Campi finiti e segnale GPS

Lo scopo della tesi è quello di studiare una delle applicazioni della teoria dei campi finiti: il segnale GPS. A questo scopo si descrivono i registri a scorrimento a retroazione lineare (linear feedback shift register, LFSR), dispositivi utili in applicazioni che richiedono la generazione molto rapida di numeri pseudo-casuali. I ricevitori GPS sfruttano il determinismo di questi dispositivi per identificare il satellite da cui proviene il segnale e per sincronizzarsi con esso. Si inizia con una breve introduzione al funzionamento del GPS, poi si studiano i campi finiti: sottocampi, estensioni di campo, gruppo moltiplicativo e costruzione attraverso la riduzione modulo un polinomio irriducibile, fattorizzazione di polinomi, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi irriducibili, radici di polinomi irriducibili, coniugati, teoria di Galois (automorfismo ed orbite di Frobenius, gruppo e corrispondenza di Galois), traccia, polinomio caratteristico, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi primitivi. Successivamente si introducono e si esaminano sequenze ricorrenti lineari, loro periodicità, la sequenza risposta impulsiva, il polinomio caratteristico associato ad una sequenza e la sequenza di periodo massimo. Infine, si studiano i registri a scorrimento che generano uno dei segnali GPS. In particolare si esamina la correlazione tra due sequenze. Si mostra che ogni polinomio di grado n-1 a coefficienti nel campo di Galois di ordine 2 può essere rappresentato univocamente in n bit; la somma tra polinomi può essere eseguita come XOR bit-a-bit; la moltiplicazione per piccoli coefficienti richiede al massimo uno shift ed uno XOR. Si conclude con la dimostrazione di un importante risultato: è possibile inizializzare un registro in modo tale da fargli generare una sequenza di periodo massimo poco correlata con ogni traslazione di se stessa.

Misure di caratterizzazione su un prototipo di LiDAR basato su modulazione pseudocasuale

Un LiDAR è uno strumento di misura che sta vedendo uno sviluppo enorme negli ultimi decenni e sta dando risultati di grande utilità pratica. Abbiamo svolto alcune misure di distanza utilizzando uno strumento realizzato con materiale di recupero e un semplice software scritto da noi. In una prima parte del lavoro, più teorica, si illustrerà il funzionamento dello strumen- to, basato sull’invio di fasci laser su bersagli opachi e sulla ricezione della loro riflessione. Si presterà particolare attenzione ai metodi sviluppati per poter sfruttare laser continui piuttosto che impulsati, che risulterebbero più costosi: le sequenze pseudocasuali di bit. Nella parte sperimentale invece si mostrerà l’analisi dei dati effettuata e si commen- teranno i risultati ottenuti osservando le misure, con lo scopo di verificare alcune ipotesi, fra cui si darà particolare attenzione al confronto delle diverse sequenze. Lo scopo di questo lavoro è caratterizzare lo strumento tramite l’analisi delle misure e verificare l’asserzione dell’articolo [1] in bibliografia secondo cui particolari sequenze di bit (A1 e A2) darebbero risultati migliori se utilizzate al posto della sequenza pseudocasuale di lunghezza massima, M-sequence.