On the geometry of the spin-statistics connection in quantum mechanics

The Spin-Statistics theorem states that the statistics of a system of identical particles is determined by their spin: Particles of integer spin are Bosons (i.e. obey Bose-Einstein statistics), whereas particles of half-integer spin are Fermions (i.e. obey Fermi-Dirac statistics). Since the original proof by Fierz and Pauli, it has been known that the connection between Spin and Statistics follows from the general principles of relativistic Quantum Field Theory. In spite of this, there are different approaches to Spin-Statistics and it is not clear whether the theorem holds under assumptions that are different, and even less restrictive, than the usual ones (e.g. Lorentz-covariance). Additionally, in Quantum Mechanics there is a deep relation between indistinguishabilty and the geometry of the configuration space. This is clearly illustrated by Gibbs' paradox. Therefore, for many years efforts have been made in order to find a geometric proof of the connection between Spin and Statistics. Recently, various proposals have been put forward, in which an attempt is made to derive the Spin-Statistics connection from assumptions different from the ones used in the relativistic, quantum field theoretic proofs. Among these, there is the one due to Berry and Robbins (BR), based on the postulation of a certain single-valuedness condition, that has caused a renewed interest in the problem. In the present thesis, we consider the problem of indistinguishability in Quantum Mechanics from a geometric-algebraic point of view. An approach is developed to study configuration spaces Q having a finite fundamental group, that allows us to describe different geometric structures of Q in terms of spaces of functions on the universal cover of Q. In particular, it is shown that the space of complex continuous functions over the universal cover of Q admits a decomposition into C(Q)-submodules, labelled by the irreducible representations of the fundamental group of Q, that can be interpreted as the spaces of sections of certain flat vector bundles over Q. With this technique, various results pertaining to the problem of quantum indistinguishability are reproduced in a clear and systematic way. Our method is also used in order to give a global formulation of the BR construction. As a result of this analysis, it is found that the single-valuedness condition of BR is inconsistent. Additionally, a proposal aiming at establishing the Fermi-Bose alternative, within our approach, is made.

The geometry of Lagrangian fibres

If the generic fibre f−1(c) of a Lagrangian fibration f : X → B on a complex Poisson– variety X is smooth, compact, and connected, it is isomorphic to the compactification of a complex abelian Lie–group. For affine Lagrangian fibres it is not clear what the structure of the fibre is. Adler and van Moerbeke developed a strategy to prove that the generic fibre of a Lagrangian fibration is isomorphic to the affine part of an abelian variety.rnWe extend their strategy to verify that the generic fibre of a given Lagrangian fibration is the affine part of a (C∗)r–extension of an abelian variety. This strategy turned out to be successful for all examples we studied. Additionally we studied examples of Lagrangian fibrations that have the affine part of a ramified cyclic cover of an abelian variety as generic fibre. We obtained an embedding in a Lagrangian fibration that has the affine part of a C∗–extension of an abelian variety as generic fibre. This embedding is not an embedding in the category of Lagrangian fibrations. The C∗–quotient of the new Lagrangian fibration defines in a natural way a deformation of the cyclic quotient of the original Lagrangian fibration.

Stratospheric aerosol extinction retrieved from SCIAMACHY measurements in limb geometry

Stratosphärische Partikel sind typischerweise mit dem bloßen Auge nicht wahrnehmbar. Dennoch haben sie einen signifikanten Einfluss auf die Strahlungsbilanz der Erde und die heteorogene Chemie in der Stratosphäre. Kontinuierliche, vertikal aufgelöste, globale Datensätze sind daher essenziell für das Verständnis physikalischer und chemischer Prozesse in diesem Teil der Atmosphäre. Beginnend mit den Messungen des zweiten Stratospheric Aerosol Measurement (SAM II) Instruments im Jahre 1978 existiert eine kontinuierliche Zeitreihe für stratosphärische Aerosol-Extinktionsprofile, welche von Messinstrumenten wie dem zweiten Stratospheric Aerosol and Gas Experiment (SAGE II), dem SCIAMACHY, dem OSIRIS und dem OMPS bis heute fortgeführt wird. rnrnIn dieser Arbeit wird ein neu entwickelter Algorithmus vorgestellt, der das sogenannte ,,Zwiebel-Schäl Prinzip'' verwendet, um Extinktionsprofile zwischen 12 und 33 km zu berechnen. Dafür wird der Algorithmus auf Radianzprofile einzelner Wellenlängen angewandt, die von SCIAMACHY in der Limb-Geometrie gemessen wurden. SCIAMACHY's einzigartige Methode abwechselnder Limb- und Nadir-Messungen bietet den Vorteil, hochaufgelöste vertikale und horizontale Messungen mit zeitlicher und räumlicher Koinzidenz durchführen zu können. Die dadurch erlangten Zusatzinformationen können verwendet werden, um die Effekte von horizontalen Gradienten entlang der Sichtlinie des Messinstruments zu korrigieren, welche vor allem kurz nach Vulkanausbrüchen und für polare Stratosphärenwolken beobachtet werden. Wenn diese Gradienten für die Berechnung von Extinktionsprofilen nicht beachtet werden, so kann dies dazu führen, dass sowohl die optischen Dicke als auch die Höhe von Vulkanfahnen oder polarer Stratosphärenwolken unterschätzt werden. In dieser Arbeit wird ein Verfahren vorgestellt, welches mit Hilfe von dreidimensionalen Strahlungstransportsimulationen und horizontal aufgelösten Datensätzen die berechneten Extinktionsprofile korrigiert.rnrnVergleichsstudien mit den Ergebnissen von Satelliten- (SAGE II) und Ballonmessungen zeigen, dass Extinktionsprofile von stratosphärischen Partikeln mit Hilfe des neu entwickelten Algorithmus berechnet werden können und gut mit bestehenden Datensätzen übereinstimmen. Untersuchungen des Nabro Vulkanausbruchs 2011 und des Auftretens von polaren Stratosphärenwolken in der südlichen Hemisphäre zeigen, dass das Korrekturverfahren für horizontale Gradienten die berechneten Extinktionsprofile deutlich verbessert.

Methoden zur Analyse, Interpretation und Modellierung des elektrischen Widerstandes von archäologischen Steinstrukturen

In der Archäologie werden elektrische Widerstandsmessungen routinemäßig zur Prospektion von Fundstellen eingesetzt. Die Methode ist kostengünstig, leicht anwendbar und liefert in den meisten Fällen zuverlässige und leicht zu interpretierende Ergebnisse. Dennoch kann die Methode die archäologischen Strukturen in manchen Fällen nur teilweise oder gar nicht abbilden, wenn die bodenphysikalischen und bodenchemischen Eigenschaften des Bodens und der archäologischen Strukturen dies nicht zulassen. Der spezifische elektrische Widerstand wird durch Parameter wie Wassergehalt, Bodenstruktur, Bodenskelett, Bodentextur, Salinität und Bodentemperatur beeinflusst. Manche dieser Parameter, wie z.B. der Wassergehalt und die Bodentemperatur, unterliegen einer saisonalen Veränderung. Die vorliegende Arbeit untersucht den spezifischen elektrischen Widerstand von archäologischen Steinstrukturen und evaluiert die Möglichkeit, auf Grundlage von Geländemessungen und Laboranalysen archäologische Strukturen und Böden als numerische Modelle darzustellen. Dazu wurde eine Kombination von verschiedenen bodenkundlichen, geoarchäologischen und geophysikalischen Methoden verwendet. Um archäologische Strukturen und Bodenprofile als numerische Widerstandsmodelle darstellen zu können, werden Informationen zur Geometrie der Strukturen und ihren elektrischen Widerstandswerten benötigt. Dabei ist die Qualität der Hintergrundinformationen entscheidend für die Genauigkeit des Widerstandsmodells. Die Geometrie der Widerstandsmodelle basiert auf den Ergebnissen von Rammkernsondierungen und archäologische Ausgrabungen. Die an der Ausbildung des elektrischen Widerstands beteiligten Parameter wurden durch die Analyse von Bodenproben gemessen und ermöglichen durch Pedotransfer-Funktion, wie die Rhoades-Formel, die Abschätzung des spezifischen elektrischen Widerstandes des Feinbodens. Um den Einfluss des Bodenskeletts auf den spezifischen elektrischen Widerstand von Bodenprofilen und archäologischen Strukturen zu berechnen, kamen die Perkolationstheorie und die Effective Medium Theory zum Einsatz. Die Genauigkeit und eventuelle Limitierungen der Methoden wurden im Labor durch experimentelle Widerstandsmessungen an ungestörten Bodenproben und synthetischen Materialien überprüft. Die saisonale Veränderung des Wassergehalts im Boden wurde durch numerische Modelle mit der Software HYDRUS simuliert. Die hydraulischen Modelle wurden auf Grundlage der ermittelten bodenkundlichen und archäologischen Stratigraphie erstellt und verwenden die Daten von lokalen Wetterstationen als Eingangsparameter. Durch die Kombination der HYDRUS-Ergebnisse mit den Pedotransfer-Funktionen konnte der Einfluss dieser saisonalen Veränderung auf die Prospektionsergebnisse von elektrischen Widerstandsmethoden berechnet werden. Die Ergebnisse der Modellierungsprozesse wurden mit den Geländemessungen verglichen. Die beste Übereinstimmung zwischen Modellergebnissen und den Prospektionsergebnissen konnte für die Fallstudie bei Katzenbach festgestellt werden. Bei dieser wurden die Modelle auf Grundlage von archäologischen Grabungsergebnissen und detaillierten bodenkundlichen Analysen erstellt. Weitere Fallstudien zeigen, dass elektrische Widerstandsmodelle eingesetzt werden können, um den Einfluss von ungünstigen Prospektionsbedingungen auf die Ergebnisse der elektrischen Widerstandsmessungen abzuschätzen. Diese Informationen unterstützen die Planung und Anwendung der Methoden im Gelände und ermöglichen eine effektivere Interpretation der Prospektionsergebnisse. Die präsentierten Modellierungsansätze benötigen eine weitere Verifizierung durch den Vergleich der Modellierungsergebnisse mit detailliertem geophysikalischem Gelände-Monitoring von archäologischen Fundstellen. Zusätzlich könnten elektrische Widerstandsmessungen an künstlichen Mauerstrukturen unter kontrollierten Bedingungen zur Überprüfung der Modellierungsprozesse genutzt werden.