On the geometry of the spin-statistics connection in quantum mechanics

The Spin-Statistics theorem states that the statistics of a system of identical particles is determined by their spin: Particles of integer spin are Bosons (i.e. obey Bose-Einstein statistics), whereas particles of half-integer spin are Fermions (i.e. obey Fermi-Dirac statistics). Since the original proof by Fierz and Pauli, it has been known that the connection between Spin and Statistics follows from the general principles of relativistic Quantum Field Theory. In spite of this, there are different approaches to Spin-Statistics and it is not clear whether the theorem holds under assumptions that are different, and even less restrictive, than the usual ones (e.g. Lorentz-covariance). Additionally, in Quantum Mechanics there is a deep relation between indistinguishabilty and the geometry of the configuration space. This is clearly illustrated by Gibbs' paradox. Therefore, for many years efforts have been made in order to find a geometric proof of the connection between Spin and Statistics. Recently, various proposals have been put forward, in which an attempt is made to derive the Spin-Statistics connection from assumptions different from the ones used in the relativistic, quantum field theoretic proofs. Among these, there is the one due to Berry and Robbins (BR), based on the postulation of a certain single-valuedness condition, that has caused a renewed interest in the problem. In the present thesis, we consider the problem of indistinguishability in Quantum Mechanics from a geometric-algebraic point of view. An approach is developed to study configuration spaces Q having a finite fundamental group, that allows us to describe different geometric structures of Q in terms of spaces of functions on the universal cover of Q. In particular, it is shown that the space of complex continuous functions over the universal cover of Q admits a decomposition into C(Q)-submodules, labelled by the irreducible representations of the fundamental group of Q, that can be interpreted as the spaces of sections of certain flat vector bundles over Q. With this technique, various results pertaining to the problem of quantum indistinguishability are reproduced in a clear and systematic way. Our method is also used in order to give a global formulation of the BR construction. As a result of this analysis, it is found that the single-valuedness condition of BR is inconsistent. Additionally, a proposal aiming at establishing the Fermi-Bose alternative, within our approach, is made.

Phylogeny and historical biogeography of the Australian Camphorosmeae (Chenopodiaceae)

Diese Studie befasst sich mit der Phylogenie und Biogeographie der australischen Camphorosmeae, die ein wichtiges Element der Flora arider Gebiete Australiens sind. Die molekularen Phylogenien wurden mit Hilfe Bayes’scher Statistik und „maximum likelihood”berechnet. Um das Alter der Gruppe und interner Linien abzuschätzen, wurden die Methoden „Nonparametric rate smoothing” und “penalized likelihood” benutzt. Morphologische Merkmale wurden nach Kriterien der Parsimonie auf den molekularen Baum aufgetragen. „Brooks parsimony analysis”, „cladistic analysis of distributions and endemism”, „dispersal-vicariance analysis”,„ancestral area analysis” und „weighted ancestral area analysis” wurden angewandt, um Abfolge und Richtungen der Ausbreitung der Gruppe in Australien zu analysieren.Von sieben getesteten Markern hatten nur die nukleären ETS und ITS genügend Variation für die phylogenetische Analyse der Camphorosmeae. Die plastidären Marker trnL-trnF spacer,trnP-psaJ spacer, rpS16 intron, rpL16 intron und trnS-trnG spacer zeigten kein ausreichendes phylogenetisches Signal. Die gefundenen phylogenetischen Hypothesen widersprechen der jetzigen Taxonomie der Gruppe. Neobassia, Threlkeldia, Osteocarpum und Enchylaena sollten den Gattungen Sclerolaena bzw. Maireana zugeordnet werden. Die kladistische Analyse der Fruchtanhängsel unterstützt die taxonomischen Ergebnisse der auf DNA basierenden Phylogenie. Allerdings hat die Behaarung, die bei anderen Gruppen der Chenopodiaceae als wichtiges taxonomisches Merkmal herangezogen wird, die Phylogenie nicht unterstützt. Vorfahren der heutigen Camphorosmeen sind im Miozän, vor ca. 8-14 Millionen Jahren, durch Fernausbreitung vermutlich aus Asien in Australien eingewandert. Anfängliche Diversifizierung fand während des späten Miozäns bis in das frühe Pliozän vor ca. 4-7 Millionen Jahren statt. Am Ende des Pliozäns existierten schon 45% - 72% der Abstammungslinien der jetzigen Camphorosmeen. Dies weist auf eine schnelle Ausbreitung hin. Das Alter stimmt mit dem Einsetzen der Aridisierung Australiens überein, und deutet darauf hin, dass die Ausbreitung der ariden Gebiete eine große Rolle bei der Diversifizierung der Gruppe spielte. Die Vorfahren der australischen Camphorosmeae scheinen die Südküste Australiens zuerst besiedeln zu haben. Dies geschah vor dem Einsetzen der Aridisierung des Kontinents. Die anschließende Ausbreitung erfolgte in verschiedene Richtungen und folgte der fortschreitenden Austrocknung im späten Tertiär und im ganzen Quartär. Durch ihre Anpassung an Trockenheit ist der Erfolg der Camphorosmeae in den ariden Gebieten zu erklären.Die Abwesenheit von klaren phylogenetischen und artspezifischen Signalen zwischen Arten der australischen Camphorosmeae ist auf das junge Alter und die schnelle Diversifizierung der Gruppe zurückzuführen, welche die Häufung von Mutationen und eine starke morphologische Differenzierung nicht zugelassen haben.