Una introduzione alla teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti

Questa tesi introduce alla teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti. Il primo capitolo mostra che lo studio delle rappresentazioni di un dato gruppo può essere ridotto a quello delle rappresentazioni irriducibili. Il secondo capitolo, utilizzando la teoria del carattere, determina il numero di rappresentazioni irriducibili del gruppo. Il terzo capitolo, attraverso l'algebra di gruppo, individua alcune proprietà della dimensione delle rappresentazioni irriducibili. Infine, nell'ultimo capitolo, vengono trattate le rappresentazioni irriducibili dei gruppi simmetrici S_3 e S_4.

A dive into the inverse Galois problem

Il problema inverso di Galois classico consiste nel chiedersi se, dato un gruppo finito G, esista una estensione di Galois del campo dei numeri razionali che abbia come gruppo di Galois il gruppo G. Una volta verificata l'esistenza di una tale estensione poi, si cercano polinomi a coefficienti razionali il cui gruppo di Galois sia G stesso. Noto dall'inizio del diciannovesimo secolo, il problema è tuttora in generale irrisolto, nonostante nel corso degli anni siano stati fatti notevoli progressi. In questa tesi il problema viene affrontato e risolto in alcuni casi particolari: viene mostrata la realizzazione dei gruppi ciclici, dei gruppi abeliani e dei gruppi simmetrici come gruppi di Galois sul campo dei razionali, e vengono dati alcuni esempi di polinomi con tali gruppi di Galois.

Gruppi semplici sporadici: i gruppi di Mathieu

La tesi tratta dei gruppi semplici sporadici, in particolar modo dei gruppi di Mathieu. Sono state ripercorse tappe storiche fondamentali, a partire dalla semplicità del gruppo alterno An, n>4, nota a Galois, fino a giungere al teorema di classificazione dei gruppi semplici, di cui i gruppi sporadici rappresentano un caso particolare. Vengono poi proposte diverse costruzioni dei gruppi di Mathieu, passando dall'algebra alla geometria fino alla teoria dell'informazione. Quindi vengono discusse le proprietà principali dei gruppi di Mathieu, e infine si presentano congetture in cui i gruppi di Mathieu, o più in generale i gruppi sporadici, giocano un ruolo fondamentale, come ad esempio nella congettura "moonshine". Al termine della tesi vengono presentati i gruppi di Mathieu in ambiti diversi dal mondo matematico, dal gioco alla musica.

Geometria dei Gruppi Lineari Classici

La tesi è un'introduzione classica alla teoria dei Gruppi di Lie, con esempi tratti dall'algebra lineare elementare (fondamentalmente di gruppi matriciali). Dopo alcuni esempi concreti in dimensione tre, si passano a definire varietà topologiche e differenziali, e quindi gruppi di Lie astratti (assieme alle loro Algebre di Lie). Nel terzo capitolo si dimostra come alcuni sottogruppi del Gruppo Generale Lineare siano effettivamente Gruppi di Lie.

Progetto e realizzazione di riferimenti in tensione simmetrici in tecnologia CMOS

La tesi tratta del progetto e della realizzazione di un riferimento in tensione simmetrico e stabile in temperatura, realizzato in tecnologia CMOS. Nella progettazione analogica ad alta precisione ha assunto sempre più importanza il problema della realizzazione di riferimenti in tensione stabili in temperatura. Nella maggior parte dei casi vengono presentati Bandgap, ovvero riferimenti in tensione che sfruttano l'andamento in temperatura dell'energy gap del silicio al fine di ottenere una tensione costante in un ampio range di temperatura. Tale architettura risulta utile nei sistemi ad alimentazione singola compresa fra 0 e Vdd essendo in grado di generare una singola tensione di riferimento del valore tipico di 1.2V. Nella tesi viene presentato un riferimento in tensione in grado di offrire le stesse prestazioni di un Bandgap per quanto riguarda la variazione in temperatura ma in grado di lavorare sia in sistemi ad alimentazione singola che ad alimentazione duale. Il circuito proposto e' in grado di generare due tensioni, simmetriche rispetto a un riferimento dato, del valore nominale di ±450mV. All'interno della tesi viene descritto il progetto di due diverse architetture, entrambe in grado di generare le tensioni con le specifiche richieste. Le due architetture sono poi state confrontate analizzando in particolare la stabilità in temperatura, la potenza dissipata, il PSRR (Power Supply Rejection Ratio) e la simmetria delle tensioni generate. Al termine dell'analisi è stato poi implementato su silicio il circuito che garantiva le prestazioni migliori. In sede di disegno del layout su silicio sono stati affrontati i problemi derivanti dall'adattamento dei componenti al fine di ottenere una maggiore insensibilità del circuito stesso alle incertezze legate al processo di realizzazione. Infine sono state effettuate le misurazioni attraverso una probe station a 4 sonde per verificare il corretto funzionamento del circuito e le sue prestazioni.

Operatori simmetrici massimali in meccanica quantistica

Si è proposto una serie di 4 assiomi per la MQ più deboli, e quindi più fondamentali, da cui è possibile dedurre i concetti di misura di probabilità, equazione di Schrodinger e operatori autoaggiunti, considerati i pilastri della MQ. Si è cercato di trovare le motivazioni fisiche che rendevano necessaria la loro formulazione e si sono sviluppate le conseguenze matematiche. In particolare ci si è focalizzati nel dimostrare che non a tutte le osservabili possono essere associati operatori simmetrici definiti su tutto lo spazio di Hilbert, da cui l’introduzione negli assiomi della MQ degli operatori simmetrici massimali densamente definiti; il punto fondamentale è che da questi ultimi è stato provato che si può arrivare alla corrispondenza biunivoca tra operatori autoaggiunti ed osservabili fisiche. Si è infine dimostrato che la condizione che un operatore sia simmetrico massimale non implica che esso sia autoaggiunto.