Weighted geometric mean of large-scale matrices: numerical analysis and algorithms

Computing the weighted geometric mean of large sparse matrices is an operation that tends to become rapidly intractable, when the size of the matrices involved grows. However, if we are not interested in the computation of the matrix function itself, but just in that of its product times a vector, the problem turns simpler and there is a chance to solve it even when the matrix mean would actually be impossible to compute. Our interest is motivated by the fact that this calculation has some practical applications, related to the preconditioning of some operators arising in domain decomposition of elliptic problems. In this thesis, we explore how such a computation can be efficiently performed. First, we exploit the properties of the weighted geometric mean and find several equivalent ways to express it through real powers of a matrix. Hence, we focus our attention on matrix powers and examine how well-known techniques can be adapted to the solution of the problem at hand. In particular, we consider two broad families of approaches for the computation of f(A) v, namely quadrature formulae and Krylov subspace methods, and generalize them to the pencil case f(A\B) v. Finally, we provide an extensive experimental evaluation of the proposed algorithms and also try to assess how convergence speed and execution time are influenced by some characteristics of the input matrices. Our results suggest that a few elements have some bearing on the performance and that, although there is no best choice in general, knowing the conditioning and the sparsity of the arguments beforehand can considerably help in choosing the best strategy to tackle the problem.

Applicazione di tecniche di analisi statistica e texture analysis all'imaging di risonanza magnetica di pazienti affetti da glioblastoma multiforme

Il seguente lavoro di tesi si è concentrato sull'analisi statistica dei dati prodotti dall'imaging di risonanza magnetica di pazienti affetti da tumori di alto grado, in particolare glioblastoma multiforme. Le tipologie di acquisizione d'immagine utilizzate sono state l'imaging pesato in T1 e il Diffusion-Weighted Imaging (DWI). Lo studio è stato suddiviso in due fasi: nella prima è stato considerato un campione di pazienti affetti da glioblastoma multiforme che, dopo il trattamento, avessero manifestato una ricaduta della malattia; per questi pazienti è stato quantificato in che modo la dose erogata durante la terapia si sia distribuita sul target del trattamento, in particolare nella porzione di tessuto in cui andrà a svilupparsi la recidiva. Nella seconda fase, è stato selezionato un campione più ristretto che disponesse, per entrambe le modalità di imaging, di un'acquisizione pre-terapia e di un numero sufficiente di esami di follow up; questo al fine di seguire retrospettivamente l'evoluzione della patologia e analizzare tramite metodi statistici provenienti anche dalla texture analysis, i dati estratti dalle regioni tumorali. Entrambe le operazioni sono state svolte tramite la realizzazione di software dedicati, scritti in linguaggio Matlab. Nel primo capitolo vengono fornite le informazioni di base relative ai tumori cerebrali, con un'attenzione particolare al glioblastoma multiforme e alle sue modalità di trattamento. Nel secondo capitolo viene fatta una panoramica della fisica dell'imaging di risonanza magnetica e delle tecniche di formazione delle immagini, con un'ampia sezione è dedicata all'approfondimento dell'imaging in diffusione. Nel terzo capitolo viene descritto il progetto, i campioni e gli strumenti statistici e di texture analysis utilizzati in questo studio. Il quarto capitolo è dedicato alla descrizione puntuale dei software realizzati durante questo lavoro e nel quinto vengono mostrati i risultati ottenuti dall'applicazione di questi ultimi ai campioni di pazienti esaminati.

The effect of diffusion gradient direction number on tractography of corticospinal tract in human brain: an along-tract analysis

Nel presente lavoro di tesi ho sviluppato un metodo di analisi di dati di DW-MRI (Diffusion-Weighted Magnetic Resonance Imaging)cerebrale, tramite un algoritmo di trattografia, per la ricostruzione del tratto corticospinale, in un campione di 25 volontari sani. Il diffusion tensor imaging (DTI) sfrutta la capacità del tensore di diffusione D di misurare il processo di diffusione dell’acqua, per stimare quantitativamente l’anisotropia dei tessuti. In particolare, nella sostanza bianca cerebrale la diffusione delle molecole di acqua è direzionata preferenzialmente lungo le fibre, mentre è ostacolata perpendicolarmente ad esse. La trattografia utilizza le informazioni ottenute tramite il DW imaging per fornire una misura della connettività strutturale fra diverse regioni del cervello. Nel lavoro si è concentrata l’attenzione sul fascio corticospinale, che è coinvolto nella motricità volontaria, trasmettendo gli impulsi dalla corteccia motoria ai motoneuroni del midollo spinale. Il lavoro si è articolato in 3 fasi. Nella prima ho sviluppato il pre-processing di immagini DW acquisite con un gradiente di diffusione sia 25 che a 64 direzioni in ognuno dei 25 volontari sani. Si è messo a punto un metodo originale ed innovativo, basato su “Regions of Interest” (ROIs), ottenute attraverso la segmentazione automatizzata della sostanza grigia e ROIs definite manualmente su un template comune a tutti i soggetti in esame. Per ricostruire il fascio si è usato un algoritmo di trattografia probabilistica che stima la direzione più probabile delle fibre e, con un numero elevato di direzioni del gradiente, riesce ad individuare, se presente, più di una direzione dominante (seconda fibra). Nella seconda parte del lavoro, ciascun fascio è stato suddiviso in 100 segmenti (percentili). Sono stati stimati anisotropia frazionaria (FA), diffusività media, probabilità di connettività, volume del fascio e della seconda fibra con un’analisi quantitativa “along-tract”, per ottenere un confronto accurato dei rispettivi percentili dei fasci nei diversi soggetti. Nella terza parte dello studio è stato fatto il confronto dei dati ottenuti a 25 e 64 direzioni del gradiente ed il confronto del fascio fra entrambi i lati. Dall’analisi statistica dei dati inter-subject e intra-subject è emersa un’elevata variabilità tra soggetti, dimostrando l’importanza di parametrizzare il tratto. I risultati ottenuti confermano che il metodo di analisi trattografica del fascio cortico-spinale messo a punto è risultato affidabile e riproducibile. Inoltre, è risultato che un’acquisizione con 25 direzioni di DTI, meglio tollerata dal paziente per la minore durata dello scan, assicura risultati attendibili. La principale applicazione clinica riguarda patologie neurodegenerative con sintomi motori sia acquisite, quali sindromi parkinsoniane sia su base genetica o la valutazione di masse endocraniche, per la definizione del grado di contiguità del fascio. Infine, sono state poste le basi per la standardizzazione dell’analisi quantitativa di altri fasci di interesse in ambito clinico o di studi di ricerca fisiopatogenetica.