Knot theory and its applications

Nella tesi verranno presi in considerazione tre aspetti: si descriverà come la teoria dei nodi si sia sviluppata nel corso degli anni in relazione alle diverse scoperte scientifiche avvenute. Si potrà quindi subito avere una idea di come questa teoria sia estremamente connessa a diverse altre. Nel secondo capitolo ci si occuperà degli aspetti più formali di questa teoria. Si introdurrà il concetto di nodi equivalenti e di invariante dei nodi. Si definiranno diversi invarianti, dai più elementari, le mosse di Reidemeister, il numero di incroci e la tricolorabilità, fino ai polinomi invarianti, tra cui il polinomio di Alexander, il polinomio di Jones e quello di Kaufman. Infine si spiegheranno alcune applicazioni della teoria dei nodi in chimica, fisica e biologia. Sulla chimica, si definirà la chiralità molecolare e si mostrerà come la chiralità dei nodi possa essere utile nel determinare quella molecolare. In campo fisico, si mostrerà la relazione che esiste tra l'equazione di Yang-Baxter e i nodi. E in conclusione si mostrerà come modellare un importante processo biologico, la recombinazione del DNA, grazie alla teoria dei nodi.

Quantum groups and vertex models

Nella tesi vengono presentate alcune relazioni fra gruppi quantici e modelli reticolari. In particolare si associa un modello vertex a una rappresentazione di un'algebra inviluppante quantizzata affine e si mostra che, specializzando il parametro quantistico ad una radice dell'unità, si manifestano speciali simmetrie.

Monoidal categories for the physics of integrable models

Scopo di questa tesi é di evidenziare le connessioni tra le categorie monoidali, l'equazione di Yang-Baxter e l’integrabilità di alcuni modelli. Oggetto prinacipale del nostro lavoro é stato il monoide di Frobenius e come sia connesso alle C∗-algebre. In questo contesto la totalità delle dimostrazioni sfruttano la strumentazione dell'algebra diagrammatica. Nel corso del lavoro di tesi sono state riprodotte tali dimostrazioni tramite il più familiare linguaggio dell’algebra multilineare allo scopo di rendere più fruibili questi risultati ad un raggio più ampio di potenziali lettori.

Taylor formula for Kolmogorov equations

After briefly discuss the natural homogeneous Lie group structure induced by Kolmogorov equations in chapter one, we define an intrinsic version of Taylor polynomials and Holder spaces in chapter two. We also compare our definition with others yet known in literature. In chapter three we prove an analogue of Taylor formula, that is an estimate of the remainder in terms of the homogeneous metric.

Preconditioning strategies for the numerical solution of convection-diffusion partial differential equations

Il trattamento numerico dell'equazione di convezione-diffusione con le relative condizioni al bordo, comporta la risoluzione di sistemi lineari algebrici di grandi dimensioni in cui la matrice dei coefficienti è non simmetrica. Risolutori iterativi basati sul sottospazio di Krylov sono ampiamente utilizzati per questi sistemi lineari la cui risoluzione risulta particolarmente impegnativa nel caso di convezione dominante. In questa tesi vengono analizzate alcune strategie di precondizionamento, atte ad accelerare la convergenza di questi metodi iterativi. Vengono confrontati sperimentalmente precondizionatori molto noti come ILU e iterazioni di tipo inner-outer flessibile. Nel caso in cui i coefficienti del termine di convezione siano a variabili separabili, proponiamo una nuova strategia di precondizionamento basata sull'approssimazione, mediante equazione matriciale, dell'operatore differenziale di convezione-diffusione. L'azione di questo nuovo precondizionatore sfrutta in modo opportuno recenti risolutori efficienti per equazioni matriciali lineari. Vengono riportati numerosi esperimenti numerici per studiare la dipendenza della performance dei diversi risolutori dalla scelta del termine di convezione, e dai parametri di discretizzazione.

Studio geometrico differenziale dell'evoluzione storica del simbolo dello Yin-Yang (Taijitu)

Alla base dell'elaborato vi è uno studio geometrico differenziale del Taijitu ed in particolare della curva centrale presente nel simbolo; il tutto ripercorrendo cronologicamente ed in termini matematici il cambiamento che il simbolo ha subito nel corso del tempo. Tale studio è consistito, implementando un programma Matlab, nell'approssimazione mediante curve di Bézier, seguita da osservazioni sul grado delle curve trovate e sulla loro differenziabilità.

Applications of elliptic functions to solve differential equations

In questa tesi si mostrano alcune applicazioni degli integrali ellittici nella meccanica Hamiltoniana, allo scopo di risolvere i sistemi integrabili. Vengono descritte le funzioni ellittiche, in particolare la funzione ellittica di Weierstrass, ed elenchiamo i tipi di integrali ellittici costruendoli dalle funzioni di Weierstrass. Dopo aver considerato le basi della meccanica Hamiltoniana ed il teorema di Arnold Liouville, studiamo un esempio preso dal libro di Moser-Integrable Hamiltonian Systems and Spectral Theory, dove si prendono in considerazione i sistemi integrabili lungo la geodetica di un'ellissoide, e il sistema di Von Neumann. In particolare vediamo che nel caso n=2 abbiamo un integrale ellittico.