The Feynman-Kac formula and applications to PDEs

The thesis presents a probabilistic approach to the theory of semigroups of operators, with particular attention to the Markov and Feller semigroups. The first goal of this work is the proof of the fundamental Feynman-Kac formula, which gives the solution of certain parabolic Cauchy problems, in terms of the expected value of the initial condition computed at the associated stochastic diffusion processes. The second target is the characterization of the principal eigenvalue of the generator of a semigroup with Markov transition probability function and of second order elliptic operators with real coefficients not necessarily self-adjoint. The thesis is divided into three chapters. In the first chapter we study the Brownian motion and some of its main properties, the stochastic processes, the stochastic integral and the Itô formula in order to finally arrive, in the last section, at the proof of the Feynman-Kac formula. The second chapter is devoted to the probabilistic approach to the semigroups theory and it is here that we introduce Markov and Feller semigroups. Special emphasis is given to the Feller semigroup associated with the Brownian motion. The third and last chapter is divided into two sections. In the first one we present the abstract characterization of the principal eigenvalue of the infinitesimal generator of a semigroup of operators acting on continuous functions over a compact metric space. In the second section this approach is used to study the principal eigenvalue of elliptic partial differential operators with real coefficients. At the end, in the appendix, we gather some of the technical results used in the thesis in more details. Appendix A is devoted to the Sion minimax theorem, while in appendix B we prove the Chernoff product formula for not necessarily self-adjoint operators.

Progetto di Sistemi di Regolazione dell'Alimentazione ad Alta Affidabilità per Processori Multi-Core

Quasi tutti i componenti del FIVR (regolatore di tensione Buck che fornisce l'alimentazione ai microprocessori multi-core) sono implementati sul die del SoC e quindi soffrono di problemi di affidabilità associati allo scaling della tecnologia microelettronica. In particolare, la variazione dei parametri di processo durante la fabbricazione e i guasti nei dispostivi di switching (circuiti aperti o cortocircuiti). Questa tesi si svolge in ambito di un progetto di ricerca in collaborazione con Intel Corporation, ed è stato sviluppato in due parti: Inizialmente è stato arricchito il lavoro di analisi dei guasti su FIVR, svolgendo un accurato studio su quelli che sono i principali effetti dell’invecchiamento sulle uscite dei regolatori di tensione integrati su chip. Successivamente è stato sviluppato uno schema di monitoraggio a basso costo in grado di rilevare gli effetti dei guasti più probabili del FIVR sul campo. Inoltre, lo schema sviluppato è in grado di rilevare, durante il tempo di vita del FIVR, gli effetti di invecchiamento che inducono un incorretto funzionamento del FIVR. Lo schema di monitoraggio è stato progettato in maniera tale che risulti self-checking nei confronti dei suoi guasti interni, questo per evitare che tali errori possano compromettere la corretta segnalazione di guasti sul FIVR.