hp-dGFEM for Second-Order Elliptic Problems in Plyhedra I: Stability and Quasioptimality on Geometric Meshes

We introduce and analyze hp-version discontinuous Galerkin (dG) finite element methods for the numerical approximation of linear second-order elliptic boundary-value problems in three-dimensional polyhedral domains. To resolve possible corner-, edge- and corner-edge singularities, we consider hexahedral meshes that are geometrically and anisotropically refined toward the corresponding neighborhoods. Similarly, the local polynomial degrees are increased linearly and possibly anisotropically away from singularities. We design interior penalty hp-dG methods and prove that they are well-defined for problems with singular solutions and stable under the proposed hp-refinements. We establish (abstract) error bounds that will allow us to prove exponential rates of convergence in the second part of this work.

hp-dGFEM for Second-Order Elliptic Problems in Plyhedra II: Exponential Convergence

The goal of this paper is to establish exponential convergence of $hp$-version interior penalty (IP) discontinuous Galerkin (dG) finite element methods for the numerical approximation of linear second-order elliptic boundary-value problems with homogeneous Dirichlet boundary conditions and piecewise analytic data in three-dimensional polyhedral domains. More precisely, we shall analyze the convergence of the $hp$-IP dG methods considered in [D. Schötzau, C. Schwab, T. P. Wihler, SIAM J. Numer. Anal., 51 (2013), pp. 1610--1633] based on axiparallel $\sigma$-geometric anisotropic meshes and $\bm{s}$-linear anisotropic polynomial degree distributions.

The hp-adaptive FEM based on continuous Sobolev embeddings: isotropic refinements

The aim of this paper is to present a new class of smoothness testing strategies in the context of hp-adaptive refinements based on continuous Sobolev embeddings. In addition to deriving a modified form of the 1d smoothness indicators introduced in [26], they will be extended and applied to a higher dimensional framework. A few numerical experiments in the context of the hp-adaptive FEM for a linear elliptic PDE will be performed.

Valle d’Aosta section of the Sesia Zone: multi-stage HP metamorphism and assembly of a rifted continental margin

The spectrum characteristic of the EMC ranges from eclogites (containing omphacite and/or jadeite, garnet, phengite, glaucophane, zoisite, chloritoid, rutile) to phengite schists, calcschists, and marbles, as well as a variety of orthogneisses. Despite the intense polyphase deformation and HP-metamorphic recrystallization, it is possible in some locations to recognize pre-Alpine characteristics in some of the protoliths. For instance, two types of felsic orthogneiss can be distinguished in the Aosta Valley, one derived from Permian granitoids (with local preservation of intrusive contacts, magmatic inclusions, leucocratic veins and other magmatic structures; Stop 3), the other derived from pre-Variscan leuco-monzogranite, such as the building stone mined at the “Argentera” quarry near Settimo Vittone / Montestrutto (Stop 2; so-called “Verde Argento” contains jadeite, phengite, K-feldspar, quartz). Polycyclic and more rarely monocyclic metasediments contain evidence of a complex Alpine PTDt-evolution, locally including relics of their prograde history from blueschist, one or more stages at eclogite facies. Recent petrochronological studies have dated this HP-evolution of the Sesia Zone in some detail. In the area visited, clear evidence of HP-cycling has been identified in one km-size tectonic slice (Stop 1), but not in adjacent parts of the EMC, indicating “yo-yo tectonics”. Partial retrogression and attendant ductile to brittle deformation of the HP-rocks is evident in one of the outcrops (Stop 4). Apart from the four localities in the Sesia Zone, a final outcrop introduces HP-rocks of the adjacent Piemonte oceanic unit, specifically calc-schists and ophiolite members of the “Zermatt-Saas” zone. The hilltop outcrop (Stop 5) displays foliated antigorite schist with peridotite relics (clinopyroxene, spinel) containing lenses derived from doleritic dykes. These fine-grained metarodingites and the folded veins containing Mg-chlorite and titanoclinohumite within serpentinite once again indicate equilibration under low-temperature eclogite facies conditions. However, these units reached that HP stage more than 20 Ma after the youngest eclogite facies imprint recognized in the Sesia Zone. Despite nearly half a century of intense study in the Sesia Zone, the complex assembly of its HP-terranes and their relation to more external parts of the Western Alps remains incompletely understood. This field guide merely introduces a few of the classic outcrops and discusses some of the critical evidence they contain, but it could not incorporate details on each stage of the evolution recognized so far.

hp-DGFEM for second-order mixed elliptic problems polyhedra

We prove exponential rates of convergence of hp-version discontinuous Galerkin (dG) interior penalty finite element methods for second-order elliptic problems with mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions in axiparallel polyhedra. The dG discretizations are based on axiparallel, σ-geometric anisotropic meshes of mapped hexahedra and anisotropic polynomial degree distributions of μ-bounded variation. We consider piecewise analytic solutions which belong to a larger analytic class than those for the pure Dirichlet problem considered in [11, 12]. For such solutions, we establish the exponential convergence of a nonconforming dG interpolant given by local L 2 -projections on elements away from corners and edges, and by suitable local low-order quasi-interpolants on elements at corners and edges. Due to the appearance of non-homogeneous, weighted norms in the analytic regularity class, new arguments are introduced to bound the dG consistency errors in elements abutting on Neumann edges. The non-homogeneous norms also entail some crucial modifications of the stability and quasi-optimality proofs, as well as of the analysis for the anisotropic interpolation operators. The exponential convergence bounds for the dG interpolant constructed in this paper generalize the results of [11, 12] for the pure Dirichlet case.

El Pabellón de los Países Nórdicos en la Bienal de Venecia de Sverre Fehn : la cubierta filtro: sol, árboles, sombra

La tesis estudia el Pabellón de los Países Nórdicos (1958-1962), uno de los ejemplos más significativos de la obra del arquitecto Sverre Fehn (1924-2009). El Pabellón es el resultado de la obtención del primer premio en el concurso de ideas restringido convocado en 1958 por un comité formado por los gobiernos de Suecia, Finlandia y Noruega, cuya finalidad era la creación de un espacio en el recinto de la Bienal de Venecia que albergara las exposiciones bianuales de estos paises. El elemento más característico de esta obra es su cubierta, un tamiz denso de dos capas de vigas de hormigón superpuestas que se interrumpe puntualmente para permitir el paso de los árboles que viven en su interior. Su espesor de dos metros bloquea los rayos de luz directa de forma que se genera un plano de iluminación difusa. Esta configuración de la cubierta resuelve los dos condicionantes principales del proyecto: la creación de un espacio expositivo flexible y la preservación de los árboles de mayor porte. Bajo el plano superior filtrante, se genera un espacio horizontal en continuidad física y sensorial con la arboleda en la que se asienta, caracterizado por la variación lumínica a lo largo del día. Los objetivos de esta tesis son contribuir a un conocimiento amplio y riguroso del Pabellón Nórdico, y explicar el singular espacio que propone. Para lograr estos objetivos, el primer paso ha consistido en la elaboración de las bases del estudio de esta obra, mediante la recopilación y selección de la documentación existente -que en gran parte permanece inédita hasta la fecha- y la aportación de nuevos planos que completen fases no documentadas: el estado construído y el estado actual de la obra. Se parte de la hipótesis de que todas las decisiones de proyecto -el vínculo con el lugar, la incorporación de las preexistencias, la respuesta al programa y la construcción- son consecuencia de la acción de la cubierta y se derivan del hecho de la filtración de la luz. En el Pabellón, la iluminación cenital y espacio horizontal en continuidad con el entorno se aunan de forma insólita. El curso de la investigación está guiado por la búsqueda de las cualidades de un espacio planteado con su límite superior permeable -cubierta filtrante- y por el debilitamiento de algunos de sus límites verticales. La tesis se estructura en tres capítulos principales -crónica, re-construcción y re-lectura-, que abordan la descripción, el análisis y la síntesis del Pabellón de acuerdo con la metodología de la investigación seguida. La crónica se dedica a la descripción exhaustiva de la sede nórdica desde varios puntos de vista. El objetivo de este capítulo es el de ubicar la obra en su contexto y facilitar la comprensión del conjunto de los aspectos y condicionantes que determinaron la formalización del Pabellón. El capítulo comienza con una síntesis de las circunstancias que desencadenaron la convocatoria del concurso. El apartado pormenoriza el programa propuesto por el comité nórdico y las propuestas presentadas por cada uno de los arquitectos invitados a participar en el concurso de cada país promotor: el noruego Sverre Fehn, el sueco Klas Anshelm y el finés Reima Piëtila. A continuación se explica el desarrollo y evolución del proyecto de Fehn y las fases que atraviesa la obra hasta su materialización, así como los cambios y modificaciones más relevantes que el edificio ha experimentado hasta nuestros días. Este apartado finaliza con una descripción de la sede como espacio expositivo desde su inauguración hasta la actualidad y cómo se ha ido adaptando a tal uso. La re-construcción aborda el análisis de la obra a partir de la disección de su identidad en cuatro aspectos elementales: su relación con el lugar y las preexistencias, la respuesta que el proyecto ofrece al programa planteado, las cualidades del espacio que genera la luz filtrada por la cubierta y la construcción desde los puntos de vista del proceso, el sistema y la materialidad. En estas parcelas se pretende identificar los elementos que constituyen la naturaleza, la organización espacial y la formalización del Pabellón y veremos que todos ellos están relacionados con su singular cubierta y con el fenómeno de la filtración de la luz. La re-lectura ofrece una mirada crítica del Pabellón en base a un análisis comparativo de la obra con un panorama de referencias que plantean los mismos temas arquitectónicos. En este capítulo se busca profundizar en los aspectos fundamentales del proyecto que se derivan del estudio realizado previamente, y así obtener una lectura más profunda los conceptos desarrollados por Fehn y su alcance. Uno de los temas de mayor importancia que acomete Fehn en esta obra es la interacción entre arquitectura y árbol. Se revisa la incidencia que tiene sobre el trazado de la planta la ocupación previa de árboles en el solar, así como las diferentes posturas que adopta la arquitectura ante este hecho. Se estudian algunos casos representativos de obras que establecen un vínculo de interdependencia con la fronda preexistente y la incorporan al proyecto como un estrato más del límite. Por último, se enumeran las consecuencias de la incorporación del árbol al espacio interior y las dificultades o beneficios que surgen de esta coexistencia. El segundo gran tema que se deriva del estudio del Pabellón es la búsqueda de un espacio expositivo flexible basado en la diafanidad, la iluminación natural homogénea y la apertura física al parque. En primer lugar se analiza la planta liberada de las servidumbres de estructura, instalaciones, espacios servidores y accesos fijos como soporte de la versatilidad de uso, así como la ocupación del espacio diáfano. En segundo lugar establecemos un análisis comparativo de la configuración del filtro lumínico en otras cubiertas que, al igual que el Pabellón, también persiguen la generación de una iluminación homogénea. Por último se analiza el grado de apertura física del espacio interior al exterior y los niveles de relación que se establecen con el espacio público circundante. La relectura finaliza con el estudio del Pabellón en el contexto de los espacios expositivos de Sverre Fehn para comprender la singularidad de este edificio en el conjunto de la obra del arquitecto noruego y comprobar cómo se plantean en los casos estudiados la exhibición del objeto, el recorrido y la luz. El desarrollo de esta tesis en torno al Pabellón está motivada por la consideración de que constituye un ejemplo en el que se condensan valores fundamentales de la arquitectura. Esta obra propone un espacio antimonumental que interactúa con las personas y que está caracterizada por la manipulación de los límites físicos, el compromiso con el programa, las preexistencias y el lugar donde se implanta. Representa un proyecto rotundo cuya estructura y sistema de relaciones se fundamenta en el plano de la realidad concreta.