Una rassegna di teoremi ergodici. Dal teorema ergodico di Birkhoff Khinchin al teorema ergodico quantistico di von Neumann.

La tesi tratta dei teoremi ergodici più importanti scoperti dalla fine dell'800 ad oggi.

Von Neumann: non solo architetto

Opera biografica su John von Neumann che punta a considerare tutti i suoi contributi alla comunità scientifica (come logico, matematico, fisico, economista) oltre a quelli più noti come informatico.

Entanglement entropy in 1-d quantum spin chains

In questa tesi abbiamo studiato il comportamento delle entropie di Entanglement e dello spettro di Entanglement nel modello XYZ attraverso delle simulazioni numeriche. Le formule per le entropie di Von Neumann e di Renyi nel caso di una catena bipartita infinita esistevano già, ma mancavano ancora dei test numerici dettagliati. Inoltre, rispetto alla formula per l'Entropia di Entanglement di J. Cardy e P. Calabrese per sistemi non critici, tali relazioni presentano delle correzioni che non hanno ancora una spiegazione analitica: i risultati delle simulazioni numeriche ne hanno confermato la presenza. Abbiamo inoltre testato l'ipotesi che lo Schmidt Gap sia proporzionale a uno dei parametri d'ordine della teoria, e infine abbiamo simulato numericamente l'andamento delle Entropie e dello spettro di Entanglement in funzione della lunghezza della catena di spin. Ciò è stato possibile solo introducendo dei campi magnetici ''ad hoc'' nella catena, con la proprietà che l'andamento delle suddette quantità varia a seconda di come vengono disposti tali campi. Abbiamo quindi discusso i vari risultati ottenuti.

Trasformazioni che conservano la misura

Si consideri un insieme X non vuoto su cui si costruisce una sigma-algebra F, una trasformazione T dall'insieme X in se stesso F-misurabile si dice che conserva la misura se, preso un elemento della sigma-algebra, la misura della controimmagine di tale elemento è uguale a quella dell'elemento stesso. Con questa nozione si possono costruire vari esempi di applicazioni che conservano la misura, nell'elaborato si presenta la trasformazione di Gauss. Questo tipo di trasformazioni vengono utilizzate nella teoria ergodica dove ha senso considerare il sistema dinamico a tempi discreti T^j x; dove x = T^0 x è un dato iniziale, e studiare come la dinamica dipende dalla condizione iniziale x. Il Teorema Ergodico di Von Neumann afferma che dato uno spazio di Hilbert H su cui si definisce un'isometria U è possibile considerare, per ogni elemento f dello spazio di Hilbert, la media temporale di f che converge ad un elemento dell'autospazio relativo all'autovalore 1 dell'isometria. Il Teorema di Birkhoff invece asserisce che preso uno spazio X sigma-finito ed una trasformazione T non necessariamente invertibile è possibile considerare la media temporale di una funzione f sommabile, questa converge sempre ad una funzione f* misurabile e se la misura di X è finita f* è distribuita come f. In particolare, se la trasformazione T è ergodica si avrà che la media temporale e spaziale coincideranno.

Sulla decomposizione di misure

Questa tesi illustra il teorema di decomposizione delle misure e come questo viene applicato alle trasformazioni che conservano la misura. Dopo aver dato le definizioni di σ-algebra e di misura ed aver enunciato alcuni teoremi di teoria della misura, si introducono due differenti concetti di separabilità: quello di separabilità stretta e quello di separabilità, collegati mediante un lemma. Si descrivono poi la funzione di densità relativa e le relative proprietà e, dopo aver definito il concetto di somma diretta di spazi di misura, si dimostra il teorema di decomposizione delle misure, che permette sotto certe ipotesi di esprimere uno spazio di misura come somma diretta di spazi di misura. Infine, dopo aver spiegato cosa significa che una trasformazione conserva la misura e che è ergodica, si dimostra il teorema di Von Neumann, per il quale le trasformazioni che conservano la misura risultano decomponibili in parti ergodiche.

Applications of elliptic functions to solve differential equations

In questa tesi si mostrano alcune applicazioni degli integrali ellittici nella meccanica Hamiltoniana, allo scopo di risolvere i sistemi integrabili. Vengono descritte le funzioni ellittiche, in particolare la funzione ellittica di Weierstrass, ed elenchiamo i tipi di integrali ellittici costruendoli dalle funzioni di Weierstrass. Dopo aver considerato le basi della meccanica Hamiltoniana ed il teorema di Arnold Liouville, studiamo un esempio preso dal libro di Moser-Integrable Hamiltonian Systems and Spectral Theory, dove si prendono in considerazione i sistemi integrabili lungo la geodetica di un'ellissoide, e il sistema di Von Neumann. In particolare vediamo che nel caso n=2 abbiamo un integrale ellittico.

Statistical mapping of real environments with uwb radars

In this master thesis I evaluated the performance of a Ultra-Wide Bandwidth (UWB) radar system for indoor environments mapping. In particular, I used a statistical Bayesian approach which is able to combine all the measurements collected by the radar, including system non-idealities such as the error on the estimated antenna pointing direction or on the estimated radar position. First I verified through simulations that the system was able to provide a sufficiently accurate reconstruction of the surrounding environment despite the limitations imposed by the UWB technology. In fact, the emission of UWB pulses is limited in terms of transmitted power by international regulations. Motivated by the promising results obtained through simulations, I successively carried out a measurement campaign in a real indoor environment using a UWB commercial device. The obtained results showed that the UWB radar system is capable of providing an accurate reconstruction of indoor environments also adopting not directional antennas.

Riconoscimento real-time di gesture tramite tecniche di machine learning

Il riconoscimento delle gesture è un tema di ricerca che sta acquisendo sempre più popolarità, specialmente negli ultimi anni, grazie ai progressi tecnologici dei dispositivi embedded e dei sensori. Lo scopo di questa tesi è quello di utilizzare alcune tecniche di machine learning per realizzare un sistema in grado di riconoscere e classificare in tempo reale i gesti delle mani, a partire dai segnali mioelettrici (EMG) prodotti dai muscoli. Inoltre, per consentire il riconoscimento di movimenti spaziali complessi, verranno elaborati anche segnali di tipo inerziale, provenienti da una Inertial Measurement Unit (IMU) provvista di accelerometro, giroscopio e magnetometro. La prima parte della tesi, oltre ad offrire una panoramica sui dispositivi wearable e sui sensori, si occuperà di analizzare alcune tecniche per la classificazione di sequenze temporali, evidenziandone vantaggi e svantaggi. In particolare, verranno considerati approcci basati su Dynamic Time Warping (DTW), Hidden Markov Models (HMM), e reti neurali ricorrenti (RNN) di tipo Long Short-Term Memory (LSTM), che rappresentano una delle ultime evoluzioni nel campo del deep learning. La seconda parte, invece, riguarderà il progetto vero e proprio. Verrà impiegato il dispositivo wearable Myo di Thalmic Labs come caso di studio, e saranno applicate nel dettaglio le tecniche basate su DTW e HMM per progettare e realizzare un framework in grado di eseguire il riconoscimento real-time di gesture. Il capitolo finale mostrerà i risultati ottenuti (fornendo anche un confronto tra le tecniche analizzate), sia per la classificazione di gesture isolate che per il riconoscimento in tempo reale.