Use of computer algebra in the calculation of Feynman diagrams

The increasing precision of current and future experiments in high-energy physics requires a likewise increase in the accuracy of the calculation of theoretical predictions, in order to find evidence for possible deviations of the generally accepted Standard Model of elementary particles and interactions. Calculating the experimentally measurable cross sections of scattering and decay processes to a higher accuracy directly translates into including higher order radiative corrections in the calculation. The large number of particles and interactions in the full Standard Model results in an exponentially growing number of Feynman diagrams contributing to any given process in higher orders. Additionally, the appearance of multiple independent mass scales makes even the calculation of single diagrams non-trivial. For over two decades now, the only way to cope with these issues has been to rely on the assistance of computers. The aim of the xloops project is to provide the necessary tools to automate the calculation procedures as far as possible, including the generation of the contributing diagrams and the evaluation of the resulting Feynman integrals. The latter is based on the techniques developed in Mainz for solving one- and two-loop diagrams in a general and systematic way using parallel/orthogonal space methods. These techniques involve a considerable amount of symbolic computations. During the development of xloops it was found that conventional computer algebra systems were not a suitable implementation environment. For this reason, a new system called GiNaC has been created, which allows the development of large-scale symbolic applications in an object-oriented fashion within the C++ programming language. This system, which is now also in use for other projects besides xloops, is the main focus of this thesis. The implementation of GiNaC as a C++ library sets it apart from other algebraic systems. Our results prove that a highly efficient symbolic manipulator can be designed in an object-oriented way, and that having a very fine granularity of objects is also feasible. The xloops-related parts of this work consist of a new implementation, based on GiNaC, of functions for calculating one-loop Feynman integrals that already existed in the original xloops program, as well as the addition of supplementary modules belonging to the interface between the library of integral functions and the diagram generator.

Computer simulations of microstructures related to the olivine spinel transition

Tiefherd-Beben, die im oberen Erdmantel in einer Tiefe von ca. 400 km auftreten, werden gewöhnlich mit dem in gleicher Tiefe auftretenden druckabhängigen, polymorphen Phasenübergang von Olivine (α-Phase) zu Spinel (β-Phase) in Verbindung gebracht. Es ist jedoch nach wie vor unklar, wie der Phasenübergang mit dem mechanischen Versagen des Mantelmaterials zusammenhängt. Zur Zeit werden im Wesentlichen zwei Modelle diskutiert, die entweder Mikrostrukturen, die durch den Phasenübergang entstehen, oder aber die rheologischen Veränderungen des Mantelgesteins durch den Phasenübergang dafür verantwortlich machen. Dabei sind Untersuchungen der Olivin→Spinel Umwandlung durch die Unzugänglichkeit des natürlichen Materials vollständig auf theoretische Überlegungen sowie Hochdruck-Experimente und Numerische Simulationen beschränkt. Das zentrale Thema dieser Dissertation war es, ein funktionierendes Computermodell zur Simulation der Mikrostrukturen zu entwickeln, die durch den Phasenübergang entstehen. Des Weiteren wurde das Computer Modell angewandt um die mikrostrukturelle Entwicklung von Spinelkörnern und die Kontrollparameter zu untersuchen. Die Arbeit ist daher in zwei Teile unterteilt: Der erste Teil (Kap. 2 und 3) behandelt die physikalischen Gesetzmäßigkeiten und die prinzipielle Funktionsweise des Computer Modells, das auf der Kombination von Gleichungen zur Errechnung der kinetischen Reaktionsgeschwindigkeit mit Gesetzen der Nichtgleichgewichtsthermodynamik unter nicht-hydostatischen Bedingungen beruht. Das Computermodell erweitert ein Federnetzwerk der Software latte aus dem Programmpaket elle. Der wichtigste Parameter ist dabei die Normalspannung auf der Kornoberfläche von Spinel. Darüber hinaus berücksichtigt das Programm die Latenzwärme der Reaktion, die Oberflächenenergie und die geringe Viskosität von Mantelmaterial als weitere wesentliche Parameter in der Berechnung der Reaktionskinetic. Das Wachstumsverhalten und die fraktale Dimension von errechneten Spinelkörnern ist dabei in guter Übereinstimmung mit Spinelstrukturen aus Hochdruckexperimenten. Im zweiten Teil der Arbeit wird das Computermodell angewandt, um die Entwicklung der Oberflächenstruktur von Spinelkörnern unter verschiedenen Bedigungen zu eruieren. Die sogenannte ’anticrack theory of faulting’, die den katastrophalen Verlauf der Olivine→Spinel Umwandlung in olivinhaltigem Material unter differentieller Spannung durch Spannungskonzentrationen erklärt, wurde anhand des Computermodells untersucht. Der entsprechende Mechanismus konnte dabei nicht bestätigt werden. Stattdessen können Oberflächenstrukturen, die Ähnlichkeiten zu Anticracks aufweisen, durch Unreinheiten des Materials erklärt werden (Kap. 4). Eine Reihe von Simulationen wurde der Herleitung der wichtigsten Kontrollparameter der Reaktion in monomineralischem Olivin gewidmet (Kap. 5 and Kap. 6). Als wichtigste Einflüsse auf die Kornform von Spinel stellten sich dabei die Hauptnormalspannungen auf dem System sowie Heterogenitäten im Wirtsminerals und die Viskosität heraus. Im weiteren Verlauf wurden die Nukleierung und das Wachstum von Spinel in polymineralischen Mineralparagenesen untersucht (Kap. 7). Die Reaktionsgeschwindigkeit der Olivine→Spinel Umwandlung und die Entwicklung von Spinelnetzwerken und Clustern wird durch die Gegenwart nicht-reaktiver Minerale wie Granat oder Pyroxen erheblich beschleunigt. Die Bildung von Spinelnetzwerken hat das Potential, die mechanischen Eigenschaften von Mantelgestein erheblich zu beeinflussen, sei es durch die Bildung potentieller Scherzonen oder durch Gerüstbildung. Dieser Lokalisierungprozess des Spinelwachstums in Mantelgesteinen kann daher ein neues Erklärungsmuster für Tiefbeben darstellen.