On optimal completions of incomplete pairwise comparison matrices

An important variant of a key problem for multi-attribute decision making is considered. We study the extension of the pairwise comparison matrix to the case when only partial information is available: for some pairs no comparison is given. It is natural to define the inconsistency of a partially filled matrix as the inconsistency of its best, completely filled completion. We study here the uniqueness problem of the best completion for two weighting methods, the Eigen-vector Method and the Logarithmic Least Squares Method. In both settings we obtain the same simple graph theoretic characterization of the uniqueness. The optimal completion will be unique if and only if the graph associated with the partially defined matrix is connected. Some numerical experiences are discussed at the end of the paper.

Fogalmak, módszerek. Páros összehasonlításokon alapuló rangsorolási módszerek (Ranking methods based on paired comparisons)

A páronként összehasonlított alternatívák rangsorolásának problémája egyaránt felmerül a szavazáselmélet, a statisztika, a tudománymetria, a pszichológia és a sport területén. A nemzetközi szakirodalom alapján részletesen áttekintjük a megoldási lehetőségeket, bemutatjuk a gyakorlati alkalmazások során fellépő kérdések kezelésének, a valós adatoknak megfelelő matematikai környezet felépítésének módjait. Kiemelten tárgyaljuk a páros összehasonlítási mátrix megadását, az egyes pontozási eljárásokat és azok kapcsolatát. A tanulmány elméleti szempontból vizsgálja a Perron-Frobenius tételen alapuló invariáns, fair bets, PageRank, valamint az irányított gráfok csúcsainak rangsorolásra javasolt internal slackening és pozíciós erő módszereket. A közülük történő választáshoz az axiomatikus megközelítést ajánljuk, ennek keretében bemutatjuk az invariáns és a fair bets eljárások karakterizációját, és kitérünk a módszerek vitatható tulajdonságaira. _____ The ranking of the alternatives or selecting the best one are fundamental issues of social choice theory, statistics, psychology and sport. Different solution concepts, and various mathematical models of applications are reviewed based on the international literature. We are focusing on the de¯nition of paired comparison matrix, on main scoring procedures and their relation. The paper gives a theoretical analysis of the invariant, fair bets and PageRank methods, which are founded on Perron-Frobenius theorem, as well as the internal slackening and positional power procedures used for ranking the nodes of a directed graph. An axiomatic approach is proposed for the choice of an appropriate method. Besides some known characterizations for the invariant and fair bets methods, we also discuss the violation of some properties, meaning their main weakness.

A Kullback-Leibler relatív entrópia függvény alkalmazása páros összehasonlítás mátrix egy prioritásvektora meghatározására (Applying the Kullback-Leibler relative entropy function for determining priorities for the pairwise comparison matrix)

A dolgozatban a döntéselméletben fontos szerepet játszó páros összehasonlítás mátrix prioritásvektorának meghatározására új megközelítést alkalmazunk. Az A páros összehasonlítás mátrix és a prioritásvektor által definiált B konzisztens mátrix közötti eltérést a Kullback-Leibler relatív entrópia-függvény segítségével mérjük. Ezen eltérés minimalizálása teljesen kitöltött mátrix esetében konvex programozási feladathoz vezet, nem teljesen kitöltött mátrix esetében pedig egy fixpont problémához. Az eltérésfüggvényt minimalizáló prioritásvektor egyben azzal a tulajdonsággal is rendelkezik, hogy az A mátrix elemeinek összege és a B mátrix elemeinek összege közötti különbség éppen az eltérésfüggvény minimumának az n-szerese, ahol n a feladat mérete. Így az eltérésfüggvény minimumának értéke két szempontból is lehet alkalmas az A mátrix inkonzisztenciájának a mérésére. _____ In this paper we apply a new approach for determining a priority vector for the pairwise comparison matrix which plays an important role in Decision Theory. The divergence between the pairwise comparison matrix A and the consistent matrix B defined by the priority vector is measured with the help of the Kullback-Leibler relative entropy function. The minimization of this divergence leads to a convex program in case of a complete matrix, leads to a fixed-point problem in case of an incomplete matrix. The priority vector minimizing the divergence also has the property that the difference of the sums of elements of the matrix A and the matrix B is n times the minimum of the divergence function where n is the dimension of the problem. Thus we developed two reasons for considering the value of the minimum of the divergence as a measure of inconsistency of the matrix A.

Projekttervezési módszerek kihívásai a XXI. században (Challenges of the project planning methods in the 21st century)

Több mint száz éve született meg Henry Gantt (Gantt, 1910) sávos ütemterve, Kelley (Kelley, 1961) és Walker (Walker, 1959) is több mint hatvan éve publikálta kritikus út módszerét. Az ezekre épülő költség- és erőforrás- tervezési módszerek vajon alkalmasak-e a ma kihívásaira? Az olvasó ebben a tanulmányban többéves kutatómunka gyümölcsét láthatja. A kutatás során az egyik legfontosabb cél annak vizsgálata volt, hogy a meglévő projekttervezési eszközök mennyiben felelnek meg a mai projektek kihívásainak; hol és milyen területen van szükség e módszerek továbbfejlesztésére, esetleg meghaladására. Ebben a tanulmányban a szerző olyan módszereket mutat be, amelyek messze túlvezetnek bennünket a projekttervezés eddig elsősorban operatív feladatokra szorítkozó módszereitől, és olyan kérdések megválaszolására fordítja figyelmünket, mint pl. milyen tevékenységeket, projekteket valósítsunk meg; melyeket hagyjuk el vagy ütemezzük be egy későbbi projektbe; hogyan rangsoroljuk, priorizáljuk a projektek megvalósítását, fontosságát? ______ Gantt chart (Gantt, 1910) was born by Henry Gantt more than a hundred years ago. Kelley and Walker published their critical planning method more than a 60 years ago (see i.e. Kelley-Walker, 1959). Can we use methods based on network planning methods for the challenges of 21st century? In this paper the author can see the results of the recent researches. In this study with their colleagues he investigated which project planning methods can be used in challenges of the 21st century and where and how to improve them. In these researches new matrix-based project planning methods are specified, where they can deal not only operative but strategic questions: which subprojects/tasks should be completed, how to treat priorities of completion in case of defining logic planning, how to support not only traditional but agile project management approaches.In this paper he introduces a new matrix-based method, which can be used for ranking project or multi project scenarios with different kinds of target functions. The author shows methods that are used in an expert module. He shows how to integrate this expert module into the traditional PMS system.