Certain problems concerning polynomials and transcendental entire functions of exponential type

Soit $\displaystyle P(z):=\sum_{\nu=0}^na_\nu z^{\nu}$ un polynôme de degré $n$ et $\displaystyle M:=\sup_{|z|=1}|P(z)|.$ Sans aucne restriction suplémentaire, on sait que $|P'(z)|\leq Mn$ pour $|z|\leq 1$ (inégalité de Bernstein). Si nous supposons maintenant que les zéros du polynôme $P$ sont à l'extérieur du cercle $|z|=k,$ quelle amélioration peut-on apporter à l'inégalité de Bernstein? Il est déjà connu [{\bf \ref{Mal1}}] que dans le cas où $k\geq 1$ on a $$(*) \qquad |P'(z)|\leq \frac{n}{1+k}M \qquad (|z|\leq 1),$$ qu'en est-il pour le cas où $k < 1$? Quelle est l'inégalité analogue à $(*)$ pour une fonction entière de type exponentiel $\tau ?$ D'autre part, si on suppose que $P$ a tous ses zéros dans $|z|\geq k \, \, (k\geq 1),$ quelle est l'estimation de $|P'(z)|$ sur le cercle unité, en terme des quatre premiers termes de son développement en série entière autour de l'origine. Cette thèse constitue une contribution à la théorie analytique des polynômes à la lumière de ces questions.

Représentation d'un polynôme par un circuit arithmétique et chaînes additives

Un circuit arithmétique dont les entrées sont des entiers ou une variable x et dont les portes calculent la somme ou le produit représente un polynôme univarié. On assimile la complexité de représentation d'un polynôme par un circuit arithmétique au nombre de portes multiplicatives minimal requis pour cette modélisation. Et l'on cherche à obtenir une borne inférieure à cette complexité, et cela en fonction du degré d du polynôme. A une chaîne additive pour d, correspond un circuit arithmétique pour le monôme de degré d. La conjecture de Strassen prétend que le nombre minimal de portes multiplicatives requis pour représenter un polynôme de degré d est au moins la longueur minimale d'une chaîne additive pour d. La conjecture de Strassen généralisée correspondrait à la même proposition lorsque les portes du circuit arithmétique ont degré entrant g au lieu de 2. Le mémoire consiste d'une part en une généralisation du concept de chaînes additives, et une étude approfondie de leur construction. On s'y intéresse d'autre part aux polynômes qui peuvent être représentés avec très peu de portes multiplicatives (les d-gems). On combine enfin les deux études en lien avec la conjecture de Strassen. On obtient en particulier de nouveaux cas de circuits vérifiant la conjecture.

Optimisation quadratique en variables binaires : quelques résultats et techniques

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Systèmes superintégrables avec spin et intégrales du mouvement d’ordre deux

Ce mémoire est une partie d’un programme de recherche qui étudie la superintégrabilité des systèmes avec spin. Plus particulièrement, nous nous intéressons à un hamiltonien avec interaction spin-orbite en trois dimensions admettant une intégrale du mouvement qui est un polynôme matriciel d’ordre deux dans l’impulsion. Puisque nous considérons un hamiltonien invariant sous rotation et sous parité, nous classifions les intégrales du mouvement selon des multiplets irréductibles de O(3). Nous calculons le commutateur entre l’hamiltonien et un opérateur général d’ordre deux dans l’impulsion scalaire, pseudoscalaire, vecteur et pseudovecteur. Nous donnons la classification complète des systèmes admettant des intégrales du mouvement scalaire et vectorielle. Nous trouvons une condition nécessaire à remplir pour le potentiel sous forme d’une équation différentielle pour les cas pseudo-scalaire et pseudo-vectoriel. Nous utilisons la réduction par symétrie pour obtenir des solutions particulières de ces équations.

Les polynômes orthogonaux matriciels et la méthode de factorisation

La méthode de factorisation est appliquée sur les données initiales d'un problème de mécanique quantique déja résolu. Les solutions (états propres et fonctions propres) sont presque tous retrouvés.

Croissance et ensemble nodal de fonctions propres du laplacien sur des surfaces

Dans cette thèse, nous étudions les fonctions propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami - ou simplement laplacien - sur une surface fermée, c'est-à-dire une variété riemannienne lisse, compacte et sans bord de dimension 2. Ces fonctions propres satisfont l'équation $\Delta_g \phi_\lambda + \lambda \phi_\lambda = 0$ et les valeurs propres forment une suite infinie. L'ensemble nodal d'une fonction propre du laplacien est celui de ses zéros et est d'intérêt depuis les expériences de plaques vibrantes de Chladni qui remontent au début du 19ème siècle et, plus récemment, dans le contexte de la mécanique quantique. La taille de cet ensemble nodal a été largement étudiée ces dernières années, notamment par Donnelly et Fefferman, Colding et Minicozzi, Hezari et Sogge, Mangoubi ainsi que Sogge et Zelditch. L'étude de la croissance de fonctions propres n'est pas en reste, avec entre autres les récents travaux de Donnelly et Fefferman, Sogge, Toth et Zelditch, pour ne nommer que ceux-là. Notre thèse s'inscrit dans la foulée du travail de Nazarov, Polterovich et Sodin et relie les propriétés de croissance des fonctions propres avec la taille de leur ensemble nodal dans l'asymptotique $\lambda \nearrow \infty$. Pour ce faire, nous considérons d'abord les exposants de croissance, qui mesurent la croissance locale de fonctions propres et qui sont obtenus à partir de la norme uniforme de celles-ci. Nous construisons ensuite la croissance locale moyenne d'une fonction propre en calculant la moyenne sur toute la surface de ces exposants de croissance, définis sur de petits disques de rayon comparable à la longueur d'onde. Nous montrons alors que la taille de l'ensemble nodal est contrôlée par le produit de cette croissance locale moyenne et de la fréquence $\sqrt{\lambda}$. Ce résultat permet une reformulation centrée sur les fonctions propres de la célèbre conjecture de Yau, qui prévoit que la mesure de l'ensemble nodal croît au rythme de la fréquence. Notre travail renforce également l'intuition répandue selon laquelle une fonction propre se comporte comme un polynôme de degré $\sqrt{\lambda}$. Nous généralisons ensuite nos résultats pour des exposants de croissance construits à partir de normes $L^q$. Nous sommes également amenés à étudier les fonctions appartenant au noyau d'opérateurs de Schrödinger avec petit potentiel dans le plan. Pour de telles fonctions, nous obtenons deux résultats qui relient croissance et taille de l'ensemble nodal.

Sur l'inégalité de Visser

Soit p un polynôme d'une variable complexe z. On peut trouver plusieurs inégalités reliant le module maximum de p et une combinaison de ses coefficients. Dans ce mémoire, nous étudierons principalement les preuves connues de l'inégalité de Visser. Nous montrerons aussi quelques généralisations de cette inégalité. Finalement, nous obtiendrons quelques applications de l'inégalité de Visser à l'inégalité de Chebyshev.

Estimation utilisant les polynômes de Bernstein

Ce mémoire porte sur la présentation des estimateurs de Bernstein qui sont des alternatives récentes aux différents estimateurs classiques de fonctions de répartition et de densité. Plus précisément, nous étudions leurs différentes propriétés et les comparons à celles de la fonction de répartition empirique et à celles de l'estimateur par la méthode du noyau. Nous déterminons une expression asymptotique des deux premiers moments de l'estimateur de Bernstein pour la fonction de répartition. Comme pour les estimateurs classiques, nous montrons que cet estimateur vérifie la propriété de Chung-Smirnov sous certaines conditions. Nous montrons ensuite que l'estimateur de Bernstein est meilleur que la fonction de répartition empirique en terme d'erreur quadratique moyenne. En s'intéressant au comportement asymptotique des estimateurs de Bernstein, pour un choix convenable du degré du polynôme, nous montrons que ces estimateurs sont asymptotiquement normaux. Des études numériques sur quelques distributions classiques nous permettent de confirmer que les estimateurs de Bernstein peuvent être préférables aux estimateurs classiques.

Recherche et caractérisation des étoiles jeunes de faible masse dans le voisinage solaire

L'outil développé dans le cadre de cette thèse est disponible à l'adresse suivante: www.astro.umontreal.ca/~malo/banyan.php

Dénombrement des polynômes irréductibles unitaires dans les corps finis avec différentes contraintes sur les coefficients.

Le but de ce mémoire est de dénombrer les polynômes irréductibles unitaires dans les corps finis avec certaines conditions sur les coefficients. Notre première condition sera de fixer la trace du polynôme. Par la suite, nous choisirons la cotrace lorsque la trace sera déjà fixée à zéro. Finalement, nous discuterons du cas où la trace et le terme constant sont fixés en même temps.

Énergie des vortex dans un modèle abélien de Higgs en 2+1 dimensions avec un potentiel d’ordre six

Dans ce travail, j’étudierai principalement un modèle abélien de Higgs en 2+1 dimensions, dans lequel un champ scalaire interagit avec un champ de jauge. Des défauts topologiques, nommés vortex, sont créés lorsque le potentiel possède un minimum brisant spontanément la symétrie U(1). En 3+1 dimensions, ces vortex deviennent des défauts à une dimension. Ils ap- paraissent par exemple en matière condensée dans les supraconducteurs de type II comme des lignes de flux magnétique. J’analyserai comment l’énergie des solutions statiques dépend des paramètres du modèle et en particulier du nombre d’enroulement du vortex. Pour le choix habituel de potentiel (un poly- nôme quartique dit « BPS »), la relation entre les masses des deux champs mène à deux types de comportements : type I si la masse du champ de jauge est plus grande que celle du champ sca- laire et type II inversement. Selon le cas, la dépendance de l’énergie au nombre d’enroulement, n, indiquera si les vortex auront tendance à s’attirer ou à se repousser, respectivement. Lorsque le flux emprisonné est grand, les vortex présentent un profil où la paroi est mince, permettant certaines simplifications dans l’analyse. Le potentiel, un polynôme d’ordre six (« non-BPS »), est choisi tel que le centre du vortex se trouve dans le vrai vide (minimum absolu du potentiel) alors qu’à l’infini le champ scalaire se retrouve dans le faux vide (minimum relatif du potentiel). Le taux de désintégration a déjà été estimé par une approximation semi-classique pour montrer l’impact des défauts topologiques sur la stabilité du faux vide. Le projet consiste d’abord à établir l’existence de vortex classi- quement stables de façon numérique. Puis, ma contribution fut une analyse des paramètres du modèle révélant le comportement énergétique de ceux-ci en fonction du nombre d’enroulement. Ce comportement s’avèrera être différent du cas « BPS » : le ratio des masses ne réussit pas à décrire le comportement observé numériquement.

Désintégration du faux vide médiée par des kinks en 1+1 dimensions

Dans ce mémoire, on étudie la désintégration d’un faux vide, c’est-à-dire un vide qui est un minimum relatif d’un potentiel scalaire par effet tunnel. Des défauts topologiques en 1+1 dimension, appelés kinks, apparaissent lorsque le potentiel possède un minimum qui brise spontanément une symétrie discrète. En 3+1 dimensions, ces kinks deviennent des murs de domaine. Ils apparaissent par exemple dans les matériaux magnétiques en matière condensée. Un modèle à deux champs scalaires couplés sera étudié ainsi que les solutions aux équations du mouvement qui en découlent. Ce faisant, on analysera comment l’existence et l’énergie des solutions statiques dépend des paramètres du modèle. Un balayage numérique de l’espace des paramètres révèle que les solutions stables se trouvent entre les zones de dissociation, des régions dans l’espace des paramètres où les solutions stables n’existent plus. Le comportement des solutions instables dans les zones de dissociation peut être très différent selon la zone de dissociation dans laquelle une solution se trouve. Le potentiel consiste, dans un premier temps, en un polynôme d’ordre six, auquel on y rajoute, dans un deuxième temps, un polynôme quartique multiplié par un terme de couplage, et est choisi tel que les extrémités du kink soient à des faux vides distincts. Le taux de désintégration a été estimé par une approximation semi-classique pour montrer l’impact des défauts topologiques sur la stabilité du faux vide. Le projet consiste à déterminer les conditions qui permettent aux kinks de catalyser la désintégration du faux vide. Il appert qu’on a trouvé une expression pour déterminer la densité critique de kinks et qu’on comprend ce qui se passe avec la plupart des termes.

L'étendue internationale des nouvelles firmes de hautes technologies: le rôle du capital humain et de l'intention stratégique des fondateurs

De récentes recherches ont mis l’accent sur l’importance pour les nouvelles entreprises internationales de l’existence de ressources et de compétences spécifiques. La présente recherche, qui s’inscrit dans ce courant, montre en particulier l’importance du capital humain acquis par les entrepreneurs sur base de leur expérience internationale passée. Mais nous montrons en même temps que ces organisations sont soutenues par une intention délibérée d’internationalisation dès l’origine. Notre recherche empirique est basée sur l’analyse d’un échantillon de 466 nouvelles entreprises de hautes technologies anglaises et allemandes. Nous montrons que ce capital humain est un actif qui facilite la pénétration rapide des marchés étrangers, et plus encore quand l’entreprise nouvelle est accompagnée d’une intention stratégique délibérée d’internationalisation. Des conclusions similaires peuvent être étendues au niveau des ressources que l’entrepreneur consacre à la start-up : plus ces ressources sont importantes, plus le processus d’internationalisation tend à se faire à grande échelle ; et là aussi, l’influence de ces ressources est augmenté par l’intention stratégique d’internationalisation. Dans le cadre des études empiriques sur les born-globals (entreprises qui démarrent sur un marché globalisé), cette recherche fournit une des premières études empiriques reliant l’influence des conditions initiales de création aux probabilités de croissance internationale rapide.

De la reconstruction a l’augmentation du corps humain en medecine restaurative et en cybernetique

Aux confluences historiques et conceptuelles de la modernité, de la technologie, et de l’« humain », les textes de notre corpus négocient et interrogent de façon critique les possibilités matérielles et symboliques de la prothèse, ses aspects phénoménologiques et spéculatifs : du côté subjectiviste et conceptualiste avec une philosophie de la conscience, avec Merleau-Ponty ; et de l’autre avec les épistémologues du corps et historiens de la connaissance Canguilhem et Foucault. Le trope prometteur de la prothèse impacte sur les formations discursives et non-discursives concernant la reconstruction des corps, là où la technologie devient le corrélat de l’identité. La technologie s’humanise au contact de l’homme, et, en révélant une hybridité supérieure, elle phagocyte l’humain du même coup. Ce travail de sociologie des sciences (Latour, 1989), ou encore d’anthropologie des sciences (Hakken, 2001) ou d’anthropologie bioculturelle (Andrieu, 1993; Andrieu, 2006; Andrieu, 2007a) se propose en tant qu’exemple de la contribution potentielle que l’anthropologie biologique et culturelle peut rendre à la médecine reconstructrice et que la médecine reconstructrice peut rendre à la plastique de l’homme ; l’anthropologie biologique nous concerne dans la transformation biologique du corps humain, par l’outil de la technologie, tant dans son histoire de la reconstruction mécanique et plastique, que dans son projet d’augmentation bionique. Nous établirons une continuité archéologique, d’une terminologie foucaldienne, entre les deux pratiques. Nous questionnons les postulats au sujet des relations nature/culture, biologie/contexte social, et nous présentons une approche définitionnelle de la technologie, pierre angulaire de notre travail théorique. Le trope de la technologie, en tant qu’outil adaptatif de la culture au service de la nature, opère un glissement sémantique en se plaçant au service d’une biologie à améliorer. Une des clés de notre recherche sur l’augmentation des fonctions et de l’esthétique du corps humain réside dans la redéfinition même de ces relations ; et dans l’impact de l’interpénétration entre réalité et imaginaire dans la construction de l’objet scientifique, dans la transformation du corps humain. Afin de cerner les enjeux du discours au sujet de l’« autoévolution » des corps, les théories évolutionnistes sont abordées, bien que ne représentant pas notre spécialité. Dans le cadre de l’autoévolution, et de l’augmentation bionique de l’homme, la somation culturelle du corps s’exerce par l’usage des biotechnologies, en rupture épistémologique de la pensée darwinienne, bien que l’acte d’hybridation évolutionnaire soit toujours inscrit dans un dessein de maximisation bionique/génétique du corps humain. Nous explorons les courants de la pensée cybernétique dans leurs actions de transformation biologique du corps humain, de la performativité des mutilations. Ainsi technologie et techniques apparaissent-elles indissociables de la science, et de son constructionnisme social.

La théorie démocratique et La Physique Théorique

Le présent essai soutient, un peu le long d'une ligne simmelienne, que la théorie démocratique peut produire des théories pratiques et universelles, comme celles développées en physique théorique. Le raisonnement qui sous-tend cet essai est de montrer que la théorie de la «démocratie de base" peut-être vrai par le faite si on la comparer à la Relative Spécifique d’Einstein portant spécifiquement sur les paramètres de symétrie, l'unification, la simplicité et l'utilité. Ces paramètres sont ce qui fait qu’une théorie en physique comme ont la rencontre s’adapte non seulement aux connaissances actuelles, mais aussi de produire des chemins vers l'essai (application). Comme la théorie de la «démocratie de base » peut satisfaire ces mêmes paramètres, il pourrait trancher le débat relatif à la définition de la démocratie. Ceci sera d'abord soutenu pour discuter de ce qui est la théorie de la «démocratie de base» et pourquoi cela diffère des travaux précédents, en deuxième lieu, en expliquant les paramètres choisis (comme pour quoi ceux-ci et pas à d'autres confirment ou échouent les théories) et, troisièmement, en comparant comment la relativité et la théorie de la «démocratie de base » peut correspondre aux paramètres.