Approximation de la distribution a posteriori d'un modèle Gamma-Poisson hiérarchique à effets mixtes

La méthode que nous présentons pour modéliser des données dites de "comptage" ou données de Poisson est basée sur la procédure nommée Modélisation multi-niveau et interactive de la régression de Poisson (PRIMM) développée par Christiansen et Morris (1997). Dans la méthode PRIMM, la régression de Poisson ne comprend que des effets fixes tandis que notre modèle intègre en plus des effets aléatoires. De même que Christiansen et Morris (1997), le modèle étudié consiste à faire de l'inférence basée sur des approximations analytiques des distributions a posteriori des paramètres, évitant ainsi d'utiliser des méthodes computationnelles comme les méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC). Les approximations sont basées sur la méthode de Laplace et la théorie asymptotique liée à l'approximation normale pour les lois a posteriori. L'estimation des paramètres de la régression de Poisson est faite par la maximisation de leur densité a posteriori via l'algorithme de Newton-Raphson. Cette étude détermine également les deux premiers moments a posteriori des paramètres de la loi de Poisson dont la distribution a posteriori de chacun d'eux est approximativement une loi gamma. Des applications sur deux exemples de données ont permis de vérifier que ce modèle peut être considéré dans une certaine mesure comme une généralisation de la méthode PRIMM. En effet, le modèle s'applique aussi bien aux données de Poisson non stratifiées qu'aux données stratifiées; et dans ce dernier cas, il comporte non seulement des effets fixes mais aussi des effets aléatoires liés aux strates. Enfin, le modèle est appliqué aux données relatives à plusieurs types d'effets indésirables observés chez les participants d'un essai clinique impliquant un vaccin quadrivalent contre la rougeole, les oreillons, la rub\'eole et la varicelle. La régression de Poisson comprend l'effet fixe correspondant à la variable traitement/contrôle, ainsi que des effets aléatoires liés aux systèmes biologiques du corps humain auxquels sont attribués les effets indésirables considérés.

Une famille de distributions symétriques et leptocurtiques représentée par la différence de deux variables aléatoires gamma

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

David Hume on probability and the Gambler’s fallacy

Cette présentation examinera le degré de certitude qui peut être atteint dans le domaine scientifique. Le paradigme scientifique est composé de deux extrêmes; causalité et déterminisme d'un côté et probabilité et indéterminisme de l'autre. En faisant appel aux notions de Hume de la ressemblance et la contiguïté, on peut rejeter la causalité ou le hasard objectif comme étant sans fondement et non empirique. Le problème de l'induction et le sophisme du parieur proviennent d’une même source cognitif / heuristique. Hume décrit ces tendances mentales dans ses essais « Of Probability » et « Of the Idea of Necessary Connexion ». Une discussion sur la conception de la probabilité de Hume ainsi que d'autres interprétations de probabilité sera nécessaire. Même si la science glorifie et idéalise la causalité, la probabilité peut être comprise comme étant tout aussi cohérente. Une attitude probabiliste, même si elle est également non empirique, pourrait être plus avantageuse que le vieux paradigme de la causalité.

Propriétés des valeurs propres de ballotement pour contenants symétriques

Le problème d’oscillation de fluides dans un conteneur est un problème classique d’hydrodynamique qui est etudié par des mathématiciens et ingénieurs depuis plus de 150 ans. Le présent travail est lié à l’étude de l’alternance des fonctions propres paires et impaires du problème de Steklov-Neumann pour les domaines à deux dimensions ayant une forme symétrique. On obtient des résultats sur la parité de deuxième et troisième fonctions propres d’un tel problème pour les trois premiers modes, dans le cas de domaines symétriques arbitraires. On étudie aussi la simplicité de deux premières valeurs propres non nulles d’un tel problème. Il existe nombre d’hypothèses voulant que pour le cas des domaines symétriques, toutes les valeurs propres sont simples. Il y a des résultats de Kozlov, Kuznetsov et Motygin [1] sur la simplicité de la première valeur propre non nulle obtenue pour les domaines satisfaisants la condition de John. Dans ce travail, il est montré que pour les domaines symétriques, la deuxième valeur propre non-nulle du problème de Steklov-Neumann est aussi simple.

A class of bivariate Erlang distributions and ruin probabilities in multivariate risk models

Nous y introduisons une nouvelle classe de distributions bivariées de type Marshall-Olkin, la distribution Erlang bivariée. La transformée de Laplace, les moments et les densités conditionnelles y sont obtenus. Les applications potentielles en assurance-vie et en finance sont prises en considération. Les estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres sont calculés par l'algorithme Espérance-Maximisation. Ensuite, notre projet de recherche est consacré à l'étude des processus de risque multivariés, qui peuvent être utiles dans l'étude des problèmes de la ruine des compagnies d'assurance avec des classes dépendantes. Nous appliquons les résultats de la théorie des processus de Markov déterministes par morceaux afin d'obtenir les martingales exponentielles, nécessaires pour établir des bornes supérieures calculables pour la probabilité de ruine, dont les expressions sont intraitables.

Does Chance hide Necessity? : a reevaluation of the debate ‘determinism - indeterminism’ in the light of quantum mechanics and probability theory

Dans cette thèse l’ancienne question philosophique “tout événement a-t-il une cause ?” sera examinée à la lumière de la mécanique quantique et de la théorie des probabilités. Aussi bien en physique qu’en philosophie des sciences la position orthodoxe maintient que le monde physique est indéterministe. Au niveau fondamental de la réalité physique – au niveau quantique – les événements se passeraient sans causes, mais par chance, par hasard ‘irréductible’. Le théorème physique le plus précis qui mène à cette conclusion est le théorème de Bell. Ici les prémisses de ce théorème seront réexaminées. Il sera rappelé que d’autres solutions au théorème que l’indéterminisme sont envisageables, dont certaines sont connues mais négligées, comme le ‘superdéterminisme’. Mais il sera argué que d’autres solutions compatibles avec le déterminisme existent, notamment en étudiant des systèmes physiques modèles. Une des conclusions générales de cette thèse est que l’interprétation du théorème de Bell et de la mécanique quantique dépend crucialement des prémisses philosophiques desquelles on part. Par exemple, au sein de la vision d’un Spinoza, le monde quantique peut bien être compris comme étant déterministe. Mais il est argué qu’aussi un déterminisme nettement moins radical que celui de Spinoza n’est pas éliminé par les expériences physiques. Si cela est vrai, le débat ‘déterminisme – indéterminisme’ n’est pas décidé au laboratoire : il reste philosophique et ouvert – contrairement à ce que l’on pense souvent. Dans la deuxième partie de cette thèse un modèle pour l’interprétation de la probabilité sera proposé. Une étude conceptuelle de la notion de probabilité indique que l’hypothèse du déterminisme aide à mieux comprendre ce que c’est qu’un ‘système probabiliste’. Il semble que le déterminisme peut répondre à certaines questions pour lesquelles l’indéterminisme n’a pas de réponses. Pour cette raison nous conclurons que la conjecture de Laplace – à savoir que la théorie des probabilités présuppose une réalité déterministe sous-jacente – garde toute sa légitimité. Dans cette thèse aussi bien les méthodes de la philosophie que de la physique seront utilisées. Il apparaît que les deux domaines sont ici solidement reliés, et qu’ils offrent un vaste potentiel de fertilisation croisée – donc bidirectionnelle.

Unfolded singularities of analytic differential equations

La thèse est composée d’un chapitre de préliminaires et de deux articles sur le sujet du déploiement de singularités d’équations différentielles ordinaires analytiques dans le plan complexe. L’article Analytic classification of families of linear differential systems unfolding a resonant irregular singularity traite le problème de l’équivalence analytique de familles paramétriques de systèmes linéaires en dimension 2 qui déploient une singularité résonante générique de rang de Poincaré 1 dont la matrice principale est composée d’un seul bloc de Jordan. La question: quand deux telles familles sontelles équivalentes au moyen d’un changement analytique de coordonnées au voisinage d’une singularité? est complètement résolue et l’espace des modules des classes d’équivalence analytiques est décrit en termes d’un ensemble d’invariants formels et d’un invariant analytique, obtenu à partir de la trace de la monodromie. Des déploiements universels sont donnés pour toutes ces singularités. Dans l’article Confluence of singularities of non-linear differential equations via Borel–Laplace transformations on cherche des solutions bornées de systèmes paramétriques des équations non-linéaires de la variété centre de dimension 1 d’une singularité col-noeud déployée dans une famille de champs vectoriels complexes. En général, un système d’ÉDO analytiques avec une singularité double possède une unique solution formelle divergente au voisinage de la singularité, à laquelle on peut associer des vraies solutions sur certains secteurs dans le plan complexe en utilisant les transformations de Borel–Laplace. L’article montre comment généraliser cette méthode et déployer les solutions sectorielles. On construit des solutions de systèmes paramétriques, avec deux singularités régulières déployant une singularité irrégulière double, qui sont bornées sur des domaines «spirals» attachés aux deux points singuliers, et qui, à la limite, convergent vers une paire de solutions sectorielles couvrant un voisinage de la singularité confluente. La méthode apporte une description unifiée pour toutes les valeurs du paramètre.

Les polynômes orthogonaux matriciels et la méthode de factorisation

La méthode de factorisation est appliquée sur les données initiales d'un problème de mécanique quantique déja résolu. Les solutions (états propres et fonctions propres) sont presque tous retrouvés.

Partitions spectrales optimales pour les problèmes aux valeurs propres de Dirichlet et de Neumann

Les façons d'aborder l'étude du spectre du laplacien sont multiples. Ce mémoire se concentre sur les partitions spectrales optimales de domaines planaires. Plus précisément, lorsque nous imposons des conditions aux limites de Dirichlet, nous cherchons à trouver la ou les partitions qui réalisent l'infimum (sur l'ensemble des partitions à un certain nombre de composantes) du maximum de la première valeur propre du laplacien sur tous ses sous-domaines. Dans les dernières années, cette question a été activement étudiée par B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof, S. Terracini et leurs collaborateurs, qui ont obtenu plusieurs résultats analytiques et numériques importants. Dans ce mémoire, nous proposons un problème analogue, mais pour des conditions aux limites de Neumann cette fois. Dans ce contexte, nous nous intéressons aux partitions spectrales maximales plutôt que minimales. Nous cherchons alors à vérifier le maximum sur toutes les $k$-partitions possibles du minimum de la première valeur propre non nulle de chacune des composantes. Cette question s'avère plus difficile que sa semblable dans la mesure où plusieurs propriétés des valeurs propres de Dirichlet, telles que la monotonicité par rapport au domaine, ne tiennent plus. Néanmoins, quelques résultats sont obtenus pour des 2-partitions de domaines symétriques et des partitions spécifiques sont trouvées analytiquement pour des domaines rectangulaires. En outre, des propriétés générales des partitions spectrales optimales et des problèmes ouverts sont abordés.

The Double Pareto-Lognormal Distribution and its applications in actuarial science and finance

Le but de ce mémoire de maîtrise est de décrire les propriétés de la loi double Pareto-lognormale, de montrer comment on peut introduire des variables explicatives dans le modèle et de présenter son large potentiel d'applications dans le domaine de la science actuarielle et de la finance. Tout d'abord, nous donnons la définition de la loi double Pareto-lognormale et présentons certaines de ses propriétés basées sur les travaux de Reed et Jorgensen (2004). Les paramètres peuvent être estimés en utilisant la méthode des moments ou le maximum de vraisemblance. Ensuite, nous ajoutons une variable explicative à notre modèle. La procédure d'estimation des paramètres de ce mo-\\dèle est également discutée. Troisièmement, des applications numériques de notre modèle sont illustrées et quelques tests statistiques utiles sont effectués.

Théorème de Pleijel pour l'oscillateur harmonique quantique

L'objectif de ce mémoire est de démontrer certaines propriétés géométriques des fonctions propres de l'oscillateur harmonique quantique. Nous étudierons les domaines nodaux, c'est-à-dire les composantes connexes du complément de l'ensemble nodal. Supposons que les valeurs propres ont été ordonnées en ordre croissant. Selon un théorème fondamental dû à Courant, une fonction propre associée à la $n$-ième valeur propre ne peut avoir plus de $n$ domaines nodaux. Ce résultat a été prouvé initialement pour le laplacien de Dirichlet sur un domaine borné mais il est aussi vrai pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Le théorème a été amélioré par Pleijel en 1956 pour le laplacien de Dirichlet. En effet, on peut donner un résultat asymptotique plus fort pour le nombre de domaines nodaux lorsque les valeurs propres tendent vers l'infini. Dans ce mémoire, nous prouvons un résultat du même type pour l'oscillateur harmonique quantique isotrope. Pour ce faire, nous utiliserons une combinaison d'outils classiques de la géométrie spectrale (dont certains ont été utilisés dans la preuve originale de Pleijel) et de plusieurs nouvelles idées, notamment l'application de certaines techniques tirées de la géométrie algébrique et l'étude des domaines nodaux non-bornés.

Semiautomated 3D liver segmentation using computed tomography and magnetic resonance imaging

Le foie est un organe vital ayant une capacité de régénération exceptionnelle et un rôle crucial dans le fonctionnement de l’organisme. L’évaluation du volume du foie est un outil important pouvant être utilisé comme marqueur biologique de sévérité de maladies hépatiques. La volumétrie du foie est indiquée avant les hépatectomies majeures, l’embolisation de la veine porte et la transplantation. La méthode la plus répandue sur la base d'examens de tomodensitométrie (TDM) et d'imagerie par résonance magnétique (IRM) consiste à délimiter le contour du foie sur plusieurs coupes consécutives, un processus appelé la «segmentation». Nous présentons la conception et la stratégie de validation pour une méthode de segmentation semi-automatisée développée à notre institution. Notre méthode représente une approche basée sur un modèle utilisant l’interpolation variationnelle de forme ainsi que l’optimisation de maillages de Laplace. La méthode a été conçue afin d’être compatible avec la TDM ainsi que l' IRM. Nous avons évalué la répétabilité, la fiabilité ainsi que l’efficacité de notre méthode semi-automatisée de segmentation avec deux études transversales conçues rétrospectivement. Les résultats de nos études de validation suggèrent que la méthode de segmentation confère une fiabilité et répétabilité comparables à la segmentation manuelle. De plus, cette méthode diminue de façon significative le temps d’interaction, la rendant ainsi adaptée à la pratique clinique courante. D’autres études pourraient incorporer la volumétrie afin de déterminer des marqueurs biologiques de maladie hépatique basés sur le volume tels que la présence de stéatose, de fer, ou encore la mesure de fibrose par unité de volume.

Retrial Queues with Orbital Search

Queueing system in which arriving customers who find all servers and waiting positions (if any) occupied many retry for service after a period of time are retrial queues or queues with repeated attempts. This study deals with two objectives one is to introduce orbital search in retrial queueing models which allows to minimize the idle time of the server. If the holding costs and cost of using the search of customers will be introduced, the results we obtained can be used for the optimal tuning of the parameters of the search mechanism. The second one is to provide insight of the link between the corresponding retrial queue and the classical queue. At the end we observe that when the search probability Pj = 1 for all j, the model reduces to the classical queue and when Pj = 0 for all j, the model becomes the retrial queue. It discusses the performance evaluation of single-server retrial queue. It was determined by using Poisson process. Then it discuss the structure of the busy period and its analysis interms of Laplace transforms and also provides a direct method of evaluation for the first and second moments of the busy period. Then it discusses the M/ PH/1 retrial queue with disaster to the unit in service and orbital search, and a multi-server retrial queueing model (MAP/M/c) with search of customers from the orbit. MAP is convenient tool to model both renewal and non-renewal arrivals. Finally the present model deals with back and forth movement between classical queue and retrial queue. In this model when orbit size increases, retrial rate also correspondingly increases thereby reducing the idle time of the server between services

Econometrics as an Academic Discipline in Higher Education: An Exploratory Study of the Need, Relevance and Significance

Econometrics is a young science. It developed during the twentieth century in the mid-1930’s, primarily after the World War II. Econometrics is the unification of statistical analysis, economic theory and mathematics. The history of econometrics can be traced to the use of statistical and mathematics analysis in economics. The most prominent contributions during the initial period can be seen in the works of Tinbergen and Frisch, and also that of Haavelmo in the 1940's through the mid 1950's. Right from the rudimentary application of statistics to economic data, like the use of laws of error through the development of least squares by Legendre, Laplace, and Gauss, the discipline of econometrics has later on witnessed the applied works done by Edge worth and Mitchell. A very significant mile stone in its evolution has been the work of Tinbergen, Frisch, and Haavelmo in their development of multiple regression and correlation analysis. They used these techniques to test different economic theories using time series data. In spite of the fact that some predictions based on econometric methodology might have gone wrong, the sound scientific nature of the discipline cannot be ignored by anyone. This is reflected in the economic rationale underlying any econometric model, statistical and mathematical reasoning for the various inferences drawn etc. The relevance of econometrics as an academic discipline assumes high significance in the above context. Because of the inter-disciplinary nature of econometrics (which is a unification of Economics, Statistics and Mathematics), the subject can be taught at all these broad areas, not-withstanding the fact that most often Economics students alone are offered this subject as those of other disciplines might not have adequate Economics background to understand the subject. In fact, even for technical courses (like Engineering), business management courses (like MBA), professional accountancy courses etc. econometrics is quite relevant. More relevant is the case of research students of various social sciences, commerce and management. In the ongoing scenario of globalization and economic deregulation, there is the need to give added thrust to the academic discipline of econometrics in higher education, across various social science streams, commerce, management, professional accountancy etc. Accordingly, the analytical ability of the students can be sharpened and their ability to look into the socio-economic problems with a mathematical approach can be improved, and enabling them to derive scientific inferences and solutions to such problems. The utmost significance of hands-own practical training on the use of computer-based econometric packages, especially at the post-graduate and research levels need to be pointed out here. Mere learning of the econometric methodology or the underlying theories alone would not have much practical utility for the students in their future career, whether in academics, industry, or in practice This paper seeks to trace the historical development of econometrics and study the current status of econometrics as an academic discipline in higher education. Besides, the paper looks into the problems faced by the teachers in teaching econometrics, and those of students in learning the subject including effective application of the methodology in real life situations. Accordingly, the paper offers some meaningful suggestions for effective teaching of econometrics in higher education

Queues with inter- ruption in Random/ Markovian Environment

In many situations probability models are more realistic than deterministic models. Several phenomena occurring in physics are studied as random phenomena changing with time and space. Stochastic processes originated from the needs of physicists.Let X(t) be a random variable where t is a parameter assuming values from the set T. Then the collection of random variables {X(t), t ∈ T} is called a stochastic process. We denote the state of the process at time t by X(t) and the collection of all possible values X(t) can assume, is called state space