Spectral theory of differential operators on finite metric graphs and on bounded domains

Die vorliegende Arbeit widmet sich der Spektraltheorie von Differentialoperatoren auf metrischen Graphen und von indefiniten Differentialoperatoren auf beschränkten Gebieten. Sie besteht aus zwei Teilen. Im Ersten werden endliche, nicht notwendigerweise kompakte, metrische Graphen und die Hilberträume von quadratintegrierbaren Funktionen auf diesen betrachtet. Alle quasi-m-akkretiven Laplaceoperatoren auf solchen Graphen werden charakterisiert, und Abschätzungen an die negativen Eigenwerte selbstadjungierter Laplaceoperatoren werden hergeleitet. Weiterhin wird die Wohlgestelltheit eines gemischten Diffusions- und Transportproblems auf kompakten Graphen durch die Anwendung von Halbgruppenmethoden untersucht. Eine Verallgemeinerung des indefiniten Operators $-tfrac{d}{dx}sgn(x)tfrac{d}{dx}$ von Intervallen auf metrische Graphen wird eingeführt. Die Spektral- und Streutheorie der selbstadjungierten Realisierungen wird detailliert besprochen. Im zweiten Teil der Arbeit werden Operatoren untersucht, die mit indefiniten Formen der Art $langlegrad v, A(cdot)grad urangle$ mit $u,vin H_0^1(Omega)subset L^2(Omega)$ und $OmegasubsetR^d$ beschränkt, assoziiert sind. Das Eigenwertverhalten entspricht in Dimension $d=1$ einer verallgemeinerten Weylschen Asymptotik und für $dgeq 2$ werden Abschätzungen an die Eigenwerte bewiesen. Die Frage, wann indefinite Formmethoden für Dimensionen $dgeq 2$ anwendbar sind, bleibt offen und wird diskutiert.

Observable stages and scheduling for alveolar remodeling following antemortem tooth loss

Zahnverlust zu Lebzeiten („antemortem tooth loss“, AMTL) kann als Folge von Zahnerkrankungen, Traumata, Zahnextraktionen oder extremer kontinuierlicher Eruption sowie als Begleiterscheinung fortgeschrittener Stadien von Skorbut oder Lepra auftreten. Nach dem Zahnverlust setzt die Wundheilung als Sekundärheilung ein, während der sich die Alveole mit Blut füllt und sich ein Koagulum bildet. Anschließend erfolgt dessen Umwandlung in Knochengewebe und schließlich verstreicht die Alveole derart, dass sie makroskopisch nicht mehr erkannt werden kann. Der Zeitrahmen der knöchernen Konsolidierung des Kieferkammes ist im Detail wenig erforscht. Aufgrund des gehäuften Auftretens von AMTL in menschlichen Populationen, ist die Erarbeitung eines Zeitfensters, mit dessen Hilfe durch makroskopische Beobachtung des Knochens die Zeitspanne seit dem Zahnverlust („time since tooth loss“, TSL) ermittelt werden kann, insbesondere im archäologischen Kontext äußerst wertvoll. Solch ein Zeitschema mit Angaben über die Variabilität der zeitlichen Abläufe bei den Heilungsvorgängen kann nicht nur in der Osteologie, sondern auch in der Forensik, der allgemeinen Zahnheilkunde und der Implantologie nutzbringend angewandt werden. rnrnNach dem Verlust eines Zahnes wird das Zahnfach in der Regel durch ein Koagulum aufgefüllt. Das sich bildende Gewebe wird rasch in noch unreifen Knochen umgewandelt, welcher den Kieferknochen und auch die angrenzenden Zähne stabilisiert. Nach seiner Ausreifung passt sich das Gewebe schließlich dem umgebenden Knochen an. Das Erscheinungsbild des Zahnfaches während dieses Vorgangs durchläuft verschiedene Stadien, welche in der vorliegenden Studie anhand von klinischen Röntgenaufnahmen rezenter Patienten sowie durch Untersuchungen an archäologischen Skelettserien identifiziert wurden. Die Heilungsvorgänge im Zahnfach können in eine prä-ossale Phase (innerhalb einer Woche nach Zahnverlust), eine Verknöcherungsphase (etwa 14 Wochen nach Zahnverlust) und eine ossifizierte bzw. komplett verheilte Phase (mindestens 29 Wochen nach Zahnverlust) eingeteilt werden. Etliche Faktoren – wie etwa die Resorption des Interdentalseptums, der Zustand des Alveolarknochens oder das Individualgeschlecht – können den normalen Heilungsprozess signifikant beschleunigen oder hemmen und so Unterschiede von bis zu 19 Wochen verursachen. Weitere Variablen wirkten sich nicht signifikant auf den zeitlichen Rahmen des Heilungsprozesse aus. Relevante Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Variabeln wurden ungeachtet der Alveolenauffüllung ebenfalls getestet. Gruppen von unabhängigen Variabeln wurden im Hinblick auf Auffüllungsgrad und TSL in multivariablen Modellen untersucht. Mit Hilfe dieser Ergebnisse ist eine grobe Einschätzung der Zeitspanne nach einem Zahnverlust in Wochen möglich, wobei die Einbeziehung weiterer Parameter eine höhere Präzision ermöglicht. rnrnObwohl verschiedene dentale Pathologien in dieser Studie berücksichtigt wurden, sollten zukünftige Untersuchungen genauer auf deren potenzielle Einflussnahme auf den alveolaren Heilungsprozess eingehen. Der kausale Zusammenhang einiger Variablen (wie z. B. Anwesenheit von Nachbarzähnen oder zahnmedizinische Behandlungen), welche die Geschwindigkeit der Heilungsrate beeinflussen, wäre von Bedeutung für zukünftige Untersuchungen des oralen Knochengewebes. Klinische Vergleichsstudien an forensischen Serien mit bekannter TSL oder an einer sich am Anfang des Heilungsprozesses befindlichen klinischen Serie könnten eine Bekräftigung dieser Ergebnisse liefern.

Elektromagnetische Pionproduktion in manifest Lorentz-invarianter baryonischer chiraler Störungstheorie

In dieser Arbeit wurde die elektromagnetische Pionproduktion unter der Annahme der Isospinsymmetrie der starken Wechselwirkung im Rahmen der manifest Lorentz-invarianten chiralen Störungstheorie in einer Einschleifenrechnung bis zur Ordnung vier untersucht. Dazu wurden auf der Grundlage des Mathematica-Pakets FeynCalc Algorithmen zur Berechnung der Pionproduktionsamplitude entwickelt. Bis einschließlich der Ordnung vier tragen insgesamt 105 Feynmandiagramme bei, die sich in 20 Baumdiagramme und 85 Schleifendiagramme unterteilen lassen. Von den 20 Baumdiagrammen wiederum sind 16 als Polterme und vier als Kontaktgraphen zu klassifizieren; bei den Schleifendiagrammen tragen 50 Diagramme ab der dritten Ordnung und 35 Diagramme ab der vierten Ordnung bei. In der Einphotonaustauschnäherung lässt sich die Pionproduktionsamplitude als ein Produkt des Polarisationsvektors des (virtuellen) Photons und des Übergangsstrommatrixelements parametrisieren, wobei letzteres alle Abhängigkeiten der starken Wechselwirkung beinhaltet und wo somit die chirale Störungstheorie ihren Eingang findet. Der Polarisationsvektor hingegen hängt von dem leptonischen Vertex und dem Photonpropagator ab und ist aus der QED bekannt. Weiterhin lässt sich das Übergangsstrommatrixelement in sechs eichinvariante Amplituden zerlegen, die sich im Rahmen der Isospinsymmetrie jeweils wiederum in drei Isospinamplituden zerlegen lassen. Linearkombinationen dieser Isospinamplituden erlauben letztlich die Beschreibung der physikalischen Amplituden. Die in dieser Rechnung auftretenden Einschleifenintegrale wurden numerisch mittels des Programms LoopTools berechnet. Im Fall tensorieller Integrale erfolgte zunächst eine Zerlegung gemäß der Methode von Passarino und Veltman. Da die somit erhaltenen Ergebnisse jedoch i.a. noch nicht das chirale Zählschema erfüllen, wurde die entsprechende Renormierung mittels der reformulierten Infrarotregularisierung vorgenommen. Zu diesem Zweck wurde ein Verfahren entwickelt, welches die Abzugsterme automatisiert bestimmt. Die schließlich erhaltenen Isospinamplituden wurden in das Programm MAID eingebaut. In diesem Programm wurden als Test (Ergebnisse bis Ordnung drei) die s-Wellenmultipole E_{0+} und L_{0+} in der Schwellenregion berechnet. Die Ergebnisse wurden sowohl mit Messdaten als auch mit den Resultaten des "klassischen" MAID verglichen, wobei sich i. a. gute Übereinstimmungen im Rahmen der Fehler ergaben.