Laplace operator on finite graphs and a network diffusion model for the progression of the Alzheimer disease

Nella tesi viene descritto il Network Diffusion Model, ovvero il modello di A. Ray, A. Kuceyeski, M. Weiner inerente i meccanismi di progressione della demenza senile. In tale modello si approssima l'encefalo sano con una rete cerebrale (ovvero un grafo pesato), si identifica un generale fattore di malattia e se ne analizza la propagazione che avviene secondo meccanismi analoghi a quelli di un'infezione da prioni. La progressione del fattore di malattia e le conseguenze macroscopiche di tale processo(tra cui principalmente l'atrofia corticale) vengono, poi, descritte mediante approccio matematico. I risultati teoretici vengono confrontati con quanto osservato sperimentalmente in pazienti affetti da demenza senile. Nella tesi, inoltre, si fornisce una panoramica sui recenti studi inerenti i processi neurodegenerativi e si costruisce il contesto matematico di riferimento del modello preso in esame. Si presenta una panoramica sui grafi finiti, si introduce l'operatore di Laplace sui grafi e si forniscono stime dall'alto e dal basso per gli autovalori. Al fine di costruire una cornice matematica completa si analizza la relazione tra caso discreto e continuo: viene descritto l'operatore di Laplace-Beltrami sulle varietà riemanniane compatte e vengono fornite stime dall'alto per gli autovalori dell'operatore di Laplace-Beltrami associato a tali varietà a partire dalle stime dall'alto per gli autovalori del laplaciano sui grafi finiti.

Keller-Segel system, chemotaxis and applications to a mathematical model for Alzheimer's disease

In questa tesi viene presentato il modello di Keller-Segel per la chemiotassi, un sistema di tipo parabolico-ellittico che appare nella descrizione di molti fenomeni in ambito biologico e medico. Viene mostrata l'esistenza globale della soluzione debole del modello, per dati iniziali sufficientemente piccoli in dimensione N>2. La scelta di dati iniziali abbastanza grandi invece può causare il blow-up della soluzione e viene mostrato sotto quali condizioni questo si verifica. Infine il modello della chemiotassi è stato applicato per descrivere una fase della malattia di Alzheimer ed è stata effettuata un'analisi di stabilità del sistema.

Description and Prediction of Freezing of Gait in Parkinson's Disease from Wearable Inertial Measurements Units

Parkinson's disease (PD) is a neuro-degenerative disorder, the second most common after Alzheimer's disease. After diagnosis, treatments can help to relieve the symptoms, but there is no known cure for PD. PD is characterized by a combination of motor and no-motor dysfunctions. Among the motor symptoms there is the so called Freezing of Gait (FoG). The FoG is a phenomenon in PD patients in which the feet stock to the floor and is difficult for the patient to initiate movement. FoG is a severe problem, since it is associated with falls, anxiety, loss of mobility, accidents, mortality and it has substantial clinical and social consequences decreasing the quality of life in PD patients. Medicine can be very successful in controlling movements disorders and dealing with some of the PD symptoms. However, the relationship between medication and the development of FoG remains unclear. Several studies have demonstrated that visual or auditory rhythmical cuing allows PD patients to improve their motor abilities. Rhythmic auditory stimulation (RAS) was shown to be particularly effective at improving gait, specially with patients that manifest FoG. While RAS allows to reduce the time and the effects of FoGs occurrence in PD patients after the FoG is detected, it can not avoid the episode due to the latency of detection. An improvement of the system would be the prediction of the FoG. This thesis was developed following two main objectives: (1) the finding of specifics properties during pre FoG periods different from normal walking context and other walking events like turns and stops using the information provided by the inertial measurements units (IMUs) and (2) the formulation of a model for automatically detect the pre FoG patterns in order to completely avoid the upcoming freezing event in PD patients. The first part focuses on the analysis of different methods for feature extraction which might lead in the FoG occurrence.