The Libor Market Model: from theory to calibration

This thesis is focused on the financial model for interest rates called the LIBOR Market Model. In the appendixes, we provide the necessary mathematical theory. In the inner chapters, firstly, we define the main interest rates and financial instruments concerning with the interest rate models, then, we set the LIBOR market model, demonstrate its existence, derive the dynamics of forward LIBOR rates and justify the pricing of caps according to the Black’s formula. Then, we also present the Swap Market Model, which models the forward swap rates instead of the LIBOR ones. Even this model is justified by a theoretical demonstration and the resulting formula to price the swaptions coincides with the Black’s one. However, the two models are not compatible from a theoretical point. Therefore, we derive various analytical approximating formulae to price the swaptions in the LIBOR market model and we explain how to perform a Monte Carlo simulation. Finally, we present the calibration of the LIBOR market model to the markets of both caps and swaptions, together with various examples of application to the historical correlation matrix and the cascade calibration of the forward volatilities to the matrix of implied swaption volatilities provided by the market.

Jarrow-Yildirim model for inflation: theory and applications

This thesis deals with inflation theory, focussing on the model of Jarrow & Yildirim, which is nowadays used when pricing inflation derivatives. After recalling main results about short and forward interest rate models, the dynamics of the main components of the market are derived. Then the most important inflation-indexed derivatives are explained (zero coupon swap, year-on-year, cap and floor), and their pricing proceeding is shown step by step. Calibration is explained and performed with a common method and an heuristic and non standard one. The model is enriched with credit risk, too, which allows to take into account the possibility of bankrupt of the counterparty of a contract. In this context, the general method of pricing is derived, with the introduction of defaultable zero-coupon bonds, and the Monte Carlo method is treated in detailed and used to price a concrete example of contract. Appendixes: A: martingale measures, Girsanov's theorem and the change of numeraire. B: some aspects of the theory of Stochastic Differential Equations; in particular, the solution for linear EDSs, and the Feynman-Kac Theorem, which shows the connection between EDSs and Partial Differential Equations. C: some useful results about normal distribution.

Transportation theory and planning

The aim of this research is to analyze the transport system and its subcomponents in order to highlight which are the design tools for physical and/or organizational projects related to transport supply systems. A characteristic of the transport systems is that the change of their structures can recoil on several entities, groups of entities, which constitute the community. The construction of a new infrastructure can modify both the transport service characteristic for all the user of the entire network; for example, the construction of a transportation infrastructure can change not only the transport service characteristics for the users of the entire network in which it is part of, but also it produces economical, social, and environmental effects. Therefore, the interventions or the improvements choices must be performed using a rational decision making approach. This approach requires that these choices are taken through the quantitative evaluation of the different effects caused by the different intervention plans. This approach becomes even more necessary when the decisions are taken in behalf of the community. Then, in order to understand how to develop a planning process in Transportation I will firstly analyze the transport system and the mathematical models used to describe it: these models provide us significant indicators which can be used to evaluate the effects of possible interventions. In conclusion, I will move on the topics related to the transport planning, analyzing the planning process, and the variables that have to be considered to perform a feasibility analysis or to compare different alternatives. In conclusion I will perform a preliminary analysis of a new transit system which is planned to be developed in New York City.

Unusual corrections to scaling in excited states of conformal field theory

In questo lavoro abbiamo studiato la presenza di correzioni, dette unusuali, agli stati eccitati delle teorie conformi. Inizialmente abbiamo brevemente descritto l'approccio di Calabrese e Cardy all'entropia di entanglement nei sistemi unidimensionali al punto critico. Questo approccio permette di ottenere la famosa ed universale divergenza logaritmica di questa quantità. Oltre a questo andamento logaritmico son presenti correzioni, che dipendono dalla geometria su cui si basa l'approccio di Calabrese e Cardy, il cui particolare scaling è noto ed è stato osservato in moltissimi lavori in letteratura. Questo scaling è dovuto alla rottura locale della simmetria conforme, che è una conseguenza della criticità del sistema, intorno a particolari punti detti branch points usati nell'approccio di Calabrese e Cardy. In questo lavoro abbiamo dimostrato che le correzioni all'entropia di entanglement degli stati eccitati della teoria conforme, che può anch'essa essere calcolata tramite l'approccio di Calabrese e Cardy, hanno lo stesso scaling di quelle osservate negli stati fondamentali. I nostri risultati teorici sono stati poi perfettamente confermati dei calcoli numerici che abbiamo eseguito sugli stati eccitati del modello XX. Sono stati inoltre usati risultati già noti per lo stato fondamentale del medesimo modello per poter studiare la forma delle correzioni dei suoi stati eccitati. Questo studio ha portato alla conclusione che la forma delle correzioni nei due differenti casi è la medesima a meno di una funzione universale.

Quantum field theory of (p,0)-forms on kaehler manifolds

In questa tesi abbiamo studiato la quantizzazione di una teoria di gauge di forme differenziali su spazi complessi dotati di una metrica di Kaehler. La particolarità di queste teorie risiede nel fatto che esse presentano invarianze di gauge riducibili, in altre parole non indipendenti tra loro. L'invarianza sotto trasformazioni di gauge rappresenta uno dei pilastri della moderna comprensione del mondo fisico. La caratteristica principale di tali teorie è che non tutte le variabili sono effettivamente presenti nella dinamica e alcune risultano essere ausiliarie. Il motivo per cui si preferisce adottare questo punto di vista è spesso il fatto che tali teorie risultano essere manifestamente covarianti sotto importanti gruppi di simmetria come il gruppo di Lorentz. Uno dei metodi più usati nella quantizzazione delle teorie di campo con simmetrie di gauge, richiede l'introduzione di campi non fisici detti ghosts e di una simmetria globale e fermionica che sostituisce l'iniziale invarianza locale di gauge, la simmetria BRST. Nella presente tesi abbiamo scelto di utilizzare uno dei più moderni formalismi per il trattamento delle teorie di gauge: il formalismo BRST Lagrangiano di Batalin-Vilkovisky. Questo metodo prevede l'introduzione di ghosts per ogni grado di riducibilità delle trasformazioni di gauge e di opportuni “antifields" associati a ogni campo precedentemente introdotto. Questo formalismo ci ha permesso di arrivare direttamente a una completa formulazione in termini di path integral della teoria quantistica delle (p,0)-forme. In particolare esso permette di dedurre correttamente la struttura dei ghost della teoria e la simmetria BRST associata. Per ottenere questa struttura è richiesta necessariamente una procedura di gauge fixing per eliminare completamente l'invarianza sotto trasformazioni di gauge. Tale procedura prevede l'eliminazione degli antifields in favore dei campi originali e dei ghosts e permette di implementare, direttamente nel path integral condizioni di gauge fixing covarianti necessari per definire correttamente i propagatori della teoria. Nell'ultima parte abbiamo presentato un’espansione dell’azione efficace (euclidea) che permette di studiare le divergenze della teoria. In particolare abbiamo calcolato i primi coefficienti di tale espansione (coefficienti di Seeley-DeWitt) tramite la tecnica dell'heat kernel. Questo calcolo ha tenuto conto dell'eventuale accoppiamento a una metrica di background cosi come di un possibile ulteriore accoppiamento alla traccia della connessione associata alla metrica.

Planck stars: theory and phenomenology

General Relativity (GR) is one of the greatest scientific achievements of the 20th century along with quantum theory. Despite the elegance and the accordance with experimental tests, these two theories appear to be utterly incompatible at fundamental level. Black holes provide a perfect stage to point out these difficulties. Indeed, classical GR fails to describe Nature at small radii, because nothing prevents quantum mechanics from affecting the high curvature zone, and because classical GR becomes ill-defined at r = 0 anyway. Rovelli and Haggard have recently proposed a scenario where a negative quantum pressure at the Planck scales stops and reverts the gravitational collapse, leading to an effective “bounce” and explosion, thus resolving the central singularity. This scenario, called Black Hole Fireworks, has been proposed in a semiclassical framework. The purpose of this thesis is twofold: - Compute the bouncing time by means of a pure quantum computation based on Loop Quantum Gravity; - Extend the known theory to a more realistic scenario, in which the rotation is taken into account by means of the Newman-Janis Algorithm.

Quantum simulation of (1+1)D QED via a Zn lattice Gauge theory

La simulazione di un sistema quantistico complesso rappresenta ancora oggi una sfida estremamente impegnativa a causa degli elevati costi computazionali. La dimensione dello spazio di Hilbert cresce solitamente in modo esponenziale all'aumentare della taglia, rendendo di fatto impossibile una implementazione esatta anche sui più potenti calcolatori. Nel tentativo di superare queste difficoltà, sono stati sviluppati metodi stocastici classici, i quali tuttavia non garantiscono precisione per sistemi fermionici fortemente interagenti o teorie di campo in regimi di densità finita. Di qui, la necessità di un nuovo metodo di simulazione, ovvero la simulazione quantistica. L'idea di base è molto semplice: utilizzare un sistema completamente controllabile, chiamato simulatore quantistico, per analizzarne un altro meno accessibile. Seguendo tale idea, in questo lavoro di tesi si è utilizzata una teoria di gauge discreta con simmetria Zn per una simulazione dell'elettrodinamica quantistica in (1+1)D, studiando alcuni fenomeni di attivo interesse di ricerca, come il diagramma di fase o la dinamica di string-breaking, che generalmente non sono accessibili mediante simulazioni classiche. Si propone un diagramma di fase del modello caratterizzato dalla presenza di una fase confinata, in cui emergono eccitazioni mesoniche ed antimesoniche, cioè stati legati particella-antiparticella, ed una fase deconfinata.

The wind profile in the atmospheric stable boundary layer over complex terrain and heterogeneous surfaces: limitations of local similarity theory

L'indagine ha riguardato il profilo del vento nei primi 30 metri dello strato limite atmosferico stabile nell'ambito della teoria di similarità locale. Ad oggi, diversi esperimenti hanno confermato la validità della teoria per strati-limite su terreni livellati e superfici omogenee. Tali condizioni ideali sono però infrequenti nella realtà ed è perciò importante capire quali siano i limiti della similarità locale per strati-limite su terreni complessi e superfici disomogenee. Entrambe le condizioni sono presenti a Ny-Alesund (Svalbard, Norvegia) dove il Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR), nel 2009, ha installato una torre di 30 m, la Amudsen-Nobile Climate Change Tower (CCT), per lo studio dello strato-limite artico. Il lavoro di tesi ha riguardato misure di vento e turbolenza acquisite sulla CCT da maggio 2012 a maggio 2014. Il confronto tra le velocità del vento misurate dagli anemometri installati sulla CCT, ha rivelato criticità nel dato sonico manifestatesi con sovrastime sistematiche e maggiore erraticità rispetto alle misure provenienti dagli anemometri a elica. Un test condotto fra diversi metodi per il calcolo dei gradienti verticali della velocità del vento ha rivelato scarsa sensibilità dei risultati ottenuti al particolare metodo utilizzato. Lo studio ha riguardato i gradienti verticali adimensionali della velocità del vento nei primi 30-m dello strato limite stabile. Deviazioni significative tra i tra le osservazioni e i valori predetti dalla similarità locale sono state osservate in particolare per i livelli più distanti dal suolo e per valori crescenti del parametro di stabilità z/L (L, lunghezza di Obukhov locale). In particolare, si sono osservati gradienti adimensionali inferiori a quelli predetti dalle più usate relazioni di flusso-gradiente. Tali deviazioni, presenti perlopiù per z/L>0.1, sono state associate ad un effetto di accentuazione della turbolenza da parte delle irregolarità del terreno. Per condizioni meno stabili, z/L<0.1, scarti positivi tra i gradienti osservati e quelli attesi sono stati attribuiti alla formazione di strati limite interni in condizioni di vento dal mare verso la costa. Sono stati proposti diversi metodi per la stima dell'effetto della self-correlazione nella derivazione delle relazioni di flusso-gradiente, dovuta alla condivisione della variabile u*. La formula per il coefficiente lineare di self correlazione e le sue distribuzioni di probabilità empiriche sono state derivate e hanno permesso di stimare il livello di self-correlazione presente nel dataset considerato.

Dynamical Casimir effect and the structure of vacuum in quantum field theory

Some of the most interesting phenomena that arise from the developments of the modern physics are surely vacuum fluctuations. They appear in different branches of physics, such as Quantum Field Theory, Cosmology, Condensed Matter Physics, Atomic and Molecular Physics, and also in Mathematical Physics. One of the most important of these vacuum fluctuations, sometimes called "zero-point energy", as well as one of the easiest quantum effect to detect, is the so-called Casimir effect. The purposes of this thesis are: - To propose a simple retarded approach for dynamical Casimir effect, thus a description of this vacuum effect when we have moving boundaries. - To describe the behaviour of the force acting on a boundary, due to its self-interaction with the vacuum.

Aspects of supergeometry in locally covariant quantum field theory

In questa tesi vengono presentati i piu recenti risultati relativi all'estensione della teoria dei campi localmente covariante a geometrie che permettano di descrivere teorie di campo supersimmetriche. In particolare, si mostra come la definizione assiomatica possa essere generalizzata, mettendo in evidenza le problematiche rilevanti e le tecniche utilizzate in letteratura per giungere ad una loro risoluzione. Dopo un'introduzione alle strutture matematiche di base, varieta Lorentziane e operatori Green-iperbolici, viene definita l'algebra delle osservabili per la teoria quantistica del campo scalare. Quindi, costruendo un funtore dalla categoria degli spazio-tempo globalmente iperbolici alla categoria delle *-algebre, lo stesso schema viene proposto per le teorie di campo bosoniche, purche definite da un operatore Green-iperbolico su uno spazio-tempo globalmente iperbolico. Si procede con lo studio delle supervarieta e alla definizione delle geometrie di background per le super teorie di campo: le strutture di super-Cartan. Associando canonicamente ad ognuna di esse uno spazio-tempo ridotto, si introduce la categoria delle strutture di super-Cartan (ghsCart) il cui spazio-tempo ridotto e globalmente iperbolico. Quindi, si mostra, in breve, come e possibile costruire un funtore da una sottocategoria di ghsCart alla categoria delle super *-algebre e si conclude presentando l'applicazione dei risultati esposti al caso delle strutture di super-Cartan in dimensione 2|2.