Mathematical aspects of Feynman integrals

In the present dissertation we consider Feynman integrals in the framework of dimensional regularization. As all such integrals can be expressed in terms of scalar integrals, we focus on this latter kind of integrals in their Feynman parametric representation and study their mathematical properties, partially applying graph theory, algebraic geometry and number theory. The three main topics are the graph theoretic properties of the Symanzik polynomials, the termination of the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich and the arithmetic nature of the Laurent coefficients of Feynman integrals.rnrnThe integrand of an arbitrary dimensionally regularised, scalar Feynman integral can be expressed in terms of the two well-known Symanzik polynomials. We give a detailed review on the graph theoretic properties of these polynomials. Due to the matrix-tree-theorem the first of these polynomials can be constructed from the determinant of a minor of the generic Laplacian matrix of a graph. By use of a generalization of this theorem, the all-minors-matrix-tree theorem, we derive a new relation which furthermore relates the second Symanzik polynomial to the Laplacian matrix of a graph.rnrnStarting from the Feynman parametric parameterization, the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich serves for the numerical evaluation of the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral in the Euclidean momentum region. This widely used algorithm contains an iterated step, consisting of an appropriate decomposition of the domain of integration and the deformation of the resulting pieces. This procedure leads to a disentanglement of the overlapping singularities of the integral. By giving a counter-example we exhibit the problem, that this iterative step of the algorithm does not terminate for every possible case. We solve this problem by presenting an appropriate extension of the algorithm, which is guaranteed to terminate. This is achieved by mapping the iterative step to an abstract combinatorial problem, known as Hironaka's polyhedra game. We present a publicly available implementation of the improved algorithm. Furthermore we explain the relationship of the sector decomposition method with the resolution of singularities of a variety, given by a sequence of blow-ups, in algebraic geometry.rnrnMotivated by the connection between Feynman integrals and topics of algebraic geometry we consider the set of periods as defined by Kontsevich and Zagier. This special set of numbers contains the set of multiple zeta values and certain values of polylogarithms, which in turn are known to be present in results for Laurent coefficients of certain dimensionally regularized Feynman integrals. By use of the extended sector decomposition algorithm we prove a theorem which implies, that the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral are periods if the masses and kinematical invariants take values in the Euclidean momentum region. The statement is formulated for an even more general class of integrals, allowing for an arbitrary number of polynomials in the integrand.

Konsekutivdolmetschen und Notation

Die Dissertation "Konsekutivdolmetschen und Notation" (Andres 2002) ist eine experimentelle Studie. Mit Hilfe einer von den Germersheimer Technikern konzipierten Spezialkamera wurde die Notizennahme von insgesamt 28 ProbandInnen, denen über Video die Fernsehansprache des französischen Staatspräsidenten zum Jahreswechsel 1996/1997 eingespielt wurde, gefilmt. Das Besondere an diesen Filmaufnahmen der Notizen war die mitlaufende Zeitschaltuhr. Damit konnte der zeitliche Abstand (Décalage) zur Originalrede gemessen werden. In der Verschriftung wurden die Originalrede, die Notizen und die Wiedergabe in ihrem temporalen Verlauf aufgezeichnet. Auch nonverbale Elemente wurden durch in Klammern hinter die jeweilige Äußerung gesetzte Anmerkungen integriert. Die Leistungen der ProbandInnen wurden von drei Dozentinnen bewertet. Die Auswertung der empirischen Daten erfolgte unter den Aspekten Effizienz und Knappheit, Quantität und Auswahl, Informationsstrukturierung, Décalage, Wissen und Erfahrung, Text als kommunikatives Ganzes. Auswertung der Dolmetschleistungen: Konsekutivdolmetschen ist eine komplexe Gesamtoperation, die sich aus zahlreichen miteinander vernetzten Teilen zusammensetzt. Faktoren wie Übung, Erfahrung, Wissen, das Verfügen über Sachkenntnis und Problemlösestrategien, spielen in diesem Prozess eine erhebliche Rolle. Daher ist es sinnvoll, im didaktischen Ansatz Einzeloperationen aus der Gesamtoperation herauszulösen und für Einzelbereiche die Fähigkeit zum Problemlösen zu trainieren. Die Grundvoraussetzung ist Verstehen, so dass vor allem Verstehenstechniken zu vermitteln sind. Insgesamt geht es darum, den Lernprozess so zu gestalten, dass Studierenden Strategien vermittelt werden, die es ihnen ermöglichen, defizitäre Daten der Textoberfläche durch differenzierte Erwartungsstrukturen zu ergänzen und zu lernen, Sinn zu konstruieren. In Bezug auf die Notation lassen die in der Untersuchung enthaltenen Daten den Schluss zu, dass es bei der Notation nicht um Fragen wie zielsprachliches oder ausgangssprachliches Notieren oder die Anzahl von Symbolen geht, sondern darum zu vermitteln, dass: (1) ein deutlich geschriebenes Notationssystem mit automatisierten Abkürzungsregeln und einem eindeutigen Stamm an Symbolen Zeitersparnis bewirkt, die für andere Operationen genutzt werden kann; (2) Verben und Tempusangaben für die Rekonstruktion des Gesagten ein wesentlicher Faktor sind; (3) Informationsgewichtung und -strukturierung in den Notizen die Verstehensoperationen intensivieren und die Textproduktion erleichtern; (4) Segmentierung und räumliche Anordnung in den Notizen das Zuordnen erleichtern und die Sprachproduktion positiv beeinflussen; (5) die Notation von Verknüpfungsmitteln ein wesentliches Element für die Herstellung von Kohäsion ist; (6) das Décalage in Abhängigkeit vom Faktor Verstehen Schwankungen unterworfen ist und sein darf; (7) jede Person das für sie individuelle Décalage herausfinden muss; (8) ein anhaltendes Décalage von mehr als 7 Sekunden zu Defiziten im Verstehens- oder im Notationsprozess führt; (9) diskontinuierliches Notieren zur Informationsstrukturierung oder -vervollständigung hilfreich sein kann; (10) rhetorische Merkmale in der Textproduktion leichter berücksichtigt werden, wenn diese in den Notizen markiert sind.rnSchließlich haben die Beobachtungen gezeigt, wie hilfreich für die Studierenden eine intensive Auseinandersetzung mit der Notation ist, wie wichtig ein trainiertes, verlässliches, effizientes Notationssystem als eine Teiloperation ist, die den Verstehensprozess stützt und damit entscheidenden Einfluss auf die Qualität der zielsprachlichen Umsetzung nimmt.