A method for solving LSM problems of small size in the AHP

The Analytic Hierarchy Process (AHP) is one of the most popular methods used in Multi-Attribute Decision Making. It provides with ratio-scale measurements of the prioirities of elements on the various leveles of a hierarchy. These priorities are obtained through the pairwise comparisons of elements on one level with reference to each element on the immediate higher level. The Eigenvector Method (EM) and some distance minimizing methods such as the Least Squares Method (LSM), Logarithmic Least Squares Method (LLSM), Weighted Least Squares Method (WLSM) and Chi Squares Method (X2M) are of the tools for computing the priorities of the alternatives. This paper studies a method for generating all the solutions of the LSM problems for 3 × 3 matrices. We observe non-uniqueness and rank reversals by presenting numerical results.

Solving the Least Squares Method problem in the AHP for 3 X 3 and 4 X 4 matrices

The Analytic Hierarchy Process (AHP) is one of the most popular methods used in Multi-Attribute Decision Making. The Eigenvector Method (EM) and some distance minimizing methods such as the Least Squares Method (LSM) are of the possible tools for computing the priorities of the alternatives. A method for generating all the solutions of the LSM problem for 3 × 3 and 4 × 4 matrices is discussed in the paper. Our algorithms are based on the theory of resultants.

Solution of the Least Squares Method problem of pairwise comparison matrices

The aim of the paper is to present a new global optimization method for determining all the optima of the Least Squares Method (LSM) problem of pairwise comparison matrices. Such matrices are used, e.g., in the Analytic Hierarchy Process (AHP). Unlike some other distance minimizing methods, LSM is usually hard to solve because of the corresponding nonlinear and non-convex objective function. It is found that the optimization problem can be reduced to solve a system of polynomial equations. Homotopy method is applied which is an efficient technique for solving nonlinear systems. The paper ends by two numerical example having multiple global and local minima.

An inconsistency control system based on incomplete pairwise comparison matrices

Incomplete pairwise comparison matrix was introduced by Harker in 1987 for the case in which the decision maker does not fill in the whole matrix completely due to, e.g., time limitations. However, incomplete matrices occur in a natural way even if the decision maker provides a completely filled in matrix in the end. In each step of the total n(n–1)/2, an incomplete pairwise comparison is given, except for the last one where the matrix turns into complete. Recent results on incomplete matrices make it possible to estimate inconsistency indices CR and CM by the computation of tight lower bounds in each step of the filling in process. Additional information on ordinal inconsistency is also provided. Results can be applied in any decision support system based on pairwise comparison matrices. The decision maker gets an immediate feedback in case of mistypes, possibly causing a high level of inconsistency.

Pairwise comparison matrices: an empirical research

Our research focused on testing various characteristics of pairwise comparison (PC) matrices in controlled experiments. About 270 students have been involved in the test exercises and the final pool contained 450 matrices. Our team conducted experiments with matrices of different size obtained from different types of MADM problems. The matrix elements have been generated by different questioning orders, too. The cases have been divided into 18 subgroups according to the key factors to be analyzed. The testing environment made it possible to analyze the dynamics of inconsistency as the number of elements increased in a given case. Various types of inconsistency indices have been applied. The consequent behavior of the decision maker has also been analyzed in case of incomplete matrices using indicators to measure the deviation from the final ranking of alternatives and from the final score vector.

Súlyok meghatározása páros összehasonlítás mátrixok legkisebb négyzetes közelítése alapján

A páros összehasonlítások módszere a többszempontú döntési feladatok megoldásának egy lehetséges eszköze mind a szempontsúlyok meghatározásában, mind az alternatívák értékelésében. A szempontokat páronként összehasonlítva, fontosságaiknak a döntéshozó által megítélt arányait mátrixba rendezve a feladat a súlyvektor meghatározása úgy, hogy annak komponensei valamilyen értelemben jól illeszkedjenek a döntéshozó által megadott értékekhez. A páros összehasonlítás mátrixból a súlyok kiszámítására leggyakrabban használt sajátvektor módszer (Analytic Hierarchy Process) mellett számos távolságminimalizáló módszer is létezik. Ezek egyike a legkisebb négyzetek módszere, melynek megoldása nemlineáris, nemkonvex függvény feltételes optimalizálását jelenti. A cikkben olyan módszereket mutatunk be a páros összehasonlítás mátrixok legkisebb négyzetes becslésére, amelyek a célfüggvény összes lokális és globális minimumhelyének meghatározására alkalmasak.

Többszempontú részvételi döntések a fenntarthatósági értékelésekben. A legnépszerűbb módszerek összehasonlítása

Egyes alternatívák, forgatókönyvek, technológiák stb. fenntarthatóságának értékelése – definíciószerűen többdimenziós probléma. A megfelelő alternatíva kiválasztásánál ugyanis a döntéshozóknak egyszerre kell figyelembe venniük környezetvédelmi, gazdasági és társadalmi szempontokat. Az ilyen döntéseket támogathatják többszempontú döntéshozatali modellek. A tanulmány hét többszempontú döntési módszertan (MAU, AHP, ELECTRE, PROMETHEE, REGIME, NAIADE és ideális-referencia pont) alkalmazhatóságát vizsgálja részvételi körülmények között. Az utóbbi évek e témában publikált esettanulmányait áttekintve megállapítható, hogy egyik módszer sem dominálja a többit, azok különböző feltételek mellett eltérő sikerrel használhatók. Ennek ellenére a különböző technikák kombinációjával előállíthatunk olyan eljárásokat, melyekkel az egyes módszerek előnyeit még jobban kiaknázhatjuk. ________ Measuring and comparing the sustainability of certain actions, scenarios, technologies, etc. – by definition – is a multidimensional problem. Decision makers must consider environmental, economic and social aspects when choosing an alternative course of action. Such decisions can be aided by multi-criteria decision analysis (MCDA). In this paper participatory seven different MCDA methodologies are investigated (MAU, the Analytic Hierarchic Process (AHP), the ELECTRE, PROMETHEE, REGIME, and NAIADE methods and the “Ideal and reference point” approaches). It is based on a series of reports, in which more than 30 real world case studies focusing on participatory MCDA were reviewed. It is emphasized that there is no “best” choice from the list of MCDA techniques, but some methods fit certain decision problems more than others. However, with the combination of these methodologies some complementary benefits of the different techniques can be exploited.

Több szempontú részvételi döntések a fenntarthatósági értékelésekben. A legnépszerűbb módszerek összehasonlítása = Participatory multi-criteria decision analysis. A comparison of methodologies

A fenntarthatóság értékelése definíciószerűen többdimenziós probléma. A megfelelő alternatíva, forgatókönyv, eljárás stb. kiválasztásakor ugyanis a döntéshozóknak egyszerre kell figyelembe venniük környezetvédelmi, gazdasági és társadalmi szempontokat. Az ilyen döntéseket alátámaszthatják a több szempontú döntéshozatali modellek. A tanulmány a több szempontú döntési eljárások közül a legfontosabb hétnek az alkalmazhatóságát vizsgálja részvételi körülmények között. Az utóbbi évek e témában publikált esettanulmányainak áttekintésével megállapítható, hogy egyik módszer sem uralja a többit, azok különböző feltételek mellett eltérő sikerrel használhatók. Ennek ellenére a különböző módszerek kombinációjával végrehajthatunk olyan eljárásokat, amelyekkel az egyes módszerek előnyeit még jobban kiaknázhatjuk. ________ Measuring and comparing the sustainability of certain actions, scenarios, technologies, etc. is by definition a multidimensional problem. Decision-makers must consider environmental, economic and social aspects when choosing an alternative course of action. Such decisions can be aided by multi-criteria decision analysis (MCDA). This paper investigates seven different MCDA methodologies: MAU, the Analytic Hierarchic Process (AHP), the ELECTRE, PROMETHEE, REGIME, and NAIADE methods, and "Ideal and reference point" approaches). It is based on a series of reports in which over 30 real-world case studies focusing on participatory MCDA were reviewed. It is stressed, however, that there is no "best" choice in the list of MCDA techniques. Some methods fit certain decision problems better than others. Nonetheless, some complementary benefits of the different techniques can be exploited by combining these methodologies.