The massless two-loop two-point function and zeta functions in counterterms of Feynman diagrams

The main part of this thesis describes a method of calculating the massless two-loop two-point function which allows expanding the integral up to an arbitrary order in the dimensional regularization parameter epsilon by rewriting it as a double Mellin-Barnes integral. Closing the contour and collecting the residues then transforms this integral into a form that enables us to utilize S. Weinzierl's computer library nestedsums. We could show that multiple zeta values and rational numbers are sufficient for expanding the massless two-loop two-point function to all orders in epsilon. We then use the Hopf algebra of Feynman diagrams and its antipode, to investigate the appearance of Riemann's zeta function in counterterms of Feynman diagrams in massless Yukawa theory and massless QED. The class of Feynman diagrams we consider consists of graphs built from primitive one-loop diagrams and the non-planar vertex correction, where the vertex corrections only depend on one external momentum. We showed the absence of powers of pi in the counterterms of the non-planar vertex correction and diagrams built by shuffling it with the one-loop vertex correction. We also found the invariance of some coefficients of zeta functions under a change of momentum flow through these vertex corrections.

Elektromagnetische Pionproduktion in manifest Lorentz-invarianter baryonischer chiraler Störungstheorie

In dieser Arbeit wurde die elektromagnetische Pionproduktion unter der Annahme der Isospinsymmetrie der starken Wechselwirkung im Rahmen der manifest Lorentz-invarianten chiralen Störungstheorie in einer Einschleifenrechnung bis zur Ordnung vier untersucht. Dazu wurden auf der Grundlage des Mathematica-Pakets FeynCalc Algorithmen zur Berechnung der Pionproduktionsamplitude entwickelt. Bis einschließlich der Ordnung vier tragen insgesamt 105 Feynmandiagramme bei, die sich in 20 Baumdiagramme und 85 Schleifendiagramme unterteilen lassen. Von den 20 Baumdiagrammen wiederum sind 16 als Polterme und vier als Kontaktgraphen zu klassifizieren; bei den Schleifendiagrammen tragen 50 Diagramme ab der dritten Ordnung und 35 Diagramme ab der vierten Ordnung bei. In der Einphotonaustauschnäherung lässt sich die Pionproduktionsamplitude als ein Produkt des Polarisationsvektors des (virtuellen) Photons und des Übergangsstrommatrixelements parametrisieren, wobei letzteres alle Abhängigkeiten der starken Wechselwirkung beinhaltet und wo somit die chirale Störungstheorie ihren Eingang findet. Der Polarisationsvektor hingegen hängt von dem leptonischen Vertex und dem Photonpropagator ab und ist aus der QED bekannt. Weiterhin lässt sich das Übergangsstrommatrixelement in sechs eichinvariante Amplituden zerlegen, die sich im Rahmen der Isospinsymmetrie jeweils wiederum in drei Isospinamplituden zerlegen lassen. Linearkombinationen dieser Isospinamplituden erlauben letztlich die Beschreibung der physikalischen Amplituden. Die in dieser Rechnung auftretenden Einschleifenintegrale wurden numerisch mittels des Programms LoopTools berechnet. Im Fall tensorieller Integrale erfolgte zunächst eine Zerlegung gemäß der Methode von Passarino und Veltman. Da die somit erhaltenen Ergebnisse jedoch i.a. noch nicht das chirale Zählschema erfüllen, wurde die entsprechende Renormierung mittels der reformulierten Infrarotregularisierung vorgenommen. Zu diesem Zweck wurde ein Verfahren entwickelt, welches die Abzugsterme automatisiert bestimmt. Die schließlich erhaltenen Isospinamplituden wurden in das Programm MAID eingebaut. In diesem Programm wurden als Test (Ergebnisse bis Ordnung drei) die s-Wellenmultipole E_{0+} und L_{0+} in der Schwellenregion berechnet. Die Ergebnisse wurden sowohl mit Messdaten als auch mit den Resultaten des "klassischen" MAID verglichen, wobei sich i. a. gute Übereinstimmungen im Rahmen der Fehler ergaben.

Abflusslose Senken – Instrumente in der Landschaftsanalyse und Indikatoren rezenter Krustenbewegungen

Innerhalb des Untersuchungsgebiets Schleswig-Holstein wurden 39.712 topographische Hohlformen detektiert. Genutzt wurden dazu ESRI ArcMap 9.3 und 10.0. Der Datenaufbereitung folgten weitere Kalkulationen in MATLAB R2010b. Jedes Objekt wurde räumlich mit seinen individuellen Eigenschaften verschnitten. Dazu gehörten Fläche, Umfang, Koordinaten (Zentroide), Tiefe und maximale Tiefe der Hohlform und Formfaktoren wie Rundheit, Konvexität und Elongation. Ziel der vorgestellten Methoden war die Beantwortung von drei Fragestellungen: Sind negative Landformen dazu geeignet Landschaftseinheiten und Eisvorstöße zu unterscheiden und zu bestimmen? Existiert eine Kopplung von Depressionen an der rezenten Topographie zu geologischen Tiefenstrukturen? Können Senken unterschiedlicher Entstehung anhand ihrer Formcharakteristik unterteilt werden? Die vorgenommene Klassifikation der großen Landschaftseinheiten basiert auf der Annahme, dass sowohl Jungmoränengebiete, ihre Vorflächen als auch Altmoränengebiete durch charakteristische, abflusslose Hohlformen, wie Toteislöcher, Seen, etc. abgegrenzt werden können. Normalerweise sind solche Depressionen in der Natur eher selten, werden jedoch für ehemalige Glaziallandschaften als typisch erachtet. Ziel war es, die geologischen Haupteinheiten, Eisvorstöße und Moränengebiete der letzten Vereisungen zu differenzieren. Zur Bearbeitung wurde ein Detektionsnetz verwendet, das auf quadratischen Zellen beruht. Die Ergebnisse zeigen, dass durch die alleinige Nutzung von Depressionen zur Klassifizierung von Landschaftseinheiten Gesamtgenauigkeiten von bis zu 71,4% erreicht werden können. Das bedeutet, dass drei von vier Detektionszellen korrekt zugeordnet werden können. Jungmoränen, Altmoränen, periglazialeVorflächen und holozäne Bereiche können mit Hilfe der Hohlformen mit großer Sicherheit voneinander unterschieden und korrekt zugeordnet werden. Dies zeigt, dass für die jeweiligen Einheiten tatsächlich bestimmte Senkenformen typisch sind. Die im ersten Schritt detektierten Senken wurden räumlich mit weiterreichenden geologischen Informationen verschnitten, um zu untersuchen, inwieweit natürliche Depressionen nur glazial entstanden sind oder ob ihre Ausprägung auch mit tiefengeologischen Strukturen in Zusammenhang steht. 25.349 (63,88%) aller Senken sind kleiner als 10.000 m² und liegen in Jungmoränengebieten und können vermutlich auf glaziale und periglaziale Einflüsse zurückgeführt werden. 2.424 Depressionen liegen innerhalb der Gebiete subglazialer Rinnen. 1.529 detektierte Hohlformen liegen innerhalb von Subsidenzgebieten, von denen 1.033 innerhalb der Marschländer im Westen verortet sind. 919 große Strukturen über 1 km Größe entlang der Nordsee sind unter anderem besonders gut mit Kompaktionsbereichen elsterzeitlicher Rinnen zu homologisieren.344 dieser Hohlformen sind zudem mit Tunneltälern im Untergrund assoziiert. Diese Parallelität von Depressionen und den teils über 100 m tiefen Tunneltälern kann auf Sedimentkompaktion zurückgeführt werden. Ein Zusammenhang mit der Zersetzung postglazialen, organischen Materials ist ebenfalls denkbar. Darüber hinaus wurden in einer Distanz von 10 km um die miozän aktiven Flanken des Glückstadt-Grabens negative Landformen detektiert, die Verbindungen zu oberflächennahen Störungsstrukturen zeigen. Dies ist ein Anzeichen für Grabenaktivität während und gegen Ende der Vereisung und während des Holozäns. Viele dieser störungsbezogenen Senken sind auch mit Tunneltälern assoziiert. Entsprechend werden drei zusammenspielende Prozesse identifiziert, die mit der Entstehung der Hohlformen in Verbindung gebracht werden können. Eine mögliche Interpretation ist, dass die östliche Flanke des Glückstadt-Grabens auf die Auflast des elsterzeitlichen Eisschilds reagierte, während sich subglazial zeitgleich Entwässerungsrinnen entlang der Schwächezonen ausbildeten. Diese wurden in den Warmzeiten größtenteils durch Torf und unverfestigte Sedimente verfüllt. Die Gletschervorstöße der späten Weichselzeit aktivierten erneut die Flanken und zusätzlich wurde das Lockermaterial exariert, wodurch große Seen, wie z. B. der Große Plöner See entstanden sind. Insgesamt konnten 29 große Depressionen größer oder gleich 5 km in Schleswig-Holstein identifiziert werden, die zumindest teilweise mit Beckensubsidenz und Aktivität der Grabenflanken verbunden sind, bzw. sogar auf diese zurückgehen.Die letzte Teilstudie befasste sich mit der Differenzierung von Senken nach deren potentieller Genese sowie der Unterscheidung natürlicher von künstlichen Hohlformen. Dazu wurde ein DEM für einen Bereich im Norden Niedersachsens verwendet, das eine Gesamtgröße von 252 km² abdeckt. Die Ergebnisse zeigen, dass glazial entstandene Depressionen gute Rundheitswerte aufweisen und auch Elongation und Exzentrizität eher kompakte Formen anzeigen. Lineare negative Strukturen sind oft Flüsse oder Altarme. Sie können als holozäne Strukturen identifiziert werden. Im Gegensatz zu den potentiell natürlichen Senkenformen sind künstlich geschaffene Depressionen eher eckig oder ungleichmäßig und tendieren meist nicht zu kompakten Formen. Drei Hauptklassen topographischer Depressionen konnten identifiziert und voneinander abgegrenzt werden: Potentiell glaziale Senken (Toteisformen), Flüsse, Seiten- und Altarme sowie künstliche Senken. Die Methode der Senkenklassifikation nach Formparametern ist ein sinnvolles Instrument, um verschiedene Typen unterscheiden zu können und um bei geologischen Fragestellungen künstliche Senken bereits vor der Verarbeitung auszuschließen. Jedoch zeigte sich, dass die Ergebnisse im Wesentlichen von der Auflösung des entsprechenden Höhenmodells abhängen.

Spectral theory of differential operators on finite metric graphs and on bounded domains

Die vorliegende Arbeit widmet sich der Spektraltheorie von Differentialoperatoren auf metrischen Graphen und von indefiniten Differentialoperatoren auf beschränkten Gebieten. Sie besteht aus zwei Teilen. Im Ersten werden endliche, nicht notwendigerweise kompakte, metrische Graphen und die Hilberträume von quadratintegrierbaren Funktionen auf diesen betrachtet. Alle quasi-m-akkretiven Laplaceoperatoren auf solchen Graphen werden charakterisiert, und Abschätzungen an die negativen Eigenwerte selbstadjungierter Laplaceoperatoren werden hergeleitet. Weiterhin wird die Wohlgestelltheit eines gemischten Diffusions- und Transportproblems auf kompakten Graphen durch die Anwendung von Halbgruppenmethoden untersucht. Eine Verallgemeinerung des indefiniten Operators $-tfrac{d}{dx}sgn(x)tfrac{d}{dx}$ von Intervallen auf metrische Graphen wird eingeführt. Die Spektral- und Streutheorie der selbstadjungierten Realisierungen wird detailliert besprochen. Im zweiten Teil der Arbeit werden Operatoren untersucht, die mit indefiniten Formen der Art $langlegrad v, A(cdot)grad urangle$ mit $u,vin H_0^1(Omega)subset L^2(Omega)$ und $OmegasubsetR^d$ beschränkt, assoziiert sind. Das Eigenwertverhalten entspricht in Dimension $d=1$ einer verallgemeinerten Weylschen Asymptotik und für $dgeq 2$ werden Abschätzungen an die Eigenwerte bewiesen. Die Frage, wann indefinite Formmethoden für Dimensionen $dgeq 2$ anwendbar sind, bleibt offen und wird diskutiert.