Hypersurfaces with many singularities

1. Teil: Bekannte Konstruktionen. Die vorliegende Arbeit gibt zunächst einen ausführlichen Überblick über die bisherigen Entwicklungen auf dem klassischen Gebiet der Hyperflächen mit vielen Singularitäten. Die maximale Anzahl mu^n(d) von Singularitäten auf einer Hyperfläche vom Grad d im P^n(C) ist nur in sehr wenigen Fällen bekannt, im P^3(C) beispielsweise nur für d<=6. Abgesehen von solchen Ausnahmen existieren nur obere und untere Schranken. 2. Teil: Neue Konstruktionen. Für kleine Grade d ist es oft möglich, bessere Resultate zu erhalten als jene, die durch allgemeine Schranken gegeben sind. In dieser Arbeit beschreiben wir einige algorithmische Ansätze hierfür, von denen einer Computer Algebra in Charakteristik 0 benutzt. Unsere anderen algorithmischen Methoden basieren auf einer Suche über endlichen Körpern. Das Liften der so experimentell gefundenen Hyperflächen durch Ausnutzung ihrer Geometrie oder Arithmetik liefert beispielsweise eine Fläche vom Grad 7 mit $99$ reellen gewöhnlichen Doppelpunkten und eine Fläche vom Grad 9 mit 226 gewöhnlichen Doppelpunkten. Diese Konstruktionen liefern die ersten unteren Schranken für mu^3(d) für ungeraden Grad d>5, die die allgemeine Schranke übertreffen. Unser Algorithmus hat außerdem das Potential, auf viele weitere Probleme der algebraischen Geometrie angewendet zu werden. Neben diesen algorithmischen Methoden beschreiben wir eine Konstruktion von Hyperflächen vom Grad d im P^n mit vielen A_j-Singularitäten, j>=2. Diese Beispiele, deren Existenz wir mit Hilfe der Theorie der Dessins d'Enfants beweisen, übertreffen die bekannten unteren Schranken in den meisten Fällen und ergeben insbesondere neue asymptotische untere Schranken für j>=2, n>=3. 3. Teil: Visualisierung. Wir beschließen unsere Arbeit mit einer Anwendung unserer neuen Visualisierungs-Software surfex, die die Stärken mehrerer existierender Programme bündelt, auf die Konstruktion affiner Gleichungen aller 45 topologischen Typen reeller kubischer Flächen.

Synthesis, characterization and chemical modification of a cationic polyelectrolyte poly(methylene amine)

Polyamine polymers have attracted attention due to their ability to demonstrate pH dependent cationic nature and presence of highly reactive pendant amino groups. These amino groups make them suitable for a host of applications through cross-linking and derivatization. As a result the end use application of a polyamine is largely driven by the number of amino groups and the way they are attached to the polymer backbone. Thus, this piece of work describes the synthesis and investigation of properties of a novel aliphatic polyamine, poly(methylene amine); that carries maximum number of amino group on its backbone. The target polymer, poly(methylene amine); was synthesized via two major steps viz.1.synthesis of precursor polymers of poly(methylene amine) and 2. Hydrolysis of the precursor polymers to obtain poly(methylene amine). The precursor polymers poly (1,3-diacetylimidazole-2-one)(6) and poly(1,3-diformyldihydroimidazol-2-one)(7) were synthesized via radical polymerization of their respective monomers. The monomers were polymerized in bulk as well as in solution at different reaction conditions. The maximum molecular weights were achieved by polymerizing the monomers in bulk (Mn = 6.5 x 104 g/mol and Mw = 2.13 x 105 g/mol) of 6. The precursor polymers were hydrolyzed under strong reaction conditions in ethanol in presence of NaOH, LiCl at 170°C to yield poly(methylene amine). The process of hydrolysis was monitored by IR spectroscopy. The solution properties of poly(methylene amine) and its hydrochloride were investigated by viscosimetry and light scattering. The reduced viscosity of poly (methylene amine) hydrochloride as a function of polymer concentration demonstrated a behavior typical of cationic polyelectrolyte. With decrease in polymer concentration the reduced viscosity of poly(methylene amine) hydrochloride increased gradually. The dynamic light scattering studies also revealed behaviors of a polyelectrolyte. Poly(methylene amine) was reacted with electrophiles to yield novel materials. While the attachment of alkyl group onto the nitrogen would increase nucleophilicity, it would also impose steric hindrance. As a result the degree of substitution on poly(methylene amine) would be governed by both the factors. Therefore, few model reactions with electrophiles were performed on polvinylamine under similar reaction conditions in order to make a comparative evaluation. It was found that under similar reaction conditions the degree of substitution was higher in case of polyvinylamine in comparison with poly (methylene amine).This shows that the steric hindrance outweighs nucleophilicity while deciding degree of substitution of electrophiles on poly(methylene amine). The modification was further extended to its use as an initiator for ring opening polymerization of benzyloxy protected N-carboxyanhydride of z-Lysine. The resulting polymer had an interesting brush like architecture. The solid state morphology of this polymer was investigated by SAXS. The 2D-WAXS diffractograms revealed hexagonal morphology of peptide segments without formation of alpha helices.