Solving the logically constrained multiple choice multiple knapsack problem: A real case

In questa tesi viene analizzato un problema di ottimizzazione proposto da alcuni esercizi commerciali che hanno la necessita` di selezionare e disporre i propri ar- ticoli in negozio. Il problema nasce dall’esigenza di massimizzare il profitto com- plessivo atteso dei prodotti in esposizione, trovando per ognuno una locazione sugli scaffali. I prodotti sono suddivisi in dipartimenti, dai quali solo un ele- mento deve essere selezionato ed esposto. In oltre si prevede la possibilita` di esprimere vincoli sulla locazione e compatibilita` dei prodotti. Il problema risul- tante `e una generalizzazione dei gia` noti Multiple-Choice Knapsack Problem e Multiple Knapsack Problem. Dopo una ricerca esaustiva in letteratura si `e ev- into che questo problema non `e ancora stato studiato. Si `e quindi provveduto a formalizzare il problema mediante un modello di programmazione lineare intera. Si propone un algoritmo esatto per la risoluzione del problema basato su column generation e branch and price. Sono stati formulati quattro modelli differenti per la risoluzione del pricing problem su cui si basa il column generation, per individuare quale sia il piu` efficiente. Tre dei quattro modelli proposti hanno performance comparabili, mentre l’ultimo si `e rivelato piu` inefficiente. Dai risul- tati ottenuti si evince che il metodo risolutivo proposto `e adatto a istanze di dimensione medio-bassa.

Procedure di Programmazione Dinamica per Determinare le K Migliori Soluzioni del Knapsack Problem 0-1 e dello Shortest Path Problem

In questa tesi viene trattata la problematica di determinare le migliori K soluzioni per due problemi di ottimizzazione, il Knapsack Problem 0-1 e lo Shortest Path Problem. Tali soluzioni possono essere impiegate all'interno di metodi di column generation per la risoluzione di problemi reali, ad esempio Bin Packing Problems e problemi di scheduling di veicoli ed equipaggi. Sono stati implementati, per verificarne sperimentalmente le prestazioni, nuovi algoritmi di programmazione dinamica, sviluppati nell’ambito di un programma di ricerca. Inizialmente, per entrambi i problemi, è stato descritto un algoritmo che determinasse le migliori K soluzioni per ogni possibile sottoproblema; partendo da uno zaino con capacità nulla, nel caso del Knapsack Problem 0-1, e dalla determinazione di un cammino dal vertice sorgente in se stesso per lo Shortest Path Problem, l’algoritmo determina le migliori soluzioni di sottoproblemi via via sempre più grandi, utilizzando le soluzioni costruite per gli stati precedenti, fino a ottenere le migliori soluzioni del problema globale. Successivamente, è stato definito un algoritmo basato su un approccio di ricorsione backward; in questo caso si utilizza una funzione ricorsiva che, chiamata a partire dallo stato corrispondente al problema globale, viene richiamata solo sugli stati intermedi strettamente necessari, e per ognuno di essi non vengono determinate soluzioni superflue.