Análise numérica do problema de difusão anômala unidimensional

A presente dissertação tem como objetivo analisar o comportamento da solução numérica da equação de difusão anômala com distribuição de fluxo bimodal, no regime estacionário, através de dois métodos numéricos. Foram desenvolvidos modelos utilizando o Método de Elementos Finitos e o Método de Volumes Finitos para a solução numérica desta equação. No modelo do Método de Elementos Finitos utilizou-se polinômios cúbicos de Hermite como funções de interpolação. No modelo de Volumes Finitos foi utilizada uma discretização de ordem superior para a avaliação das derivadas da equação em estudo. Em ambos os métodos, os modelos desenvolvidos consideram a utilização de diferentes tipos de condições de contorno para a solução do problema. Foram analisadas as influências de parâmetros da equação, das condições de contorno e do refinamento da malha na solução numérica. Os resultados apresentam a análise de erros da solução numérica através da comparação desta com a solução analítica.

Contrôle attentionnel et vieillissement normal : contribution à la mémoire de travail et variabilité interindividuelle

Dans le contexte actuel du vieillissement de la population, il importe de s’intéresser aux changements qui surviennent avec l’avancement en âge. Le vieillissement s’accompagne de modifications pour différentes fonctions cognitives, dont la mémoire de travail (MdeT), un système permettant le maintien temporaire et la manipulation d’une petite quantité d’informations. Les travaux de cette thèse portent sur le vieillissement normal de la MdeT et des fonctions de contrôle attentionnel (FCA) qui la sous-tendent (l’alternance, l’inhibition et la mise à jour). D’abord, la première étude (Chapitre II) visait à préciser l’effet du vieillissement normal sur la MdeT et sur chacune des FCA qui la sous-tendent. Elle avait également pour but d’identifier les FCA qui contribuent à la réalisation de différentes tâches de MdeT, et si cette contribution diffère selon le groupe d’âge. Des tâches mesurant chacune des FCA ainsi que des tâches de MdeT ont été administrées à des personnes âgées et à des jeunes adultes. Les analyses contrôlant pour le ralentissement cognitif ont révélé que les habiletés d’alternance et de mise à jour sont préservées chez les personnes âgées, mais que l’inhibition est atteinte comparativement aux jeunes adultes. Les analyses ont également montré que l’impact du vieillissement sur la MdeT dépend de la tâche utilisée. Enfin, les résultats ont indiqué que la contribution des FCA à la MdeT dépend à la fois de la tâche de MdeT et du groupe d’âge. En particulier, la mise à jour contribue davantage à la MdeT des personnes âgées qu’à celle des jeunes, ce qui pourrait refléter une tentative de compensation. La seconde étude (Chapitre III) avait pour objectif de caractériser la variabilité interindividuelle au niveau des FCA, pour les personnes âgées et pour les jeunes adultes. Des analyses hiérarchiques en grappes réalisées sur les habiletés d’alternance, d’inhibition et de mise à jour, ont permis de déterminer si différents profils de contrôle attentionnel étaient présents. L’étude cherchait également à déterminer si les individus appartenant à des profils de contrôle attentionnel distincts diffèrent quant à certaines variables intellectuelles ou de santé. Les analyses ont mis en évidence trois profils de contrôle attentionnel distincts parmi les personnes âgées, l’inhibition étant une FCA critique pour distinguer entre les trois sous-groupes. Trois profils de contrôle attentionnel ont également été identifiés chez les jeunes adultes, et ces profils étaient caractérisés par moins de variabilité intra-individuelle que ceux des âgés. Les analyses ont par ailleurs montré que les profils de contrôle attentionnel se distinguent sur certaines variables intellectuelles et de santé. Les implications théoriques et cliniques de ces résultats seront discutées en fin de thèse (Chapitre IV).

Lien entre l'activité pariéto-occipitale enregistrée pendant une tâche de mémoire à court terme visuelle et les habiletés mathématiques : une étude en magnétoencéphalographie

La mémoire à court terme visuelle (MCTv) est un système qui permet le maintien temporaire de l’information visuelle en mémoire. La capacité en mémoire à court terme se définit par le nombre d’items qu’un individu peut maintenir en mémoire sur une courte période de temps et est limitée à environ quatre items. Il a été démontré que la capacité en MCTv et les habiletés mathématiques sont étroitement liées. La MCTv est utile dans beaucoup de composantes liées aux mathématiques, comme la résolution de problèmes, la visualisation mentale et l’arithmétique. En outre, la MCTv et le raisonnement mathématique font appel à des régions similaires du cerveau, notamment dans le cortex pariétal. Le sillon intrapariétal (SIP) semble être particulièrement important, autant dans la réalisation de tâches liées à la MCTv qu’aux habiletés mathématiques. Nous avons créé une tâche de MCTv que 15 participants adultes en santé ont réalisée pendant que nous enregistrions leur activité cérébrale à l’aide de la magnétoencéphalographie (MEG). Nous nous sommes intéressés principalement à la composante SPCM. Une évaluation neuropsychologique a également été administrée aux participants. Nous souhaitions tester l’hypothèse selon laquelle l’activité cérébrale aux capteurs pariéto-occipitaux pendant la tâche de MCTv en MEG sera liée à la performance en mathématiques. Les résultats indiquent que l’amplitude de l’activité pariéto-occipitale pendant la tâche de MCTv permet de prédire les habiletés mathématiques ainsi que la performance dans une tâche de raisonnement perceptif. Ces résultats permettent de confirmer le lien existant entre les habiletés mathématiques et le fonctionnement sous-jacent à la MCTv.

Detailed analysis of a conservative difference approximation for the time fractional diffusion equation

Diffusion equations that use time fractional derivatives are attractive because they describe a wealth of problems involving non-Markovian Random walks. The time fractional diffusion equation (TFDE) is obtained from the standard diffusion equation by replacing the first-order time derivative with a fractional derivative of order α ∈ (0, 1). Developing numerical methods for solving fractional partial differential equations is a new research field and the theoretical analysis of the numerical methods associated with them is not fully developed. In this paper an explicit conservative difference approximation (ECDA) for TFDE is proposed. We give a detailed analysis for this ECDA and generate discrete models of random walk suitable for simulating random variables whose spatial probability density evolves in time according to this fractional diffusion equation. The stability and convergence of the ECDA for TFDE in a bounded domain are discussed. Finally, some numerical examples are presented to show the application of the present technique.

A second order control-volume finite-element least-squares strategy for simulating diffusion in strongly anisotropic media

An unstructured mesh �nite volume discretisation method for simulating di�usion in anisotropic media in two-dimensional space is discussed. This technique is considered as an extension of the fully implicit hybrid control-volume �nite-element method and it retains the local continuity of the ux at the control volume faces. A least squares function recon- struction technique together with a new ux decomposition strategy is used to obtain an accurate ux approximation at the control volume face, ensuring that the overall accuracy of the spatial discretisation maintains second order. This paper highlights that the new technique coincides with the traditional shape function technique when the correction term is neglected and that it signi�cantly increases the accuracy of the previous linear scheme on coarse meshes when applied to media that exhibit very strong to extreme anisotropy ratios. It is concluded that the method can be used on both regular and irregular meshes, and appears independent of the mesh quality.

Implicit difference approximation for the time fractional diffusion equation

In this paper, we consider a time fractional diffusion equation on a finite domain. The equation is obtained from the standard diffusion equation by replacing the first-order time derivative by a fractional derivative (of order $0<\alpha<1$ ). We propose a computationally effective implicit difference approximation to solve the time fractional diffusion equation. Stability and convergence of the method are discussed. We prove that the implicit difference approximation (IDA) is unconditionally stable, and the IDA is convergent with $O(\tau+h^2)$, where $\tau$ and $h$ are time and space steps, respectively. Some numerical examples are presented to show the application of the present technique.

Numerical approximation of a fractional-in-space diffusion equation (II) - with nonhomogeneous boundary conditions

In this paper, a space fractional di®usion equation (SFDE) with non- homogeneous boundary conditions on a bounded domain is considered. A new matrix transfer technique (MTT) for solving the SFDE is proposed. The method is based on a matrix representation of the fractional-in-space operator and the novelty of this approach is that a standard discretisation of the operator leads to a system of linear ODEs with the matrix raised to the same fractional power. Analytic solutions of the SFDE are derived. Finally, some numerical results are given to demonstrate that the MTT is a computationally e±cient and accurate method for solving SFDE.