Friedrich Riesz' Beiträge zur Herausbildung des modernen mathematischen Konzepts abstrakter Räume

Der ungarische Mathematiker Friedrich Riesz studierte und forschte in den mathematischen Milieus von Budapest, Göttingen und Paris. Die vorliegende Arbeit möchte zeigen, daß die Beiträge von Riesz zur Herausbildung eines abstrakten Raumbegriffs durch eine Verknüpfung von Entwicklungen aus allen drei mathematischen Kulturen ermöglicht wurden, in denen er sich bewegt hat. Die Arbeit konzentriert sich dabei auf den von Riesz 1906 veröffentlichten Text „Die Genesis des Raumbegriffs". Sowohl für seine Fragestellungen als auch für seinen methodischen Zugang fand Riesz vor allem in Frankreich und Göttingen Anregungen: Henri Poincarés Beiträge zur Raumdiskussion, Maurice Fréchets Ansätze einer abstrakten Punktmengenlehre, David Hilberts Charakterisierung der Stetigkeit des geometrischen Raumes. Diese Impulse aufgreifend suchte Riesz ein Konzept zu schaffen, das die Forderungen von Poincaré, Hilbert und Fréchet gleichermaßen erfüllte. So schlug Riesz einen allgemeinen Begriff des mathematischen Kontinuums vor, dem sich Fréchets Konzept der L-Klasse, Hilberts Mannigfaltigkeitsbegriff und Poincarés erfahrungsgemäße Vorstellung der Stetigkeit des ‚wirklichen' Raumes unterordnen ließen. Für die Durchführung seines Projekts wandte Riesz mengentheoretische und axiomatische Methoden an, die er der Analysis in Frankreich und der Geometrie bei Hilbert entnommen hatte. Riesz' aufnahmebereite Haltung spielte dabei eine zentrale Rolle. Diese Haltung kann wiederum als ein Element der ungarischen mathematischen Kultur gedeutet werden, welche sich damals ihrerseits stark an den Entwicklungen in Frankreich und Deutschland orientierte. Darüber hinaus enthält Riesz’ Arbeit Ansätze einer konstruktiven Mengenlehre, die auf René Baire zurückzuführen sind. Aus diesen unerwarteten Ergebnissen ergibt sich die Aufgabe, den Bezug von Riesz’ und Baires Ideen zur späteren intuitionistischen Mengenlehre von L.E.J. Brouwer und Hermann Weyl weiter zu erforschen.

The structuring body : a critical study in the description & explanation of perceptual experience

The aims of the dissertation are to find the right description of the structure of perceptual experience and to explore the ways in which the structure of the body might serve to explain it. In the first two parts, I articulate and defend the claim that perceptual experience seems direct and the claim that its objects seem real. I defend these claims as integral parts of a coherent metaphysically neutral conception of perceptual experience. Sense-datum theorists, certain influential perceptual psychologists, and early modern philosophers (most notably Berkeley) all disputed the claim that perceptual experience seems direct. In Part I, I argue that the grounds on which they did so were poor. The aim is then, in Part II, to give a proper appreciation of the distinctive intentionality of perceptual experience whilst remaining metaphysically neutral. I do so by drawing on the early work of Edmund Husserl, providing a characterisation of the perceptual experience of objects as real, qua mind-independent particulars. In Part III, I explore two possible explanations of the structure characterising the intentionality of perceptual experience, both of which accord a distinctive explanatory role to the body. On one account, perceptual experience is structured by an implicit pre-reflective consciousness of oneself as a body engaged in perceptual activity. An alternative account makes no appeal to the metaphysically laden concept of a bodily self. It seeks to explain the structure of perceptual experience by appeal to anticipation of the structural constraints of the body. I develop this alternative by highlighting the conceptual and empirical basis for the idea that a first-order structural affordance relation holds between a bodily agent and certain properties of its body. I then close with a discussion of the shared background assumptions that ought to inform disputes over whether the body itself (in addition to its representation) ought to serve as an explanans in such an account.