Le curve piane: dallo studio in geometria alla trattazione scolastica

L'argomento trattato in questa tesi riguarda lo studio geometrico delle curve piane. Una prima parte è dedicata alle varie definizioni di curva in matematica, la seconda tratta invece la presentazione delle curve da un punto di vista scolastico. Il mio lavoro è stato quello di analizzare alcuni testi delle scuole superiori allo scopo di evidenziare, laddove è stato possibile, il tipo di appproccio didattico utilizzato per presentare tali argomenti.

Il problema di Dirichlet per equazioni lineari ellittiche in forma di divergenza

The purpose of this dissertation is to prove that the Dirichlet problem in a bounded domain is uniquely solvable for elliptic equations in divergence form. The proof can be achieved by Hilbert space methods based on generalized or weak solutions. Existence and uniqueness of a generalized solution for the Dirichlet problem follow from the Fredholm alternative and weak maximum principle.

Il concetto di funzione. Una proposta didattica di approccio coordinato fra matematica e fisica

Da anni l’insegnamento “trasmissivo” delle scienze è messo in discussione e le ricerche condotte su grandi numeri di studenti di diverso livello scolare ne stanno dimostrando la scarsa efficacia. Si è cercato di documentare e interpretare le difficoltà esistenti per trovare soluzioni che garantiscano un apprendimento significativo. Il lavoro di tesi cerca di mettere a punto una proposta efficace per una formazione iniziale su un concetto matematico significativo: la funzione. Il percorso che presentiamo si sviluppa a partire da un’esperienza didattica in una terza secondaria inferiore in cui il passaggio dalla fase percettiva a quella più formale è affiancato dalla rappresentazione grafica relativa al moto del proprio corpo. L’attività ha permesso di avvicinare gli studenti ai fenomeni partendo da situazioni reali, di indagare le regolarità dei grafici, interpretare la relazione tra le grandezze e ha permesso a ciascuno di costruirsi un modello intuitivo. La proposta didattica si rivolge agli studenti più grandi del biennio della secondaria superiore ed è risultato abbastanza naturale adattare le prime fasi alla pre-sperimentazione. Si introduce la dipendenza lineare tra due variabili associandola ad un grafico rettilineo e si definisce la relazione che lega le variabili spazio temporali. Il passaggio al concetto di limite viene delineato attraverso l’ingrandimento e l’approssimazione della curva senza necessariamente introdurre rigore e formalismo ma sottolineando la finezza del significato matematico e il senso del procedimento. Tale proposta è un intreccio di contenuti matematici e fisici che avvicina gli studenti allo studio e alla comprensione della realtà di cui fanno parte.

Semigruppi di operatori ed equazioni paraboliche

Primi elementi della teoria dei semigruppi di operatori lineari e applicazione del metodo dei semigruppi alle equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo parabolico.

Programmazione funzionale in spazio logaritmico: una libreria di funzione aritmetiche

In questa Tesi forniamo una libreria di funzioni aritmetiche che operano in spazio logaritmico rispetto all'input. Partiamo con un'analisi dei campi in cui è necessario o conveniente porre dei limiti, in termini di spazio utilizzato, alla computazione di un determinato software. Vista la larga diffusione del Web, si ha a che fare con collezioni di dati enormi e che magari risiedono su server remoti: c'è quindi la necessità di scrivere programmi che operino su questi dati, pur non potendo questi dati entrare tutti insieme nella memoria di lavoro del programma stesso. In seguito studiamo le nozioni teoriche di Complessità, in particolare quelle legate allo spazio di calcolo, utilizzando un modello alternativo di Macchina di Turing: la Offline Turing Machine. Presentiamo quindi un nuovo “modello” di programmazione: la computazione bidirezionale, che riteniamo essere un buon modo di strutturare la computazione limitata in spazio. Forniamo poi una “guida al programmatore” per un linguaggio di recente introduzione, IntML, che permettere la realizzazione di programmi logspace mantenendo però il tradizionale stile di programmazione funzionale. Infine, per mostrare come IntML permetta concretamente di scrivere programmi limitati in spazio, realizziamo una libreria di funzioni aritmetiche che operano in spazio logaritmico. In particolare, mostriamo funzioni per calcolare divisione intera e resto sui naturali, e funzioni per confrontare, sommare e moltiplicare numeri espressi come parole binarie.

Il concetto di funzione: storia, applicazioni, sviluppi

Il concetto di funzione è tra i più rilevanti, ma anche tra i più controversi concetti matematici. In questo lavoro di tesi si è esaminato questo concetto a partire dalle sue origini fino ad arrivare alla definizione bourbakista, che è quella insegnata a tutti gli studenti a partire dalla scuola secondaria fino ad arrivare all'università. Successivamente si è analizzato in che modo questo delicato concetto viene presentato agli studenti delle scuole secondarie di secondo grado, osservando come le recenti Indicazioni Nazionali e Linee Guida danno suggerimenti per affrontare questo argomento, anche esaminando alcuni libri di testo. Infine si è descritto come il concetto di funzione abbia preso, in tempi relativamente recenti, un respiro più ampio dando luogo all'analisi funzionale, laddove le funzioni non sono più viste come corrispondenza punto a punto ma come oggetti che vengono osservati globalmente. Si considereranno infatti nuovi spazi i cui elementi sono funzioni.

Le coniche

Scopo della tesi è presentare una piccola panoramica sulle coniche incentrata principalmente sui contenuti proposti nella scuola superiore: definizioni delle coniche come luoghi geometrici, alcune proprietà elementari, le loro equazioni canoniche, un esempio dei problemi proposti sui testi e applicazioni extra-geometriche. Successivamente sono presentate altre proprietà più specialistiche: similitudine ed eccentricità, classificazione affine e classificazione proiettiva delle coniche, per mostrare come questo argomento per essere affrontato in modo più vasto richieda nozioni che solitamente non fanno parte dei programmi della scuola superiore: similitudini, affinità, trasformazioni proiettive, matrici e loro rango, autovalori ed autovettori, forme quadratiche. Sono inoltre presentate alcune costruzioni realizzate con l’ausilio del software Geogebra, ormai diffuso in molte scuole, che riunisce in una sola pagina grafica sia il piano euclideo, tipico della "Geometria dinamica", sia il piano cartesiano su cui tracciare i grafici di funzioni, ed equazioni di coniche.

Alcune caratterizzazioni delle funzioni convesse nei gruppi di Carnot

In questa trattazione ci proponiamo di analizzare e approfondire alcune delle definizioni fondamentali di funzione convessa; l’ambiente nel quale lavoreremo non si limiterà a quello euclideo, ma spazierà anche tra gruppo di Heisenberg e gruppo di Carnot. In questo lavoro dimostriamo una nuova caratterizzazione delle funzioni convesse in termini delle proprietà di sottomedia.

Su alcune applicazioni del teorema di Stokes

Nel lavoro si dimostrano il Teorema della Divergenza e il Teorema di Stokes e le sue generalizzazioni a una curva chiusa di ordine k e a una varietà M, n-dimensionale, orientata con bordo. Successivamente si espongono due applicazioni alla fisica: l'elettromagnetismo e la formula del rotore. Nel primo caso si mostra come applicando il Teorema alle leggi di Biot-Savarat e di Faraday si ottengono le equazioni di Maxwell; nel secondo invece si osserva come il rotore rappresenti la densità superficiale di circuitazione.

Valutazione analitica delle aree di delaminazione in materiali compositi avanzati soggetti ad impatti a bassa velocità

In questo lavoro di tesi è stato elaborato un modello analitico al fine di ottenere una stima dell’ampiezza di delaminazione a seguito di impatti a bassa velocità in laminati in composito, in particolare carbon/epoxy. Nel capitolo 2 è descritto il comportamento meccanico di tali laminati (equazioni costitutive della singola lamina, dell’intero laminato e costanti ingegneristiche dell’intero laminato per qualsiasi sistema di riferimento). Nel capitolo 3 viene descritta la filosofia di progettazione damage tolerance per tali materiali sottoposti a low-velocity impact (LVI) e richiamato il concetto di structural health monitoring. In particolare vengono descritti i tipi di difetti per un laminato in composito, vengono classificati gli impatti trasversali e si rivolge particolare attenzione agli impatti a bassa velocità. Nel paragrafo 3.4 sono invece elencate diverse tecniche di ispezione, distruttive e non, con particolare attenzione alla loro applicazione ai laminati in composito. Nel capitolo 4 è riportato lo stato dell’arte per la stima e la predizione dei danni dovuti a LVI nei laminati: vengono mostrate alcune tecniche che permettono di stimare accuratamente l’inizio del danno, la profondità dell’indentazione, la rottura delle fibre di rinforzo e la forza massima di impatto. L’estensione della delaminazione invece, è difficile da stimare a causa dei numerosi fattori che influenzano la risposta agli impatti: spesso vengono utilizzati, per tale stima, modelli numerici piuttosto dispendiosi in termini di tempo e di calcolo computazionale. Nel capitolo 5 viene quindi mostrata una prima formula analitica per il calcolo della delaminazione, risultata però inaffidabile perché tiene conto di un numero decisamente ristretto di fattori che influenzano il comportamento agli LVI. Nel capitolo 6 è mostrato un secondo metodo analitico in grado di calcolare l’ampiezza di delaminazione mediante un continuo aggiornamento della deflessione del laminato. Dal confronto con numerose prove sperimentali, sembra che il modello fornisca risultati vicini al comportamento reale. Il modello è inoltre fortemente sensibile al valore della G_IIc relativa alla resina, alle dimensioni del laminato e alle condizioni di vincolo. É invece poco sensibile alle variazioni delle costanti ingegneristiche e alla sequenza delle lamine che costituiscono il laminato. La differenza tra i risultati sperimentali e i risultati del modello analitico è influenzata da molteplici fattori, tra cui il più significativo sembra essere il valore della rigidezza flessionale, assunto costante dal modello.

Non-evolutive pattern recognition techniques: An application in medical image diagnostics

Lo studio dell’intelligenza artificiale si pone come obiettivo la risoluzione di una classe di problemi che richiedono processi cognitivi difficilmente codificabili in un algoritmo per essere risolti. Il riconoscimento visivo di forme e figure, l’interpretazione di suoni, i giochi a conoscenza incompleta, fanno capo alla capacità umana di interpretare input parziali come se fossero completi, e di agire di conseguenza. Nel primo capitolo della presente tesi sarà costruito un semplice formalismo matematico per descrivere l’atto di compiere scelte. Il processo di “apprendimento” verrà descritto in termini della massimizzazione di una funzione di prestazione su di uno spazio di parametri per un ansatz di una funzione da uno spazio vettoriale ad un insieme finito e discreto di scelte, tramite un set di addestramento che descrive degli esempi di scelte corrette da riprodurre. Saranno analizzate, alla luce di questo formalismo, alcune delle più diffuse tecniche di artificial intelligence, e saranno evidenziate alcune problematiche derivanti dall’uso di queste tecniche. Nel secondo capitolo lo stesso formalismo verrà applicato ad una ridefinizione meno intuitiva ma più funzionale di funzione di prestazione che permetterà, per un ansatz lineare, la formulazione esplicita di un set di equazioni nelle componenti del vettore nello spazio dei parametri che individua il massimo assoluto della funzione di prestazione. La soluzione di questo set di equazioni sarà trattata grazie al teorema delle contrazioni. Una naturale generalizzazione polinomiale verrà inoltre mostrata. Nel terzo capitolo verranno studiati più nel dettaglio alcuni esempi a cui quanto ricavato nel secondo capitolo può essere applicato. Verrà introdotto il concetto di grado intrinseco di un problema. Verranno inoltre discusse alcuni accorgimenti prestazionali, quali l’eliminazione degli zeri, la precomputazione analitica, il fingerprinting e il riordino delle componenti per lo sviluppo parziale di prodotti scalari ad alta dimensionalità. Verranno infine introdotti i problemi a scelta unica, ossia quella classe di problemi per cui è possibile disporre di un set di addestramento solo per una scelta. Nel quarto capitolo verrà discusso più in dettaglio un esempio di applicazione nel campo della diagnostica medica per immagini, in particolare verrà trattato il problema della computer aided detection per il rilevamento di microcalcificazioni nelle mammografie.

La funzione di Möbius di un insieme parzialmente ordinato

Nel 1837 il matematico A.F. Möbius definì la funzione aritmetica mu(n) che vale 0 se n è divisibile per il quadrato di un numero primo, (-1)^k se n è il prodotto di k primi distinti e \mu(1)=1. Essa ricopre un ruolo di fondamentale importanza per quanto riguarda la distribuzione dei numeri primi, nonché per la sua duttilità nella risoluzione di diversi problemi di conteggio grazie alla formula di inversione di Möbius, che può essere pensata come un analogo formale del teorema fondamentale del calcolo integrale. Una sorprendente varietà di problemi di calcolo combinatorio si rivelano essere nient'altro che casi particolari di un problema più generale che riguarda la possibilità di invertire una somma fatta sugli elementi di un insieme parzialmente ordinato. L'obiettivo di questo elaborato è quello di illustrare come sia possibile generalizzare il concetto di funzione aritmetica estendendolo a quello di funzione di un'algebra di incidenza. Le algebre di incidenza hanno catturato l'interesse di svariati matematici a partire dagli anni '60 del secolo scorso, e si svilupparono come ambiente naturale nel quale generalizzare la formula di inversione di Mobius. La funzione di Möbius della teoria dei numeri, definita originariamente sull'insieme dei numeri interi positivi ordinato per divisibilità, può quindi essere definita su generici insiemi parzialmente ordinati.

MOND e TeVeS: teorie alternative all'ipotesi di materia oscura

In questa tesi descriviamo due teorie, la MOND e la TeVeS, che si pongono come alternativa all’ipotesi dell’esistenza della materia oscura. Seguendo l’ordine storico degli eventi, nel primo capitolo presentiamo i dati sperimentali e le considerazioni teoriche che hanno convinto gli scienziati del ’900 che la massa osservata nell’Universo sia minore della massa dinamica inferita dalla fisica newtoniana e dalla Relatività Generale. Il primo tentativo di risolvere questo problema è consistito nell’ipotizzare l’esistenza di una materia non ancora osservata, divenuta nota come “materia oscura”. Affrontando le questioni sollevate dalle curve di rotazione delle galassie a spirale, dalla relazione di Tully-Fisher, dalla legge di Freeman e dalle fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo, vedremo come questa ipotesi si sia evoluta per tenere conto dei risultati sperimentali, a partire dal modello della sfera isoterma fino al modello ΛCDM, e i problemi che essa non risolve. Nel secondo capitolo descriviamo la MOND, una modifica della dinamica newtoniana nata con l’obiettivo di ridurre la quantità di materia oscura necessaria per descrivere l’Universo. Il problema della massa nascosta può, infatti, essere dovuto a un’incompleta comprensione delle leggi della fisica e, confrontando la MOND con i dati sperimentali presentati nel primo capitolo, vedremo come essa riesca a descrivere la dinamica su scale galattiche ed extragalattiche. Concluderemo il capitolo mostrando una densità di lagrangiana capace di riprodurre la formula fenomenologica della MOND. Per affrontare le questioni cosmologiche è necessario disporre di una teoria relativistica che recuperi la MOND nel limite di campo debole. Nel terzo capitolo trattiamo quindi la TeVeS, riportando le azioni che permettono di derivare le equazioni dei campi di tale teoria. Dopo averne studiato i limiti relativistici e non relativistici, accenneremo a come essa permetta di estendere il paradigma MOND in campo cosmologico.

Progetto di un museo marittimo sul canale Candiano a Ravenna

L’intenzione di questo progetto, all’interno di un’area complessa come la Darsena di città, è quella di comporre un nuovo museo per la città, un museo del mare. Perchè il museo del mare? A Ravenna esistono tanti musei che riguardano la cultura, l’arte, la scienza, l’archeologia ecc., ma tra tutti questi musei di funzione varia non c’è nessun’altro legato a quell’elemento fonte su cui si è basata tutta la storia e essenza di Ravenna – l’acqua. Per questo motivo, il nuovo progetto sulla Darsena e prima di tutto sul Canale Candiano vuole costruire un nuovo complesso per la città che comprende tutto quello che insieme all’acqua è diventato un patrimonio da conservare e mostrare.

Il museo del riuso. Progetto di riqualificazione dell'ex caserma Sani a Bologna

Il progetto di riqualificazione della Caserma Sani si ispira allʼinteresse nei confronti delle tematiche del recupero edilizio e urbano. Esso nasce dallʼintenzione di reintegrare unʼarea urbana in via di dismissione nel suo contesto attraverso lʼinserimento di nuove funzioni che rispondano alle esigenze di questa parte di città e nel contempo riqualificare i fabbricati esistenti attraverso un progetto di recupero e completamento che favorisca il dialogo del complesso esistente con il sistema urbano circostante. La volontà di riuso della maggioranza degli edifici facenti parte del vecchio impianto si basa su considerazioni legate alla natura stessa del sito: lʼintenzione è quella di conservarne la memoria, non tanto per il suo valore storico-architettonico, ma perché nel caso specifico della Caserma più che di memoria è opportuno parlare di scoperta, essendo, per propria natura militare, un luogo da sempre estraneo alla comunità e al suo contesto, chiuso e oscurato dal limite fisico del muro di cinta. La caserma inoltre si compone di edifici essenzialmente funzionali, di matrice industriale, la cui versatilità si legge nella semplicità e serialità morfologica, rendendoli “organismi dinamici” in grado di accogliere trasformazioni e cambi di funzione. Il riuso si muove in parallelo ai concetti di risignificazione e riciclaggio, dividendosi in modo egualmente efficace fra presupposti teorici e pratici. Esso costituisce una valida alternativa alla pratica della demolizione, nel caso in cui questa non sia specificatamente necessaria, e alle implicazione economiche e ambientali (smaltimento dei rifiuti, impiego dei trasporti e fondi economici, ecc.) che la accompagnano. Alla pratica del riuso si affianca nel progetto quella di completamento e ampliamento, arricchendo il vecchio sistema di edifici con nuove costruzioni che dialoghino discretamente con la preesistenza stabilendo un rapporto di reciproca complementarietà. Il progetto di riqualificazione si basa su più ampie considerazioni a livello urbano, che prevedono lʼintegrazione dellʼarea ad un sistema di attraversamento pedonale e ciclabile che colleghi da nord a sud le principali risorse verdi del quartiere passando per alcuni dei principali poli attrattori dellʼarea, quali la Stazione Centrale, il Dopolavoro Ferroviario adibito a verde attrezzato, il nuovo Tecno Polo che sorgerà grazie al progetto di riqualificazione previsto per lʼex Manifattura Tabacchi di Pier Luigi Nervi e il nuovo polo terziario che sorgerà dalla dismissione delle ex Officine Cevolani. In particolare sono previsti due sistemi di collegamento, uno ciclo-pedonale permesso dalla nuova pista ciclabile, prevista dal nuovo Piano Strutturale lungo il sedime della vecchia ferrovia che correrà da nord a sud collegando il Parco della Montagnola e in generale il centro storico al Parco Nord, situato oltre il limite viario della tangenziale. Parallelamente alla pista ciclabile, si svilupperà allʼinterno del tessuto un ampio viale pedonale che, dal Dopolavoro Ferroviario (parco attrezzato con impianti sportivi) collegherà la grande area verde che sorgerà dove ora giacciono i resti delle ex Industrie Casaralta, adiacenti alla Caserma Sani, già oggetto di bonifica e in via di dismissione, incontrando lungo il suo percorso differenti realtà e funzioni: complessi residenziali, terziari, il polo culturale e le aree verdi. Allʼinterno dellʼarea della Caserma sarà integrato agli edifici, nuovi e preesistenti, un sistema di piazze pavimentate e percorsi di attraversamento che lo riuniscono al tessuto circostante e favoriscono il collegamento da nord a sud e da est a ovest di zone della città finora poco coinvolte dal traffico pedonale, in particolare è il caso del Fiera District separato dal traffico veloce di Via Stalingrado rispetto alla zona residenziale della Bolognina. Il progetto lascia ampio spazio alle aree verdi, le quali costituiscono più del 50 % della superficie di comparto, garantendo una preziosa risorsa ambientale per il quartiere. Lʼintervento assicura lʼinserimento di una molteplicità di funzioni e servizi: residenze unifamiliari e uno studentato, uffici e commercio, una biblioteca, un auditorium e un polo museale.