Integrali sui cammini e ordinamento di Weyl

In questa tesi viene affrontato lo studio degli integrali funzionali nella meccanica quantistica, sia come rielaborazione dell'operatore di evoluzione temporale che costruendo direttamente una somma sui cammini. Vengono inoltre messe in luce ambiguit\`a dovute alla discretizzazione dell'azione corrispondenti ai problemi di ordinamento operatoriale della formulazione canonica. Si descrive inoltre come una possibile scelta della discretizzazione dell'integrale funzionale pu\`o essere ottenuta utilizzando l'ordinamento di Weyl dell'opertore Hamiltoniano, sfruttando la relazione tra Hamiltoniana Weyl ordinata e la prescrizione del punto di mezzo da usare nella discretizzazione dell'azione classica. Studieremo in particolare il caso di una particella non relativistica interagente con un potenziale scalare, un potenziale vettore (campo magnetico) ed un potenziale tensore (metrica).

On the trace anomaly of a Weyl fermion

La seguente tesi si sviluppa in tre parti: un'introduzione alle simmetrie conformi e di scala, una parte centrale dedicata alle anomalie quantistiche ed una terza parte dedicata all'anomalia di traccia per fermioni. Nella seconda parte in particolare si introduce il metodo di calcolo alla Fujikawa e si discute la scelta di regolatori adeguati ed un metodo per ottenerli, si applicano poi questi metodi ai campi, scalare e vettoriale, per l'anomalia di traccia in spazio curvo. Nell'ultimo capitolo si calcolano le anomalie di traccia per un fermione di Dirac e per uno di Weyl; la motivazione per calcolare queste anomalie nasce dal fatto che recenti articoli hanno suggerito che possa emergere un termine immaginario proporzionale alle densità di Pontryagin nell'anomalia di Weyl. Noi non abbiamo trovato questo termine e il risultato è che l'anomalia di traccia risulta essere metà di quella per il caso di Dirac.

Sistemi di radici

In questa tesi studiamo il ruolo dei sistemi di radici nella classificazione delle algebre di Lie e delle superalgebre di Lie. L'interesse per le superalgebre di Lie nasce nei primi anni '70 quando una parte dei fisici si convinse che sarebbe stato più utile e molto più chiaro riuscire ad avere uno schema di riferimento unitario in cui non dovesse essere necessario trattare separatamente particelle fisiche come bosoni e fermioni. Una teoria sistematica sulle superalgebre di Lie fu introdotta da V. Kac nel 1977 che diede la classificazione delle superalgebre di Lie semplici su un campo algebricamente chiuso.

Fermioni di Dirac nel grafene

In questo lavoro si affronta l'argomento dei fermioni di Dirac nel grafene, si procederà compiendo nel primo capitolo un'analisi alla struttura reticolare del materiale per poi ricostruirne, sfruttando l'approssimazione di tigth-binding, le funzioni d'onda delle particelle che vivono negli orbitali del carbonio sistemate nella struttura reticolare e ricavarne grazie al passaggio in seconda quantizzazione l'Hamiltoniana. Nel secondo capitolo si ricavano brevemente le equazioni di Dirac e dopo una piccola nota storica si discutono le equazioni di Weyl arrivando all'Hamiltoniana dei fermioni a massa nulla mostrando la palese uguaglianza alla relazione di dispersione delle particelle del grafene. Nel terzo capitolo si commentano le evidenze sperimentali ottenute dalla ASPEC in cui si manifesta per le basse energie uno spettro lineare, dando così conferma alla teoria esposta nei capitoli precedenti.

Representations of semisimple Lie algebras

La tesi è dedicata allo studio delle rappresentazioni delle algebre di Lie semisemplici su un campo algebricamente chiuso di caratteristica zero. Mediante il teorema di Weyl sulla completa riducibilità, ogni rappresentazione di dimensione finita di una algebra di Lie semisemplice è scrivibile come somma diretta di sottorappresentazioni irriducibili. Questo permette di poter concentrare l'attenzione sullo studio delle rappresentazioni irriducibili. Inoltre, mediante il ricorso all'algebra inviluppante universale si ottiene che ogni rappresentazione irriducibile è una rappresentazione di peso più alto. Perciò è naturale chiedersi quando una rappresentazione di peso più alto sia di dimensione finita ottenendo che condizione necessaria e sufficiente perché una rappresentazione di peso più alto sia di dimensione finita è che il peso più alto sia dominante. Immediata è quindi l'applicazione della teoria delle rappresentazioni delle algebre di Lie semisemplici nello studio delle superalgebre di Lie, in quanto costituite da un'algebra di Lie e da una sua rappresentazione, dove viene utilizzata la tecnica della Z-graduazione che viene utilizzata per la prima volta da Victor Kac nello studio delle algebre di Lie di dimensione infinita nell'articolo ''Simple irreducible graded Lie algebras of finite growth'' del 1968.

Stelle nel mondo-brana

Lo scopo di questa tesi consiste nello studio delle proprietà generali di sistemi compatti statici e a simmetria sferica nell'ambito dei modelli che prevedono l'esistenza di dimensioni spaziali aggiuntive e che sono comunemente dette del mondo-brana. Si comincerà con una breve descrizione di teorie gravitazionali a più dimensioni, in particolare si parte dalla teoria di Kaluza-Klein, per arrivare ai modelli ADD(Arkani-Hamed, Dimopoulos, Dvali) e infine a quelli RS(Rundall, Sundrum)che interessano direttamente questo studio. Per questi modelli, vengono quindi ricavate le equazioni di campo multidimensionali dall'azione di Einstein-Hilbert e successivamente le si proietta, facendo uso delle equazioni di Gauss e Codazzi, su una brana massiva immersa in un “bulk” cinquedimensionale. Infine si studiano le equazioni di campo di Einstein quadridimensionali per una generica metrica che può servire a descrive stelle statiche, a simmetria sferica e costituite da un fluido perfetto isotropo. Successivamente si ripete la stessa analisi partendo dall'equazione di campo sulla brana e si confrontano i risultati nei due diversi contesti.

Distribuzioni di quasi-probabilità: la funzione di Wigner

L'elaborato fornisce una introduzione alla funzione di Wigner, ovvero una funzione di fase che gioca un ruolo chiave in alcuni ambiti della fisica come l'ottica quantistica. Nel primo capitolo viene sviluppato sommariamente l'apparato matematico-fisico della quantizzazione di Weyl e quindi introdotta l'omonima mappa di quantizzazione tra funzioni di fase ed operatori quantistici. Nella seconda parte si delinea la nozione di distribuzione di quasi-probabilit\`a e si danno alcune importanti esemplificazioni della funzione di Wigner per gli autostati dell'oscillatore armonico. Per finire l'ultimo capitolo tratteggia il panorama sperimentale all'interno del quale la funzione di Wigner viene utilizzata.