Generalized soluble groups of finite co-central rank

Eine Gruppe G hat endlichen Prüferrang (bzw. Ko-zentralrang) kleiner gleich r, wenn für jede endlich erzeugte Gruppe H gilt: H (bzw. H modulo seinem Zentrum) ist r-erzeugbar. In der vorliegenden Arbeit werden, soweit möglich, die bekannten Sätze über Gruppen von endlichem Prüferrang (kurz X-Gruppen), auf die wesentlich größere Klasse der Gruppen mit endlichem Ko-zentralrang (kurz R-Gruppen) verallgemeinert.Für lokal nilpotente R-Gruppen, welche torsionsfrei oder p-Gruppen sind, wird gezeigt, dass die Zentrumsfaktorgruppe eine X-Gruppe sein muss. Es folgt, dass Hyperzentralität und lokale Nilpotenz für R-Gruppen identische Bediungungen sind. Analog hierzu sind R-Gruppen genau dann lokal auflösbar, wenn sie hyperabelsch sind. Zentral für die Strukturtheorie hyperabelscher R-Gruppen ist die Tatsache, dass solche Gruppen eine aufsteigende Normalreihe abelscher X-Gruppen besitzen. Es wird eine Sylowtheorie für periodische hyperabelsche R-Gruppen entwickelt. Für torsionsfreie hyperabelsche R-Gruppen wird deren Auflösbarkeit bewiesen. Des weiteren sind lokal endliche R-Gruppen fast hyperabelsch. Für R-Gruppen fallen sehr große Gruppenklassen mit den fast hyperabelschen Gruppen zusammen. Hierzu wird der Begriff der Sektionsüberdeckung eingeführt und gezeigt, dass R-Gruppen mit fast hyperabelscher Sektionsüberdeckung fast hyperabelsch sind.

Pseudodifferential operators on Hilbert space riggings with associated psi *-algebras and generalized Hörmander classes

The present thesis is concerned with certain aspects of differential and pseudodifferential operators on infinite dimensional spaces. We aim to generalize classical operator theoretical concepts of pseudodifferential operators on finite dimensional spaces to the infinite dimensional case. At first we summarize some facts about the canonical Gaussian measures on infinite dimensional Hilbert space riggings. Considering the naturally unitary group actions in $L^2(H_-,gamma)$ given by weighted shifts and multiplication with $e^{iSkp{t}{cdot}_0}$ we obtain an unitary equivalence $F$ between them. In this sense $F$ can be considered as an abstract Fourier transform. We show that $F$ coincides with the Fourier-Wiener transform. Using the Fourier-Wiener transform we define pseudodifferential operators in Weyl- and Kohn-Nirenberg form on our Hilbert space rigging. In the case of this Gaussian measure $gamma$ we discuss several possible Laplacians, at first the Ornstein-Uhlenbeck operator and then pseudo-differential operators with negative definite symbol. In the second case, these operators are generators of $L^2_gamma$-sub-Markovian semi-groups and $L^2_gamma$-Dirichlet-forms. In 1992 Gramsch, Ueberberg and Wagner described a construction of generalized Hörmander classes by commutator methods. Following this concept and the classical finite dimensional description of $Psi_{ro,delta}^0$ ($0leqdeltaleqroleq 1$, $delta< 1$) in the $C^*$-algebra $L(L^2)$ by Beals and Cordes we construct in both cases generalized Hörmander classes, which are $Psi^*$-algebras. These classes act on a scale of Sobolev spaces, generated by our Laplacian. In the case of the Ornstein-Uhlenbeck operator, we prove that a large class of continuous pseudodifferential operators considered by Albeverio and Dalecky in 1998 is contained in our generalized Hörmander class. Furthermore, in the case of a Laplacian with negative definite symbol, we develop a symbolic calculus for our operators. We show some Fredholm-criteria for them and prove that these Fredholm-operators are hypoelliptic. Moreover, in the finite dimensional case, using the Gaussian-measure instead of the Lebesgue-measure the index of these Fredholm operators is still given by Fedosov's formula. Considering an infinite dimensional Heisenberg group rigging we discuss the connection of some representations of the Heisenberg group to pseudo-differential operators on infinite dimensional spaces. We use this connections to calculate the spectrum of pseudodifferential operators and to construct generalized Hörmander classes given by smooth elements which are spectrally invariant in $L^2(H_-,gamma)$. Finally, given a topological space $X$ with Borel measure $mu$, a locally compact group $G$ and a representation $B$ of $G$ in the group of all homeomorphisms of $X$, we construct a Borel measure $mu_s$ on $X$ which is invariant under $B(G)$.