Partial reconstruction of the trajectories of a discretely observed branching diffusion with immigration and an application to inference

In this treatise we consider finite systems of branching particles where the particles move independently of each other according to d-dimensional diffusions. Particles are killed at a position dependent rate, leaving at their death position a random number of descendants according to a position dependent reproduction law. In addition particles immigrate at constant rate (one immigrant per immigration time). A process with above properties is called a branching diffusion withimmigration (BDI). In the first part we present the model in detail and discuss the properties of the BDI under our basic assumptions. In the second part we consider the problem of reconstruction of the trajectory of a BDI from discrete observations. We observe positions of the particles at discrete times; in particular we assume that we have no information about the pedigree of the particles. A natural question arises if we want to apply statistical procedures on the discrete observations: How can we find couples of particle positions which belong to the same particle? We give an easy to implement 'reconstruction scheme' which allows us to redraw or 'reconstruct' parts of the trajectory of the BDI with high accuracy. Moreover asymptotically the whole path can be reconstructed. Further we present simulations which show that our partial reconstruction rule is tractable in practice. In the third part we study how the partial reconstruction rule fits into statistical applications. As an extensive example we present a nonparametric estimator for the diffusion coefficient of a BDI where the particles move according to one-dimensional diffusions. This estimator is based on the Nadaraya-Watson estimator for the diffusion coefficient of one-dimensional diffusions and it uses the partial reconstruction rule developed in the second part above. We are able to prove a rate of convergence of this estimator and finally we present simulations which show that the estimator works well even if we leave our set of assumptions.

Einfluß von Topologie und Verscherung auf Dynamik und mechanische Parameter bei Homopolymeren

Die FT-Rheologie wird zur Unterscheidung verschiedener Kamm-Topologien in Polystyrollösungen und –schmelzen angewendet. Die Polystyrole werden in Abhängigkeit der Deborahzahl De unter LAOS-Bedingungen vermessen. Die Meßergebnisse zeigen, daß der Schritt von wohldefinierten Systemen (lineare Ketten, Sterne) zu solchen mit statistischer Verteilung wie in Kämmen zu großen Veränderungen sowohl im linearen als auch im nichtlinearen Bereich der rheologischen Messungen führt. Sowohl die Masterkurven als auch die Intenstiäten I3/1 und Phasen Phi3 der Nichtlinearitäten der einzelnen Proben weisen jeweils deutliche Unterschiede untereinander auf. Diese sind durch die bisherigen Ergebnisse noch nicht vollständig mit topologischen Merkmalen in Verbindung zu bringen. Die Messungen wurden mit dem von McLeish eingeführten Pom-pom Modell und daraus weiterentwickelten double convected-Pom-pom Modell (DCPP) simuliert und lieferten gute Übereinstimmung sowie auch Vorhersagen über den experimentell nicht mehr zugänglichen Bereich. Zur Untersuchung des Einflusses von mechanischer Scherung auf die lokale, molekulare Dynamik wird das LAOS-Experiment in situ mit dielektrischer Spektroskopie kombiniert. Dazu wurde eine Apparatur entwickelt, die das hochsensitive ARES-Rheometer mit dem hochauflösenden dielektrischen ALPHA-Analyzer verbindet. Mit dieser Apparatur wurde das Typ-A Polymer 1,4-cis-Polyisopren, mit einem Dipolmoment entlang des Rückgrats, bei oszillatorischer Scherung unter gleichzeitiger Aufnahme eines dielektrischen Spektrums vermessen. Es konnte gezeigt werden, daß die oszillatorische Verscherung weder die charakteristische Relaxationszeit noch die Form des Normal Mode Peaks beeinflußt, wohl aber die dielektrische Stärke Delta epsilon. Diese entspricht der Fläche unter dem e“-Peak und kann mit einer Debye- und einer Cole/Davidson-Funktion angepasst werden. Die Abnahme der dielektrischen Stärke mit zunehmender Scheramplitude kann mit der Orientierungsverteilung der End-zu-End-Vektoren in der Probe erklärt werden.

Untersuchung zur Bestimmung quantitativer Parameter der Lungenventilation mittels CT und MRT

Die zuverlässige Berechnung von quantitativen Parametern der Lungenventilation ist für ein Verständnis des Verhaltens der Lunge und insbesondere für die Diagnostik von Lungenerkrankungen von großer Bedeutung. Nur durch quantitative Parameter sind verlässliche und reproduzierbare diagnostische Aussagen über den Gesundheitszustand der Lunge möglich. Im Rahmen dieser Arbeit wurden neue quantitative Verfahren zur Erfassung der Lungenventilation basierend auf der dynamischen Computer- (CT) und Magnetresonanztomographie (MRT) entwickelt. Im ersten Teil dieser Arbeit wurde die Frage untersucht, ob das Aufblähen der Lunge in gesunden Schweinelungen und Lungen mit Akutem Lungenversagen (ARDS) durch einzelne, diskrete Zeitkonstanten beschrieben werden kann, oder ob kontinuierliche Verteilungen von Zeitkonstanten die Realität besser beschreiben. Hierzu wurden Serien dynamischer CT-Aufnahmen während definierter Beatmungsmanöver (Drucksprünge) aufgenommen und anschließend aus den Messdaten mittels inverser Laplace-Transformation die zugehörigen Verteilungen der Zeitkonstanten berechnet. Um die Qualität der Ergebnisse zu analysieren, wurde der Algorithmus im Rahmen von Simulationsrechnungen systematisch untersucht und anschließend in-vivo an gesunden und ARDS-Schweinelungen eingesetzt. Während in den gesunden Lungen mono- und biexponentielle Verteilungen bestimmt wurden, waren in den ARDS-Lungen Verteilungen um zwei dominante Zeitkonstanten notwendig, um die gemessenen Daten auf der Basis des verwendeten Modells verlässlich zu beschreiben. Es wurden sowohl diskrete als auch kontinuierliche Verteilungen gefunden. Die CT liefert Informationen über das solide Lungengewebe, während die MRT von hyperpolarisiertem 3He in der Lage ist, direkt das eingeatmete Gas abzubilden. Im zweiten Teil der Arbeit wurde zeitlich hochaufgelöst das Einströmen eines 3He-Bolus in die Lunge erfasst. Über eine Entfaltungsanalyse wurde anschließend das Einströmverhalten unter Idealbedingungen (unendlich kurzer 3He-Bolus), also die Gewebeantwortfunktion, berechnet und so eine Messtechnik-unabhängige Erfassung des Einströmens von 3He in die Lunge ermöglicht. Zentrale Fragestellung war hier, wie schnell das Gas in die Lunge einströmt. Im Rahmen von Simulationsrechnungen wurde das Verhalten eines Entfaltungsalgorithmus (basierend auf B-Spline Repräsentationen) systematisch analysiert. Zusätzlich wurde ein iteratives Entfaltungsverfahren eingesetzt. Aus zeitlich hochaufgelösten Messungen (7ms) an einer gesunden und einer ARDS-Schweinelunge konnte erstmals nachgewiesen werden, dass das Einströmen in-vivo in weniger als 0,1s geschieht. Die Ergebnisse zeigen Zeitkonstanten im Bereich von 4ms–50ms, wobei zwischen der gesunden Lungen und der ARDS-Lunge deutliche Unterschiede beobachtet wurden. Zusammenfassend ermöglichen daher die in dieser Arbeit vorgestellten Algorithmen eine objektivere Bestimmung quantitativer Parameter der Lungenventilation. Dies ist für die eindeutige Beschreibung ventilatorischer Vorgänge in der Lunge und somit für die Lungendiagnostik unerlässlich. Damit stehen quantitative Methoden für die Lungenfunktionsdiagnostik zur Verfügung, deren diagnostische Relevanz im Rahmen wissenschaftlicher und klinischer Studien untersucht werden kann.

Statistical problems related to excitation threshold and reset value of membrane potentials

Die vorliegende Arbeit ist motiviert durch biologische Fragestellungen bezüglich des Verhaltens von Membranpotentialen in Neuronen. Ein vielfach betrachtetes Modell für spikende Neuronen ist das Folgende. Zwischen den Spikes verhält sich das Membranpotential wie ein Diffusionsprozess X der durch die SDGL dX_t= beta(X_t) dt+ sigma(X_t) dB_t gegeben ist, wobei (B_t) eine Standard-Brown'sche Bewegung bezeichnet. Spikes erklärt man wie folgt. Sobald das Potential X eine gewisse Exzitationsschwelle S überschreitet entsteht ein Spike. Danach wird das Potential wieder auf einen bestimmten Wert x_0 zurückgesetzt. In Anwendungen ist es manchmal möglich, einen Diffusionsprozess X zwischen den Spikes zu beobachten und die Koeffizienten der SDGL beta() und sigma() zu schätzen. Dennoch ist es nötig, die Schwellen x_0 und S zu bestimmen um das Modell festzulegen. Eine Möglichkeit, dieses Problem anzugehen, ist x_0 und S als Parameter eines statistischen Modells aufzufassen und diese zu schätzen. In der vorliegenden Arbeit werden vier verschiedene Fälle diskutiert, in denen wir jeweils annehmen, dass das Membranpotential X zwischen den Spikes eine Brown'sche Bewegung mit Drift, eine geometrische Brown'sche Bewegung, ein Ornstein-Uhlenbeck Prozess oder ein Cox-Ingersoll-Ross Prozess ist. Darüber hinaus beobachten wir die Zeiten zwischen aufeinander folgenden Spikes, die wir als iid Treffzeiten der Schwelle S von X gestartet in x_0 auffassen. Die ersten beiden Fälle ähneln sich sehr und man kann jeweils den Maximum-Likelihood-Schätzer explizit angeben. Darüber hinaus wird, unter Verwendung der LAN-Theorie, die Optimalität dieser Schätzer gezeigt. In den Fällen OU- und CIR-Prozess wählen wir eine Minimum-Distanz-Methode, die auf dem Vergleich von empirischer und wahrer Laplace-Transformation bezüglich einer Hilbertraumnorm beruht. Wir werden beweisen, dass alle Schätzer stark konsistent und asymptotisch normalverteilt sind. Im letzten Kapitel werden wir die Effizienz der Minimum-Distanz-Schätzer anhand simulierter Daten überprüfen. Ferner, werden Anwendungen auf reale Datensätze und deren Resultate ausführlich diskutiert.