Mathematical aspects of Feynman integrals

In the present dissertation we consider Feynman integrals in the framework of dimensional regularization. As all such integrals can be expressed in terms of scalar integrals, we focus on this latter kind of integrals in their Feynman parametric representation and study their mathematical properties, partially applying graph theory, algebraic geometry and number theory. The three main topics are the graph theoretic properties of the Symanzik polynomials, the termination of the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich and the arithmetic nature of the Laurent coefficients of Feynman integrals.rnrnThe integrand of an arbitrary dimensionally regularised, scalar Feynman integral can be expressed in terms of the two well-known Symanzik polynomials. We give a detailed review on the graph theoretic properties of these polynomials. Due to the matrix-tree-theorem the first of these polynomials can be constructed from the determinant of a minor of the generic Laplacian matrix of a graph. By use of a generalization of this theorem, the all-minors-matrix-tree theorem, we derive a new relation which furthermore relates the second Symanzik polynomial to the Laplacian matrix of a graph.rnrnStarting from the Feynman parametric parameterization, the sector decomposition algorithm of Binoth and Heinrich serves for the numerical evaluation of the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral in the Euclidean momentum region. This widely used algorithm contains an iterated step, consisting of an appropriate decomposition of the domain of integration and the deformation of the resulting pieces. This procedure leads to a disentanglement of the overlapping singularities of the integral. By giving a counter-example we exhibit the problem, that this iterative step of the algorithm does not terminate for every possible case. We solve this problem by presenting an appropriate extension of the algorithm, which is guaranteed to terminate. This is achieved by mapping the iterative step to an abstract combinatorial problem, known as Hironaka's polyhedra game. We present a publicly available implementation of the improved algorithm. Furthermore we explain the relationship of the sector decomposition method with the resolution of singularities of a variety, given by a sequence of blow-ups, in algebraic geometry.rnrnMotivated by the connection between Feynman integrals and topics of algebraic geometry we consider the set of periods as defined by Kontsevich and Zagier. This special set of numbers contains the set of multiple zeta values and certain values of polylogarithms, which in turn are known to be present in results for Laurent coefficients of certain dimensionally regularized Feynman integrals. By use of the extended sector decomposition algorithm we prove a theorem which implies, that the Laurent coefficients of an arbitrary Feynman integral are periods if the masses and kinematical invariants take values in the Euclidean momentum region. The statement is formulated for an even more general class of integrals, allowing for an arbitrary number of polynomials in the integrand.

Funktionelle Analyse der Gliazellwanderung im Drosophila-Embryo

Gliazellen kommen in allen höheren Organismen vor und sind sowohl für die korrekte Entwicklung, als auch für die Funktionalität des adulten Nervensystems unerlässlich. Eine der mannigfachen Funktionen dieses Zelltyps ist die Umhüllung von Axonen im zentralen und peripheren Nervensystem (ZNS und PNS). Um eine vollständige Umhüllung zu gewährleisten, wandern Gliazellen während der Neurogenese zum Teil über enorme Distanzen von ihrem Entstehungsort aus. Dies trifft insbesondere auf die Gliazellen zu, durch deren Membranausläufer die distalen Axonbereiche der peripheren Nerven isoliert werden.rnIn dieser Arbeit wurde die Migration von Gliazellen anhand des Modelorganismus Drosophila untersucht. Ein besonderes Interesse galt dabei der Wanderung einer distinkten Population von Gliazellen, den sogenannten embryonalen Peripheren Gliazellen (ePG). Die ePGs werden überwiegend im sich entwickelnden ventralen Bauchmark geboren und wandern anschließend entlang der peripheren Nerventrakte nach dorsal aus, um diese bis zum Ende der Embryogenese zu umhüllen und dadurch die gliale Blut-Nerv-Schranke zu etablieren. Das Hauptziel dieser Arbeit bestand darin, neue Faktoren bzw. Mechanismen aufzudecken, durch welche die Migration der ePGs reguliert wird. Dazu wurde zunächst der wildtypische Verlauf ihrer Wanderung detailliert analysiert. Es stellte sich heraus, dass in jedem abdominalen Hemisegment eine invariante Anzahl von 12 ePGs von distinkten neuralen Vorläuferzellen generiert wird, die individuelle Identitäten besitzen und mittels molekularer Marker auf Einzelzellebene identifiziert werden können. Basierend auf der charakteristischen Lage der Zellen erfolgte die Etablierung einer neuen, konsistenten Nomenklatur für sämtliche ePGs. Darüber hinaus offenbarten in vivo Migrationsanalysen, dass die Wanderung individueller ePGs stereotyp verläuft und demzufolge weitestgehend prädeterminiert ist. Die genaue Kenntnis der wildtypischen ePG Migration auf Einzelzellebene diente anschließend als Grundlage für detaillierte Mutantenanalysen. Anhand derer konnte für den ebenfalls als molekularen Marker verwendeten Transkriptionsfaktor Castor eine Funktion als zellspezifische Determinante für die korrekte Spezifizierung der ePG6 und ePG8 nachgewiesen werden, dessen Verlust in einem signifikanten Migrationsdefekt dieser beiden ePGs resultiert. Des Weiteren konnte mit Netrin (NetB) der erste diffusible und richtungsweisende Faktor für die Migration von ePGs enthüllt werden, der in Interaktion mit dem Rezeptor Uncoordinated5 speziell die Wanderung der ePG6 und ePG8 leitet. Die von den übrigen Gliazellen unabhängige Navigation der ePG6 und ePG8 belegt, dass zumindest die Migration von Gruppen der ePGs durch unterschiedliche Mechanismen kontrolliert wird, was durch die Resultate der durchgeführten Ablationsexperimente bestätigt wird. rnFerner konnte gezeigt werden, dass während der frühen Gliogenese eine zuvor unbekannte, von Neuroblasten bereitgestellte Netrinquelle an der initialen Wegfindung der Longitudinalen Gliazellen (eine Population Neuropil-assoziierter Gliazellen im ZNS) beteiligt ist. In diesem Kontext erfolgt die Signaldetektion bereits in deren Vorläuferzelle, dem Longitudinalen Glioblasten, zellautonom über den Rezeptor Frazzled. rnFür künftige Mutantenscreens zur Identifizierung weiterer an der Migration der ePGs beteiligter Faktoren stellt die in dieser Arbeit präsentierte detaillierte Beschreibung eine wichtige Grundlage dar. Speziell in Kombination mit den vorgestellten molekularen Markern liefert sie die Voraussetzung dafür, individuelle ePGs auch im mutanten Hintergrund zu erfassen, wodurch selbst subtile Phänotypen überhaupt erst detektiert und auf Einzelzellebene analysiert werden können. Aufgrund der aufgezeigten voneinander unabhängigen Wegfindung, erscheinen Mutantenanalysen ohne derartige Möglichkeiten wenig erfolgversprechend, da Mutationen vermutlich mehrheitlich die Migration einzelner oder weniger ePGs beeinträchtigen. Letzten Endes wird somit die Aussicht verbessert, weitere neuartige Migrationsfaktoren im Modellorganismus Drosophila zu entschlüsseln, die gegebenenfalls bis hin zu höheren Organismen konserviert sind und folglich zum Verständnis der Gliazellwanderung in Vertebraten beitragen.