Black-scholes type equations

In this work we are concerned with the analysis and numerical solution of Black-Scholes type equations arising in the modeling of incomplete financial markets and an inverse problem of determining the local volatility function in a generalized Black-Scholes model from observed option prices. In the first chapter a fully nonlinear Black-Scholes equation which models transaction costs arising in option pricing is discretized by a new high order compact scheme. The compact scheme is proved to be unconditionally stable and non-oscillatory and is very efficient compared to classical schemes. Moreover, it is shown that the finite difference solution converges locally uniformly to the unique viscosity solution of the continuous equation. In the next chapter we turn to the calibration problem of computing local volatility functions from market data in a generalized Black-Scholes setting. We follow an optimal control approach in a Lagrangian framework. We show the existence of a global solution and study first- and second-order optimality conditions. Furthermore, we propose an algorithm that is based on a globalized sequential quadratic programming method and a primal-dual active set strategy, and present numerical results. In the last chapter we consider a quasilinear parabolic equation with quadratic gradient terms, which arises in the modeling of an optimal portfolio in incomplete markets. The existence of weak solutions is shown by considering a sequence of approximate solutions. The main difficulty of the proof is to infer the strong convergence of the sequence. Furthermore, we prove the uniqueness of weak solutions under a smallness condition on the derivatives of the covariance matrices with respect to the solution, but without additional regularity assumptions on the solution. The results are illustrated by a numerical example.

Quantum gravity effects in rotating black hole spacetimes

The aim of this work is to explore, within the framework of the presumably asymptotically safe Quantum Einstein Gravity, quantum corrections to black hole spacetimes, in particular in the case of rotating black holes. We have analysed this problem by exploiting the scale dependent Newton s constant implied by the renormalization group equation for the effective average action, and introducing an appropriate "cutoff identification" which relates the renormalization scale to the geometry of the spacetime manifold. We used these two ingredients in order to "renormalization group improve" the classical Kerr metric that describes the spacetime generated by a rotating black hole. We have focused our investigation on four basic subjects of black hole physics. The main results related to these topics can be summarized as follows. Concerning the critical surfaces, i.e. horizons and static limit surfaces, the improvement leads to a smooth deformation of the classical critical surfaces. Their number remains unchanged. In relation to the Penrose process for energy extraction from black holes, we have found that there exists a non-trivial correlation between regions of negative energy states in the phase space of rotating test particles and configurations of critical surfaces of the black hole. As for the vacuum energy-momentum tensor and the energy conditions we have shown that no model with "normal" matter, in the sense of matter fulfilling the usual energy conditions, can simulate the quantum fluctuations described by the improved Kerr spacetime that we have derived. Finally, in the context of black hole thermodynamics, we have performed calculations of the mass and angular momentum of the improved Kerr black hole, applying the standard Komar integrals. The results reflect the antiscreening character of the quantum fluctuations of the gravitational field. Furthermore we calculated approximations to the entropy and the temperature of the improved Kerr black hole to leading order in the angular momentum. More generally we have proven that the temperature can no longer be proportional to the surface gravity if an entropy-like state function is to exist.

Die Rolle der Marginalisierungspolitik im Sudan – Beispiel: die Region Darfur

Im Rahmen dieser Arbeit wurde untersucht, welche Rolle die Marginalisierungspolitikrnin Sudan in Bezug auf den Staatsbildungs- und Demokratisierungsprozessrnspielt. Dabei wurde der Schwerpunkt auf die Region Darfur gelegt.rnZu Beginn der Arbeit werden die besonderen Verhältnisse im Sudan beleuchtet,rndie geprägt sind durch eine jahrzehntelange Kolonialpolitik, die auch nach der Unabhängigkeitrndes Sudans durch die herrschenden Eliten im eigenen Land gegenüberrnden peripheren Gebieten weitergeführt worden ist.rnEs wurde aufgezeigt, dass Marginalisierungspolitik unterschiedliche Ursachen hat.rnIm Sudan dient diese Politik dem Machterhalt bestimmter Gruppen und damit verbundenrnauch Vorteilen in allen Bereichen der Politik, Wirtschaft und Gesellschaft.rnDer Autor hat dargelegt, in welchen Formen Marginalisierung stattfindet. Beispielerndafür sind:rn• eine Sprachpolitik, die neben Arabisch keine andere Sprache zulässtrn• eine gezielte Politik der Vernachlässigung der peripheren Gebiete, die sichrnin einer fehlenden Infrastruktur und Bildung zeigt.rn• Erschwerter Zugang zu öffentlichen Ämtern, je nachdem aus welcher ethnischenrnGruppe jemand kommtrnDie Auswirkungen dieser Marginalisierungspolitik sind Verhinderung von Entwicklung,rnArmut, innerstaatliche Migration, Bürgerkriege und schließlich der Zerfall desrnStaates.rnAm Beispiel von der Region Darfur untermauert der Autor nochmals diese Vernachlässigungspolitikrnund begründet damit den Widerstand von Rebellengruppenrnseit 2003. Als wichtige Akteure werden die Justice und Equality Movement (JEM)rnund Sudan Liberation Movement/Army (SLA/M) mit ihren Zielen und Aktivitätenrnvorgestellt.rn3rnAusführlich geht der Autor auf die Reaktion dieses Widerstandes von Seiten derrnsudanesischen Regierung und den mit ihr verbündeten arabischen Milizen ein, dierngeprägt ist von Menschenrechtsverletzungen und dem Ziel, die Zivilbevölkerungrnaus dem Darfur zu vertreiben und anstatt dessen arabisch-stämmige Menschenrnanzusiedeln.rnNach der Analyse der Marginalisierungspolitik im Sudan fasst der Autor nochmalsrndie Hauptproblemfelder zusammen. Diese sind die Frage der Religion und Staatenbildungrnsowie die Frage, in welcher Form eine Demokratisierung Sudans stattfindenrnkann.rnEr stellt mögliche Ansätze zur Transformation des politischen Systems vor, um diernMarginalisierungspolitik zu beenden und das Land zu stabilisieren. Diese Transformationrnmuss in mehreren Phasen erfolgen. Als erstes muss das diktatorischernRegime abgelöst werden, um im Anschluss daran, die Demokratie zu institutionalisierenrnund schließlich zu konsolidieren.rnWenn dieser Weg nicht beschritten wird, sieht der Autor keine Zukunft für eine sudanesischernEinheit, in der alle Ethnien gleichberechtigt in allen Bereichen wie Politik,rnWirtschaft und Gesellschaft vertreten sein müssen. In diesem Fall wird esrnzwangsläufig zu einem Zerfall des Landes kommen.