Black-scholes type equations

In this work we are concerned with the analysis and numerical solution of Black-Scholes type equations arising in the modeling of incomplete financial markets and an inverse problem of determining the local volatility function in a generalized Black-Scholes model from observed option prices. In the first chapter a fully nonlinear Black-Scholes equation which models transaction costs arising in option pricing is discretized by a new high order compact scheme. The compact scheme is proved to be unconditionally stable and non-oscillatory and is very efficient compared to classical schemes. Moreover, it is shown that the finite difference solution converges locally uniformly to the unique viscosity solution of the continuous equation. In the next chapter we turn to the calibration problem of computing local volatility functions from market data in a generalized Black-Scholes setting. We follow an optimal control approach in a Lagrangian framework. We show the existence of a global solution and study first- and second-order optimality conditions. Furthermore, we propose an algorithm that is based on a globalized sequential quadratic programming method and a primal-dual active set strategy, and present numerical results. In the last chapter we consider a quasilinear parabolic equation with quadratic gradient terms, which arises in the modeling of an optimal portfolio in incomplete markets. The existence of weak solutions is shown by considering a sequence of approximate solutions. The main difficulty of the proof is to infer the strong convergence of the sequence. Furthermore, we prove the uniqueness of weak solutions under a smallness condition on the derivatives of the covariance matrices with respect to the solution, but without additional regularity assumptions on the solution. The results are illustrated by a numerical example.

Entwicklung einer Methode mittels hochauflösender ICP-MS zur Bestimmung von Siliciumspuren in anorganischen und organischen Matrices sowie von Siloxanen in Geweben

Deutsch:Schwerpunkt dieser Arbeit war die Entwicklung einer Methode zur Spurenbestimmung von Silicium in organischen und anorganischen Matrices unter Verwendung der massenspektrometrischen Isotopenverdünnungsanalyse (MSIVA) an einem hochauflösenden induktiv gekoppelten Plasma-Massenspektrometer (HR-ICP-MS). Zusätzlich zur Elementspurenbestimmung wurde eine GC/HR-ICP-MS Kopplung entwickelt, die zur Analyse linearer und cyclischer Siloxane verwendet wurde.Die hier entwickelte Analysenmethode erlaubt Nachweisgrenzen für Silicium sowohl in organischen als auch in anorganischen Matrices im oberen ng/g-Bereich und ergab für die im Rahmen dieser Arbeit analysierten Proben Reproduzierbarkeiten von < 20%. Durch einfache Verdünnung nach der Probenvorbereitung in Verbindung mit dem sehr empfindlichen Detektionsverfahren sowie der internen Standardisierung mittels MSIVA erlaubt das Verfahren eine präzise Bestimmung von Silicium in jeglicher Matrix. Neben der Schnelligkeit und Einfachheit eignet sich die hier entwickelte Methode besonders für die Routineanalytik. Die gute Reproduzierbarkeit und der Vergleich mit Ergebnissen von zwei Interlaborstudien unterstreicht zusätzlich die Fähigkeit präzise und richtige Ergebnisse zur Zertifizierung an Standardreferenzmaterialien bezüglich des Siliciums im Spurenbereich zu liefern.Neben dem Gesamtgehalt von Silicium konnten medizinisch relevante Siliciumverbindungen analysiert und quantifiziert werden. Hierbei wurden niedermolekulare Polydimethlysiloxane (PDMS) untersucht, die als Nebenprodukte vor allem in Brustimplantaten auftreten. Grundlage für die Bestimmung dieser Siliciumspezies ist die Kopplung eines hochauflösenden ICP-MS an einen Gaschromatographen. Der hohe Ionisierungsgrad des ICP, gerade unter trockenen Plasmabedingungen, und der elementspezifische und sehr empfindliche massenspektrometrische Detektor erlauben in Verbindung mit dem GC die Bestimmung von Siloxanen bis in den pg/g-Bereich. Aus der Bestimmung des Gesamtgehalts an Silicium und der Bestimmung des Gehalts an den untersuchten Siliciumverbindungen können Vergleiche gemacht werden. Die Analyse beider Parameter ist mit Hilfe in dieser Arbeit entwickelten Methode möglich.Zusätzlich zur Siliciumbestimmung wurde der Gehalt an Platin in Humanproben analysiert, da bei der Herstellung der Füllung von Siliconimplantaten Platinkatalysatoren verwendet werden.