Pseudodifferential operators on Hilbert space riggings with associated psi *-algebras and generalized Hörmander classes

The present thesis is concerned with certain aspects of differential and pseudodifferential operators on infinite dimensional spaces. We aim to generalize classical operator theoretical concepts of pseudodifferential operators on finite dimensional spaces to the infinite dimensional case. At first we summarize some facts about the canonical Gaussian measures on infinite dimensional Hilbert space riggings. Considering the naturally unitary group actions in $L^2(H_-,gamma)$ given by weighted shifts and multiplication with $e^{iSkp{t}{cdot}_0}$ we obtain an unitary equivalence $F$ between them. In this sense $F$ can be considered as an abstract Fourier transform. We show that $F$ coincides with the Fourier-Wiener transform. Using the Fourier-Wiener transform we define pseudodifferential operators in Weyl- and Kohn-Nirenberg form on our Hilbert space rigging. In the case of this Gaussian measure $gamma$ we discuss several possible Laplacians, at first the Ornstein-Uhlenbeck operator and then pseudo-differential operators with negative definite symbol. In the second case, these operators are generators of $L^2_gamma$-sub-Markovian semi-groups and $L^2_gamma$-Dirichlet-forms. In 1992 Gramsch, Ueberberg and Wagner described a construction of generalized Hörmander classes by commutator methods. Following this concept and the classical finite dimensional description of $Psi_{ro,delta}^0$ ($0leqdeltaleqroleq 1$, $delta< 1$) in the $C^*$-algebra $L(L^2)$ by Beals and Cordes we construct in both cases generalized Hörmander classes, which are $Psi^*$-algebras. These classes act on a scale of Sobolev spaces, generated by our Laplacian. In the case of the Ornstein-Uhlenbeck operator, we prove that a large class of continuous pseudodifferential operators considered by Albeverio and Dalecky in 1998 is contained in our generalized Hörmander class. Furthermore, in the case of a Laplacian with negative definite symbol, we develop a symbolic calculus for our operators. We show some Fredholm-criteria for them and prove that these Fredholm-operators are hypoelliptic. Moreover, in the finite dimensional case, using the Gaussian-measure instead of the Lebesgue-measure the index of these Fredholm operators is still given by Fedosov's formula. Considering an infinite dimensional Heisenberg group rigging we discuss the connection of some representations of the Heisenberg group to pseudo-differential operators on infinite dimensional spaces. We use this connections to calculate the spectrum of pseudodifferential operators and to construct generalized Hörmander classes given by smooth elements which are spectrally invariant in $L^2(H_-,gamma)$. Finally, given a topological space $X$ with Borel measure $mu$, a locally compact group $G$ and a representation $B$ of $G$ in the group of all homeomorphisms of $X$, we construct a Borel measure $mu_s$ on $X$ which is invariant under $B(G)$.

Untersuchungen mit Bodenpilzen aus der Rebstock-Rhizosphäre unterschiedlich bewirtschafteter Rebanlagen des Rheingaus unter besonderer Berücksichtigung ihrer Pathogenität

Ziel der Untersuchungen war, Pilze aus geschädigtem und ungeschädigtem Wurzelmaterial konventionell und ökologisch bewirtschafteter Weinbergsböden zu isolieren und diese auf ihre Durchsetzungsfähigkeit gegenüber den anderen Arten bzw. deren Pilzmetabolitsuspensionen unter unterschiedlichen Nahrungsbedingungen zu prüfen und eine eventuelle substratabhängige Verhaltensänderung bei den Spezies in Interaktion festzustellen. Zudem wurde in weiteren In-vitro- Versuchen das pathogene Potenzial der gefundenen Arten gegenüber Vitis spp. getestet. Hintergrund dieser Untersuchungen war die Hypothese, dass Absterbeerscheinungen in Rebanlagen nicht durch die Reblaus per se verursacht werden, sondern dass ein Zusammenhang zwischen der Bewirtschaftungsmethode und dem Schadbild in reblausbefallenen Rebanlagen besteht und dessen Entstehung auf pathogenkonduktive und –suppressive Eigenschaften des Bodens zurückgeführt werden kann. Aus rund 2400 Wurzelproben konnten insgesamt 49 Pilzarten isoliert und bestimmt und mehr als die Hälfte davon in Wurzeln beider Versuchsflächen nachgewiesen werden. Ein Großteil der Pilze wurde sowohl in geschädigten als auch in ungeschädigten Wurzelgeweben identifiziert. Darunter waren Arten, die in der Literatur als Parasiten und Saprobier beschrieben werden, aber auch Arten, die eine andere Lebensweise pflegen oder deren Lebensweise nicht bekannt ist. Mit Hilfe von Interaktionsversuchen auf unterschiedlichen Nährmedien (einem Voll- und einem Mangelmedium) konnte bei den untersuchten Arten teilweise starke substratabhängige Verhaltensänderung in Interaktion mit bestimmten Pilzkolonien festgestellt und auf die Verfügbarkeit von organischem Kohlenstoff zurückgeführt werden. Starke Konkurrenz um organischen Kohlenstoff und dadurch entstehende fungistatische und antibiotische Effekte können in diesem Zusammenhang pathogenkonduktive bzw. pathogensuppressive Bodeneigenschaften fördern oder hemmen. Weiterhin konnte gezeigt werden, dass alle 15 in vitro an Vitis spp. inokulierten Pilze (Absidia glauca, Acremonium kiliense, Aspergillus ustus, Cylindrocarpon magnusianum, Cylindrocarpon sp., Fusarium culmorum, F. detonianum, F. oxysporum, F. sacchari, F. semitectum, Gliocladium roseum, Leptosphaeria coniothyrium, Penicillium expansum, Trichoderma harzianum, T. pseudokoningii), unter denen sich auch als Saprobier bekannte Arten befanden (P. expansum, T. harzianum), selbst bei Verfügbarkeit organischer Kohlenstoffverbindungen im Substrat, gegenüber Vitis spp. ein fakultativ pathogenes Potenzial besitzen. Diese aus In-vitro-Interaktionsversuchen gewonnenen Erkenntnisse geben Hinweise darauf, welchen Einfluss die Bewirtschaftung, insbesondere die Versorgung der Weinbergsböden mit organischem Kohlenstoff, auf fakultativ pathogene Sekundärparasiten in Form von Bodenpilzen und folglich auf die Entwicklung von Schadbildern an durch die Reblaus prädispositionierten Rebpflanzen in vivo haben kann.