una risorsa fondamentale di acqua potabile; per questo motivo esse devono essere preservate, controllate, e se necessario, trattate e decontaminate. Nella presente tesi è stato analizzato, dal punto di vista idraulico, uno dei metodi di risanamento delle acque sotterranee più efficaci ed ampiamente utilizzati: il sistema Pump & Treat. Esso consiste nella costruzione di una barriera idraulica formata da pozzi che pompano acqua dal sottosuolo per consentirne il trattamento e la conseguente reimmissione nel corpo idrico. In questo contesto, sono stati approfonditi i principali criteri di progettazione ed è stato sviluppato un esempio applicativo utilizzando il codice numerico MODFLOW per la risoluzione delle equazioni di flusso e trasporto in acque sotterranee.