Coordinated Lot-sizing and Dynamic Prizing under a Supplier All-units Quantity Discount

We consider an economic order quantity model where the supplier offers an all-units quantity discount and a price sensitive customer demand. We compare a decentralized decision framework where selling price and replenishment policy are determined independently to simultaneous decision making. Constant and dynamic pricing are distinguished. We derive structural properties and develop algorithms that determine the optimal pricing and replenishment policy and show how quantity discounts not only influence the purchasing strategy but also the pricing policy. A sensitivity analysis indicates the impact of the fixed-holding cost ratio, the discount policy, and the customers' price sensitivity on the optimal decisions.

Cost Sharing under Uncertainty: An Algorithmic Approach to Cooperative Interval-Valued Games

Recently, Branzei, Dimitrov, and Tijs (2003) introduced cooperative interval-valued games. Among other insights, the notion of an interval core has been coined and proposed as a solution concept for interval-valued games. In this paper we will present a general mathematical programming algorithm which can be applied to find an element in the interval core. As an example, we discuss lot sizing with uncertain demand to provide an application for interval-valued games and to demonstrate how interval core elements can be computed. Also, we reveal that pitfalls exist if interval core elements are computed in a straightforward manner by considering the interval borders separately.

A Column-Generation Approach for a Short-Term Production Planning Problem in Closed-Loop Supply Chains

We present a new model formulation for a multi-product lot-sizing problem with product returns and remanufacturing subject to a capacity constraint. The given external demand of the products has to be satisfied by remanufactured or newly produced goods. The objective is to determine a feasible production plan, which minimizes production, holding, and setup costs. As the LP relaxation of a model formulation based on the well-known CLSP leads to very poor lower bounds, we propose a column-generation approach to determine tighter bounds. The lower bound obtained by column generation can be easily transferred into a feasible solution by a truncated branch-and-bound approach using CPLEX. The results of an extensive numerical study show the high solution quality of the proposed solution approach.

Tribologische Untersuchungen am Förderzahnriemen

Zahnriemenfördersysteme haben auf Grund ihrer wirtschaftlichen und technischen Vorteile beim Transport von Stückgütern ein breites Anwendungsfeld in den unterschiedlichen Bereichen der Industrie gefunden und gewinnen weiterhin an Bedeutung. Die Auslegung der Systeme beschränkt sich gegenwärtig im Wesentlichen auf die Zugstrang- und die Zahnfußfestigkeit des Zahnriemens. Grundlagen der Berechnungen sind oft recht vage Aussagen zur Höhe des Reibwertes zwischen dem Zahnriemen und dessen Stützschiene. Die Erhöhung der Kontakttemperatur durch die eingebrachte Reibleistung wird meist völlig vernachlässigt. In der Praxis wird oftmals auf Erfahrungswerte zurückgegriffen, wobei die Gefahr der Über- bzw. Unterdimensionierung mit erheblichen Auswirkungen auf die Lebensdauer, das Verschleißverhalten und die Betriebssicherheit besteht. 1. Anwendung von Zahnriemenförderern Das Einsatzgebiet der Zahnriemen ist neben der Antriebstechnik in zunehmendem Maße die Fördertechnik, wo diese als Zug- und Tragmittel für den Stückguttransport zur Anwendung kommen. Der Grund dieser Entwicklung lässt sich mit den günstigen Eigenschaften dieser Maschinenelemente erklären. Besonders zu erwähnen sind dabei der geräuscharme Lauf, die geringe Masse und die niedrigen Kosten in Anschaffung und Wartung. Der synchrone Lauf, der mit Zahnriemen wie auch mit Förderketten realisierbar ist, ist ein weiterer wesentlicher Vorteil. Dabei übernehmen die robusten Förderketten den Bereich der Fördertechnik, in dem große Kräfte übertragen werden müssen und stark schmutzintensive Umgebungsbedingungen vorherrschen. Haupteinsatzgebiete der Zahnriemenförderer ist der Bereich der empfindlicheren Güter mit relativ geringen Massen, wobei sich immer mehr abzeichnet, dass auch Einsatzgebiete mit schweren Werkzeugträgern erschlossen werden. Die Transportzahnriemen müssen bei dem Einsatz zahnseitig abgestützt werden, um die Gutmasse aufnehmen zu können. Stückgüter können von Zahnriemen durch Kraft- oder Formschluss transportiert werden. Der Einsatz ist von den technologischen Erfordernissen und der Art des Transportgutes abhängig. Formschluss wird meist über aufgeschweißte Formelemente / Mitnehmer realisiert. Diese Art des Transportes wird verwendet, wenn Teile: • vereinzelt, • genau positioniert, ������ zeitlich exakt getaktet, • über starke Steigungen bis hin zum vertikalen transportiert werden müssen, • bzw. sich gegenseitig nicht berühren dürfen. Abbildung 1: Formschlüssiger Transport mit aufgeschweißten Formelementen Die Art und die Form des auf dem Zahnriemenrücken aufgebrachten Formelementes werden vom Gut selbst und dem Einsatzzweck bestimmt. Eine Vielzahl von verschiedenen Elementen wird von der Industrie standardmäßig angeboten. Bei der kraftschlüssigen Variante können zwei grundlegende Arten unterschieden werden: Zum einen Zahnriemenbeschichtungen mit sehr hohem Reibwert, zum anderen mit sehr niedrigen Reibwerten. Beschichtungen mit sehr hohem Reibwert (z. B. Silikon, PUR-Schaum, Naturkautschuk) eignen sich besonders für Schrägförderer und Abzugsbänder sowie für einfache Positionieraufgaben. Dabei wird eine relative Verschiebung des Gutes zum Zahnriemen durch den hohen Reibwert in der Kontaktzone behindert. Abbildung 2: Abzugsband für biegeschlaffe Flachformkörper z. B. Folie, Textilien Zahnriemenrückenbeschichtungen mit geringen Reibwerten bestehen meist aus Polyamidgewebe und eignen sich besonders gut für den Staubetrieb. Hierbei dient der Zahnriemen selbst als Zwischenspeicher. Bei Bedarf können die Güter freigegeben werden. Dabei muss aber sichergestellt werden, dass auch die Auflagefläche des Fördergutes für einen solchen Einsatzzweck geeignet ist, da es zu einer Relativbewegung zwischen Gut und undZahnriemen kommt. Abbildung 3: Stauförderer Parallelförderer können sowohl als reibschlüssige als auch als formschlüssige Variante ausgeführt werden. Ihr Vorteil liegt darin, dass größere Güter, z. B. Flachglas, Bleche usw. auf zwei oder mehreren Riemen aufliegen und durch die gleiche Geschwindigkeit der synchron angetriebenen Riemen keine Verschiebung des Gutes erfolgt. Würde der Antrieb nicht über Zahnriemen erfolgen, sondern über Flachriemen bzw. Gurte, wäre außerdem ein Zugmittel in der Breite des Fördergutes notwendig. Daraus ergibt sich zusätzlich eine wesentliche Massereduzierung der Zugmittel für den Stückguttransport in der Fördertechnik. Abbildung 4: Parallelförderer für kraftschlüssigen Transport Allen diesen Varianten ist jedoch gemein, dass der Zahnriemen auf einer Stützschiene gleitet und die Normalkraft des Transportgutes in Verbindung mit Riemengeschwindigkeit und Reibwert eine Reibleistung und damit Wärme erzeugt. Zum gegenwärtigen Zeitpunkt fehlen exakte Angaben zu den Reibwerten für die einzelnen Gleitpaarungen. Auch ist eine Veränderung dieser Reibwerte bei Geschwindigkeits-, Temperatur-, und Belastungsänderung ungeklärt. Des Weiteren ist es auch notwendig, die Belastungsgrenzen für die Auslegung von Zahnriemenförderern zu definieren und das Verschleißverhalten zu kennen. Die derzeit üblichen Auslegungskriterien für diese fördertechnischen Anlagen sind Zugstrangfestigkeit und Zahnfußfestigkeit. Dabei bleibt jedoch die Erwärmung des Zugmittels und der Stützschiene durch die eingebrachte Reibleistung und den sich ändernden Reibwert unbeachtet. Insbesondere bei kurzen Förderstrecken mit großen Lasten bzw. hohen Transportgeschwindigkeiten ist die Gefahr von thermischen Überlastungen gegeben, welche zu erhöhtem Verschleiß bzw. zum Totalausfall der Anlage führen kann. Soll dieses zusätzliche Auslegungskriterium angewandt werden, sind Erkenntnisse aus den Gebieten der Tribologie und der Wärmelehre/Thermodynamik anzuwenden. Zum einen ist eine Bestimmung der entstehenden Reibleistung notwendig und zum anderen der abgeführte Wärmestrom zu ermitteln. Die sehr komplexen Zusammenhänge werden durch konstruktive und technologische Größen beschrieben, welche sich wiederum gegenseitig beeinflussen. 2. Reibwerte in der Gleitpaarung In DIN ISO 7148-2 sind die Besonderheiten bei der tribologischen Prüfung von polymeren Werkstoffen beschrieben. Dabei wird explizit darauf hingewiesen, dass die Prüfanordnung möglichst der praktischen Anwendung entsprechen sollte, um die Übertragbarkeit der Prüfergebnisse zu gewährleisten. Deshalb wurde ein Versuchsstand konzipiert, der die Kontaktverhältnisse von Zahnriemen und Stützschienen möglichst real abbildet (Abb.5). Abbildung 5: Schematischer Aufbau des Versuchsstandes Für die Untersuchung der Zahnriemenpaarung wird der Zahnriemen mit der Zahnseite nach oben aufgespannt. Auf die nach oben zeigende Zahnseite wird eine planparallele Platte des jeweiligen Gleitschienenmaterials aufgelegt. Die Flächenpressung der Paarung lässt sich über aufgebrachte Massestücke variieren und die Reibkraft über den Kraftsensor direkt über eine Schnittstelle zur Aufzeichnung an einen Rechner weiterleiten. Zur Ermittlung der Kontakttemperaturen wurden Bohrungen in das Gleitschienenmaterial eingebracht, die unmittelbar bis an die Oberfläche der Kontaktfläche reichen und mit Thermoelementen bestückt sind. Die Abstützung des Zahnriemens erfolgt auf einem Flachriemen, der wiederum auf einer Rollenbahn abrollt. Dadurch wird ein zusätzlicher Wärmeeintrag durch eine gleitende Abstützung vermieden. Die Gleitgeschwindigkeit und Flächenpressung auf die Paarung werden in Stufen variiert. Als Versuchszahnriemen dienten PU-Riemen mit und ohne zahnseitiger Polyamidbeschichtung der Abmessung 1250 x 25 T10. Abbildung 6: Reibwertmessungen an PU-Zahnriemen ohne Beschichtung (Kurzzeitversuche) Die ermittelten Messwerte der Gleitreibungszahl µ für verschiedene PU-Zahnriemen – Stützschienenkombinationen sind in Abbildung 6 dargestellt. Die schraffierten Balken geben die Reibungszahlempfehlungen von Herstellern sowie aus Literaturquellen für diese Paarungen wieder. Oft wird jedoch darauf hingewiesen, dass für einen konkreten Anwendungsfall eigene Untersuchungen durchzuführen sind. Die grauen Balken geben die bei einer Versuchsdauer von bis zu 8 Stunden ermittelten Reibungszahlen wieder. Dabei wurden sowohl die Flächenpressungen als auch die Gleitgeschwindigkeiten variiert. Bei einigen Paarungen (Holz (Abb.7)) konnte ein sehr starker abrasiver Verschleiß am Zahnriemen festgestellt werden. Diese Werkstoffkombinationen sind nur für geringe Belastungen geeignet. Abbildung 7: Oberfläche PU-Zahnriemen, verschlissen an Schichtholz Die Paarungen in Verbindung mit Stahl- bzw. Aluminiumstützschienen neigen zu stick-slip- Erscheinungen verbunden mit starker Geräuschentwicklung. Aufgrund der relativ hohen Reibungszahlen wurden keine Dauerversuche an unbeschichteten PU-Zahnriemen durchgeführt. Für die weiteren Untersuchungen wurden ausschließlich polyamidbeschichtete Zahnriemen verwendet. In Abbildung 8 werden die Ergebnisse der Reibwertuntersuchungen an PAZ-Zahnriemen (Polyamidgewebebeschichtung auf der Zahnseite) dargestellt. Die schraffierten Balken stellen wiederum die bisherigen Empfehlungen dar, die grauen Balken die ermittelten Messwerte im Kurzzeitversuch (bis 8 Stunden) und die schwarzen Balken die Messwerte im Langzeitversuch (zwischen 7 und teilweise bis zu 100 Tagen). Hier ist die Übereinstimmung der Reibungszahlen zwischen Empfehlungen und Kurzzeitmesswerten sehr gut. Der deutliche Anstieg der Werte im weiteren Verlauf der Untersuchungen deutet daraufhin, dass der tribologische Einlauf innerhalb von 8 Stunden meist noch nicht abgeschlossen ist und dass nach fortlaufender Belastung weitere tribologische Phänomene die Kontaktverhältnisse ändern. Abbildung 8: Reibungszahlen an polyamidbeschichteten PU-Zahnriemen (PAZ) in Verbindung mit verschiedenen Gleitschienen Bei den Paarungen mit einer Stützschiene aus Stahl, Aluminium oder Schichtholz konnte eine polymere Filmbildung auf der Gleitfläche beobachtet werden. In Abbildung 9 und 10 ist die Entwicklung am Beispiel von Stahlproben zu sehen. Gemeinsam bei diesen Paarungen ist die fortschreitende Schichtbildung, verbunden mit einer Reibwerterhöhung. Der Verschleiß der Gewebeschicht am Zahnriemen setzt bei größeren Reibungszahlen ein, was zu deren weiterer Erhöhung führt Ein weiterer Einsatz führt zur vollständigen Abtragung der Gewebeschicht und damit zu einer neuen tribologischen Paarung PU-Zahnriemen ��� Polymerschicht. Abbildung 9: beginnende polymere Ablagerung auf Stahlprobe Rz28 Abbildung 10: nahezu geschlossener polymerer Film auf Stahlprobe Rz28 Am Beispiel der Paarung PAZ Zahnriemen – Stahlstützschiene wird die Entwicklung der Reibungszahl über die Zeit des Gleitkontaktes in Abbildung 12 dargestellt. Dabei wurde die Oberflächenrauigkeit (Rz 6,3; Rz 28) durch entsprechende Bearbeitungen variiert. Der relativ starke Anstieg an der Paarung Rz 6,3 kann zum einen auf die hohe Gleitgeschwindigkeit und den damit entsprechend langen Gleitweg zurückgeführt werden, zum anderen auf den höheren adhäsiven Anteil durch die relativ glatte Oberfläche und der damit erhöhten Kontaktfläche. Abbildung 11 zeigt einen verschlissenen Zahnkopf. Abbildung 9: Verschlissene Zahnkopfflanke, PAZ - Stahl Abbildung 10: Änderung der Reibungszahl im zeitlichen Verlauf an der Paarung ZR PA – Stahl Die Erhöhung der Reibungszahlen an der Paarung PE UHMW - polyamidbeschichteter Zahnriemen kann nicht unmittelbar auf direkte Verschleißerscheinungen zurückgeführt werden. Sowohl die Gleitfläche als auch der Zahnriemen weisen auch nach längerem Kontakt keine sichtbaren Schäden auf: Es bildet sich kein polymerer Film auf der PE- UHMW- Gleitfläche heraus. In Abbildung 11 wird die Änderung der Reibungszahl dargestellt. Es wurden Paarungen mit steigendem p•v-Wert gewählt. Mit höheren Werten für die eingebrachte Leistung pro Flächeneinheit ist ein schnellerer Anstieg der Reibungszahlen zu verzeichnen. Abbildung 11: Änderung der Reibungszahl im zeitlichen Verlauf an der Paarung ZR PAZ – PE UHMW Die Erhöhung der Reibwerte zieht nicht nur eine Steigerung der Antriebsleistung nach sich, sondern auch eine Zunahme der Reibleistung und damit einen Anstieg der Kontakttemperatur. Hat diese einen bestimmten Wert erreicht, kommt es zum Aufschmelzen der Gleitflächen und damit zum Totalausfall der Paarung (Abbildungen 14, 15, 16). Ebenfalls tritt durch die Reibwerterhöhung eine höhere Belastung des Zugstranges und der Zahnfüße im Einlauf des Zahnriemens auf. Für eine konstruktive Auslegung entsprechender Zahnriemenförderer ist dies durch entsprechende Sicherheitsfaktoren zu berücksichtigen. Abbildung 12: Aufgeschmolzene PE-Laufschiene, 2-fach vergrößert Abbildung 13: geschmolzene Faserbündel 20- fach Abbildung 14: zerstörtes Gewebe in Folge thermischer Überlastung 3. Thermische Zusammenhänge Die Temperaturerhöhung in der Wirkstelle zwischen Zahnriemen und Stützschiene kann im stationären Zustand in der vereinfachten Form: p Flächenpressung v Gleitgeschwindigkeit µ Reibungszahl A Kontaktfläche / jeweilige Oberfläche a Wärmeübergangskoeffizient l Wärmeleitwert Abbildung 15: Kontaktmodell dargestellt werden. Dabei werden verschiedene Vereinfachungen angenommen: • Reibleistung wird auf die gesamte Fläche gleichmäßig verteilt, • Wärmestrom erfolgt nur in Normalenrichtung zur Gleitfläche, • konstante Reibleistung über die gesamte Zeit, • keine Ableitung des Wärmestromes über Stirn- und Seitenflächen, • eingeschwungener Gleichgewichtszustand der Temperaturverteilung, • gleiche Temperatur über der jeweiligen Oberfläche, • gleiche Strömungsverhältnisse und -bedingungen an der jeweiligen Oberfläche, • konstante - und - Werte über der gesamten Fläche. Der Temperaturverlauf für verschiedene Materialpaarungen ist in Abbildung 16 dargestellt. Der unterschiedliche Verlauf der Kurven kann mit den verschiedenen eingebrachten Reibleistungen durch sich unterschiedlich einstellende Reibungszahlen und durch die unterschiedlichen Wärmeleitwerte und Wärmekapazitäten der Gleitschienen erklärt werden. Ist eine stationäre Temperatur erreicht, so gilt vereinfacht die Vorstellung von Abbildung 15. Abbildung 16: thermischer Einlauf verschiedener Stützschienenmaterialien Die sich einstellende Gleitflächentemperatur ist im Wesentlichen von den in Abbildung 17 dargestellten Einflüssen abhängig. Da die Kontakttemperatur die Grenztemperatur (ca. 65°C) nicht überschreiten darf, um eine thermische Schädigung zu vermeiden, sind die entsprechenden Einflussgrößen zweckmäßig zu wählen. Die Parameter Gleitgeschwindigkeit und Flächenpressung sind meist durch die technologischen Erfordernisse vorgegeben, die Reibungszahl stellt sich entsprechend der tribologischen Paarung ein und die Wärmeleitfähigkeit ist ein kaum zu verändernder Stoffwert. Die Einflussmaßnahmen erstrecken sich also meist auf die Schichtstärke s der Abstützung und den Wärmeübergang zur Umgebung. Abbildung 17: Technologische und konstruktive Einflüsse auf die Gleitflächentemperatur in der Wirkstelle 4. Zusammenfassung Die Kenntnis der sich nach einer entsprechenden Einlaufphase einstellenden Reibungszahlen für verschiedene Zahnriemen – Stützschienenkombinationen ist für die Anwender und Entwickler wichtig, da damit eine optimale Auslegung von Zahnriemenförderern erfolgen kann. Diese optimale Auslegung realisiert dann in der Anwendung eine ökonomische Lebensdauer bei verbesserter konstruktiver Auslegung. Die bisher weitgehend unbeachtete Temperaturerhöhung in der Gleitschienen – Zahnriemenkombination durch die eingebrachte Reibleistung sollte zukünftig ein weiteres Auslegungskriterium darstellen. Eine erste Annäherung an dieses Problem kann durch die Form: p Flächenpressung v Gleitgeschwindigkeit µ Reibungszahl A Kontaktfläche / jeweilige Oberfläche K Wärmeabgabekoeffizient DT max. zul. Temperaturerhöhung K= f (µ, p, v, Gleitschienenmaterial, Zahnriemenausführung, Maschinenkonstante…) gezeigt werden. Für die Ermittlung des Wärmeabgabekoeffizienten sind entsprechende Untersuchungen durchzuführen und Zusammenhänge zu ermitteln. Bestimmte Praxiseinflüsse (Umgebungstemperaturschwankungen, Verschmutzung, Stöße, Montagefehler) sind in die bisherigen Untersuchungen noch nicht eingeflossen, sollten aber nicht unbeachtet bleiben. Durch eine vorteilhafte Auslegung der Förderanlagen kann eine höhere Zuverlässigkeit bei geringeren Wechselintervallen und niedrigeren Kosten für den Betrieb erreicht werden.

Ansätze zum Management der Additive Manufacturing Supply Chain

Da sich Additive Manufacturing (AM) von traditionellen Produktionsverfahren unterscheidet, entstehen neue Möglichkeiten im Produktdesign und im Supply Chain Setup. Die Auswirkungen der Aufhebung traditionellen Restriktionen im Produktdesign werden unter dem Begriff „Design for Additive Manufacturing“ intensiv diskutiert. In gleicher Weise werden durch AM Restriktionen im traditionellen Supply Chain Setup aufgehoben. Insbesondere sind die folgenden Verbesserungen möglich: Reduktion von Losgrössen und Lieferzeiten, bedarfsgerechte Produktion auf Abruf, dezentrale Produktion, Customization auf Ebene Bauteil und kontinuierliche Weiterentwicklung von Bauteilen. Viele Firmen investieren nicht selbst in die AM Technologien, sondern kaufen Bauteile bei Lieferanten. Um das Potential der AM Supply Chain mit Lieferanten umzusetzen, entstehen die folgenden Anforderungen an AM Einkaufsprozesse. Erstens muss der Aufwand pro Bestellung reduziert werden. Zweitens brauchen AM Nutzer einen direkten Zugang zu den Lieferanten ohne Umweg über die Einkaufsabteilung. Drittens müssen geeignete AM Lieferanten einfach identifiziert werden können. Viertens muss der Wechsel von Lieferanten mit möglichst geringem Aufwand möglich sein. Ein mögliche Lösung sind AM spezifische E-Procurement System um diese Anforderungen zu erfüllen