Alcuni metodi per la determinazione delle radici di un polinomio

Un problema classico in matematica, che presenta numerose applicazioni anche al di fuori di tale disciplina, è la ricerca delle radici di un polinomio. Per quanto riguarda i polinomi di grado minore o uguale a 4 ci sono delle formule per determinare le radici a partire dai coefficienti, mentre per il generico polinomio di grado maggiore o uguale a 5 formule simili non esistono. È possibile, però, determinare in modo approssimato le radici di un polinomio, o stimare il numero di radici reali di un polinomio reale in un dato intervallo, o ancora localizzare nel piano complesso gli zeri di un polinomio a coefficienti complessi.

Risolubilità per radicali di equazioni polinomiali

Lo scopo di questa tesi è lo studio della risolubilità per radicali di equazioni polinomiali nel caso in cui il campo dei coefficienti del polinomio abbia caratteristica zero. Nel primo capitolo vengono richiamati i principali risultati riguardanti la teoria di Galois. Nel secondo capitolo si introducono le nozioni di gruppo risolubile e gruppo semplice analizzandone le proprietà. Nel terzo capitolo si definiscono le estensioni di campi radicali e risolubili. Viene inoltre dimostrato il teorema di Galois che mette in evidenza il legame tra gruppi risolubili ed estensioni risolubili. Infine, nell'ultimo capitolo, si applicano i risultati ottenuti al problema della risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali dando anche diversi esempi. In particolare viene analizzato il caso del polinomio universale di grado n.

Punti razionali di ordine finito su una curva ellittica

Questa tesi nasce dal voler approfondire lo studio delle curve piane di grado 3 iniziato nel corso di Geometria Proiettiva. In particolare si andrà a studiare la legge di gruppo che si può definire su tali curve e i punti razionali di ordine finito appartenenti alle curve ellittiche. Nel primo capitolo si parla di equazioni diofantee, dell’Ultimo Teorema di Fermat, dell'equazione e della formula di duplicazione di Bachet. Si parla inoltre dello stretto rapporto tra la geometria, l'algebra e la teoria dei numeri nella teoria delle curve ellittiche e come le curve ellittiche siano importanti nella crittografia. Nel secondo capitolo vengono enunciate alcune definizioni, proposizioni e teoremi, riguardanti polinomi e curve ellittiche. Nel terzo capitolo viene introdotta la forma normale di una cubica. Nel quarto capitolo viene descritta la legge di gruppo su una cubica piana non singolare e la costruzione geometrica che porta ad essa; si vede il caso particolare della legge di gruppo per una cubica razionale in forma normale ed inoltre si ricavano le formule esplicite per la somma di due punti appartenenti ad una cubica. Nel capitolo cinque si iniziano a studiare i punti di ordine finito per una curva ellittica con la legge di gruppo dove l'origine è un flesso: vengono descritti e studiati i punti di ordine 2 e quelli di ordine 3. Infine, nel sesto capitolo si studiano i punti razionali di ordine finito qualsiasi: viene introdotto il concetto di discriminante di una cubica e successivamente viene enunciato e dimostrato il teorema di Nagell-Lutz.

Serie di Puiseux

La tesi è incentrata sullo studio dei punti di singolarità di una curva nel piano proiettivo complesso. Nel caso in cui il punto sia regolare possiamo sfruttare il teorema delle funzioni implicite che ci permette di esplicitare il luogo di zeri di un'equazione implicita rispetto a una variabile. Quando questa ipotesi di regolarità viene meno per avere un risultato analogo diventa necessario utilizzare le serie di Puiseux. L'interpretazione algebrica del teorema di Puiseux risponde alla domanda di trovare un'estensione del campo delle serie di Laurent che sia algebricamente chiuso; prendendo un polinomio di grado positivo in K(x)*[y], mostreremo che esiste sempre una radice del polinomio appartenente a K(x)*. Il legame con l’interpretazione analitica risulta ora evidente: data infatti una curva nel piano complesso la sua equazione può essere vista come un particolare polinomio in K(x)*[y], esplicitare la y in funzione della x equivale appunto a trovare una radice in K(x)*. Nel primo capitolo abbiamo in primo luogo richiamato il risultato di Dini e parlato del luogo singolare di una curva, mostrando che quest'ultimo è un numero finito di punti. In seguito abbiamo introdotto il poligono di Newton, il quale è un insieme convesso del piano associato ad un polinomio in due variabili. Nel secondo capitolo abbiamo visto due formulazioni del teorema di Puiseux, entrambe le dimostrazioni di questo risultato sono costruttive; per renderle più scorrevoli abbiamo ritenuto opportuno costruire degli esempi che evidenziassero i vari passi.

Clinical Data Mining: Traumatic Brain Injury

Il trauma cranico é tra le piú importanti patologie traumatiche. Ogni anno 250 pazienti ogni 100.000 abitanti vengono ricoverati in Italia per un trauma cranico. La mortalitá é di circa 17 casi per 100.000 abitanti per anno. L’Italia si trova in piena “media” Europea considerando l’incidenza media in Europa di 232 casi per 100.000 abitanti ed una mortalitá di 15 casi per 100.000 abitanti. Degli studi hanno indicato come una terapia anticoagulante é uno dei principali fattori di rischio di evolutiviá di una lesione emorragica. Al contrario della terapia anticoagulante, il rischio emorragico correlato ad una terapia antiaggregante é a tutt’oggi ancora in fase di verifica. Il problema risulta rilevante in particolare nella popolazione occidentale in quanto l’impiego degli antiaggreganti é progressivamente sempre piú diffuso. Questo per la politica di prevenzione sostenuta dalle linee guida nazionali e internazionali in termini di prevenzione del rischio cardiovascolare, in particolare nelle fasce di popolazione di etá piú avanzata. Per la prima volta, é stato dimostrato all’ospedale di Forlí[1], su una casistica sufficientemente ampia, che la terapia cronica con antiaggreganti, per la preven- zione del rischio cardiovascolare, puó rivelarsi un significativo fattore di rischio di complicanze emorragiche in un soggetto con trauma cranico, anche di grado lieve. L’ospedale per approfondire e convalidare i risultati della ricerca ha condotto, nell’anno 2009, una nuova indagine. La nuova indagine ha coinvolto oltre l’ospedale di Forlí altri trentuno centri ospedalieri italiani. Questo lavoro di ricerca vuole, insieme ai ricercatori dell’ospedale di Forlí, verificare: “se una terapia con antiaggreganti influenzi l’evolutivitá, in senso peggiorativo, di una lesione emorragica conseguente a trauma cranico lieve - moderato - severo in un soggetto adulto”, grazie ai dati raccolti dai centri ospedalieri nel 2009. Il documento é strutturato in due parti. La prima parte piú teorica, vuole fissare i concetti chiave riguardanti il contesto della ricerca e la metodologia usata per analizzare i dati. Mentre, la seconda parte piú pratica, vuole illustrare il lavoro fatto per rispondere al quesito della ricerca. La prima parte é composta da due capitoli, che sono: • Il capitolo 1: dove sono descritti i seguenti concetti: cos’é un trauma cra- nico, cos’é un farmaco di tipo anticoagulante e cos’é un farmaco di tipo antiaggregante; • Il capitolo 2: dove é descritto cos’é il Data Mining e quali tecniche sono state usate per analizzare i dati. La seconda parte é composta da quattro capitoli, che sono: • Il capitolo 3: dove sono state descritte: la struttura dei dati raccolti dai trentadue centri ospedalieri, la fase di pre-processing e trasformazione dei dati. Inoltre in questo capitolo sono descritti anche gli strumenti utilizzati per analizzare i dati; • Il capitolo 4: dove é stato descritto come é stata eseguita l’analisi esplorativa dei dati. • Il capitolo 5: dove sono descritte le analisi svolte sui dati e soprattutto i risultati che le analisi, grazie alle tecniche di Data Mining, hanno prodotto per rispondere al quesito della ricerca; • Il capitolo 6: dove sono descritte le conclusioni della ricerca. Per una maggiore comprensione del lavoro sono state aggiunte due appendici. La prima tratta del software per data mining Weka, utilizzato per effettuare le analisi. Mentre, la seconda tratta dell’implementazione dei metodi per la creazione degli alberi decisionali.

Risolubilità per radicali

Lo scopo di questa tesi è di esporre il cuore centrale della teoria di Galois, la risolubilità per radicali delle equazioni polinomiali nel caso in cui il campo di partenza abbia caratteristica 0. L’operato è articolato in tre capitoli. Nel primo capitolo vengono introdotte le nozioni fondamentali della teoria dei campi e della teoria di Galois. Nel secondo capitolo, si sviluppa il problema della risolubilità per radicali. Vengono prima introdotti i gruppi risolubili e alcune loro particolarità. Poi vengono introdotte le nozioni di estensioni radicali e risolubili e relativi teoremi. Nel paragrafo 2.3 viene dimostrato il teorema principale della teoria, il teorema di Galois, che identifica la risolubilità del gruppo di Galois con la risolubilità dell’estensione. Infine l’ultimo paragrafo si occupa della risolubilità dei polinomi, sfruttando il loro campo di spezzamento. Nel terzo ed ultimo capitolo, viene discussa la risolubilita` dell’equazione polinomiale generale di grado n. Vengono inoltre riportati diversi esempi ed infine viene presentato un esempio di estensione di Galois di grado primo p non risolubile in caratteristica p.

Non-evolutive pattern recognition techniques: An application in medical image diagnostics

Lo studio dell’intelligenza artificiale si pone come obiettivo la risoluzione di una classe di problemi che richiedono processi cognitivi difficilmente codificabili in un algoritmo per essere risolti. Il riconoscimento visivo di forme e figure, l’interpretazione di suoni, i giochi a conoscenza incompleta, fanno capo alla capacità umana di interpretare input parziali come se fossero completi, e di agire di conseguenza. Nel primo capitolo della presente tesi sarà costruito un semplice formalismo matematico per descrivere l’atto di compiere scelte. Il processo di “apprendimento” verrà descritto in termini della massimizzazione di una funzione di prestazione su di uno spazio di parametri per un ansatz di una funzione da uno spazio vettoriale ad un insieme finito e discreto di scelte, tramite un set di addestramento che descrive degli esempi di scelte corrette da riprodurre. Saranno analizzate, alla luce di questo formalismo, alcune delle più diffuse tecniche di artificial intelligence, e saranno evidenziate alcune problematiche derivanti dall’uso di queste tecniche. Nel secondo capitolo lo stesso formalismo verrà applicato ad una ridefinizione meno intuitiva ma più funzionale di funzione di prestazione che permetterà, per un ansatz lineare, la formulazione esplicita di un set di equazioni nelle componenti del vettore nello spazio dei parametri che individua il massimo assoluto della funzione di prestazione. La soluzione di questo set di equazioni sarà trattata grazie al teorema delle contrazioni. Una naturale generalizzazione polinomiale verrà inoltre mostrata. Nel terzo capitolo verranno studiati più nel dettaglio alcuni esempi a cui quanto ricavato nel secondo capitolo può essere applicato. Verrà introdotto il concetto di grado intrinseco di un problema. Verranno inoltre discusse alcuni accorgimenti prestazionali, quali l’eliminazione degli zeri, la precomputazione analitica, il fingerprinting e il riordino delle componenti per lo sviluppo parziale di prodotti scalari ad alta dimensionalità. Verranno infine introdotti i problemi a scelta unica, ossia quella classe di problemi per cui è possibile disporre di un set di addestramento solo per una scelta. Nel quarto capitolo verrà discusso più in dettaglio un esempio di applicazione nel campo della diagnostica medica per immagini, in particolare verrà trattato il problema della computer aided detection per il rilevamento di microcalcificazioni nelle mammografie.

Campi finiti e segnale GPS

Lo scopo della tesi è quello di studiare una delle applicazioni della teoria dei campi finiti: il segnale GPS. A questo scopo si descrivono i registri a scorrimento a retroazione lineare (linear feedback shift register, LFSR), dispositivi utili in applicazioni che richiedono la generazione molto rapida di numeri pseudo-casuali. I ricevitori GPS sfruttano il determinismo di questi dispositivi per identificare il satellite da cui proviene il segnale e per sincronizzarsi con esso. Si inizia con una breve introduzione al funzionamento del GPS, poi si studiano i campi finiti: sottocampi, estensioni di campo, gruppo moltiplicativo e costruzione attraverso la riduzione modulo un polinomio irriducibile, fattorizzazione di polinomi, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi irriducibili, radici di polinomi irriducibili, coniugati, teoria di Galois (automorfismo ed orbite di Frobenius, gruppo e corrispondenza di Galois), traccia, polinomio caratteristico, formula per il numero e metodi per la determinazione di polinomi primitivi. Successivamente si introducono e si esaminano sequenze ricorrenti lineari, loro periodicità, la sequenza risposta impulsiva, il polinomio caratteristico associato ad una sequenza e la sequenza di periodo massimo. Infine, si studiano i registri a scorrimento che generano uno dei segnali GPS. In particolare si esamina la correlazione tra due sequenze. Si mostra che ogni polinomio di grado n-1 a coefficienti nel campo di Galois di ordine 2 può essere rappresentato univocamente in n bit; la somma tra polinomi può essere eseguita come XOR bit-a-bit; la moltiplicazione per piccoli coefficienti richiede al massimo uno shift ed uno XOR. Si conclude con la dimostrazione di un importante risultato: è possibile inizializzare un registro in modo tale da fargli generare una sequenza di periodo massimo poco correlata con ogni traslazione di se stessa.

Gruppi risolubili

I gruppi risolubili sono tra gli argomenti più studiati nella storia dell'algebra, per la loro ricchezza di proprietà e di applicazioni. Questa tesi si prefigge l'obiettivo di presentare tali gruppi, in quanto argomento che esula da quelli usualmente trattati nei corsi fondamentali, ma che diventa fondamentale in altri campi di studio come la teoria delle equazioni. Il nome di tale classe di gruppi deriva infatti dalla loro correlazione con la risolubilità per formule generali delle equazioni di n-esimo grado. Si ha infatti dalla teoria di Galois che un'equazione di grado n è risolubile per radicali se e solo se il suo gruppo di Galois è risolubile. Da questo spunto di prima e grande utilità, la teoria dei gruppi risolubili ha preso una propria strada, tanto da poter caratterizzare tali gruppi senza dover passare dalla teoria di Galois. Qui viene infatti presentata la teoria dei gruppi risolubili senza far uso di tale teoria: nel primo capitolo esporrò le definizioni fondamentali necessarie per lo studio dei gruppi risolubili, la chiusura del loro insieme rispetto a sottogruppi, quozienti, estensioni e prodotti, e la loro caratterizzazione attraverso la serie derivata, oltre all'esempio più caratteristico tra i gruppi non risolubili, che è quello del gruppo simmetrico. Nel secondo capitolo sono riportati alcuni esempi e controesempi nel caso di gruppi non finiti, tra i quali vi sono il gruppo delle isometrie del piano e i gruppi liberi. Infine nel terzo capitolo viene approfondito il caso dei gruppi risolubili finiti, con alcuni esempi, come i p-gruppi, con un’analisi della risolubilità dei gruppi finiti con ordine minore o uguale a 100.

Geometria delle ipersuperfici quadriche dello spazio proiettivo

In questo lavoro vengono analizzate due sottovarietà notevoli di P^5 legate allo studio delle ipersuperfici quadriche: la quadrica di Klein e la superficie di Veronese. La quadrica di Klein è una ipersuperficie di grado 2 di P^5 in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle rette di P^3. Riguardando P^5 come lo spazio delle coniche di P^2, la superficie di Veronese corrisponde alle coniche di rango 1, cioè alle rette doppie.

Origine dell'associazione peridotiti-migmatiti-gneiss nel basamento Varisico della Zona d'Ultimo, Austroalpino superiore

Per investigare il ruolo del contrasto di densità fra rocce crostali e mantelliche, nell’origine dell’associazione peridotiti-migmatiti-gneiss della Zona d’Ultimo (Austroalpino superiore, Italia), durante l’orogenesi Varisica, sono stati studiati tre diversi litotipi provenienti dall’area in esame. Mediante l’utilizzo del software Perple_X, sono state modellizzate le condizioni P-T di equilibrio di: un paragneiss a granato e staurolite di grado metamorfico medio, un fels a granato prodotto per fusione parziale ed estrazione del fuso dalla roccia sorgente (restite), e una peridotite ad anfibolo rappresentativa del cuneo di mantello. A partire dalle peridotiti, sono state calcolate condizioni metamorfiche di picco per la Zona d’Ultimo di 900 °C e 13 kbar, in facies granulitica, confrontabili con profondità di circa 40-50 km. In queste condizioni, le peridotiti ad anfibolo presentano una densità di 3230 kg/m3, nettamente inferiore rispetto a quanto calcolato per il campione di restite, cioè 3730 kg/m3. In particolare, è stato calcolato che è necessario estrarre dalla roccia sorgente una quantità di fuso pari al 10-12 wt.%, per generare un residuo refrattario di densità equivalente alle peridotiti idrate. La differenziazione fra neosoma e paleosoma, prodotta dalla fusione parziale, può generare quindi una situazione di instabilità fra crosta e mantello, a causa del contrasto di densità fra le rocce poste a contatto. Per effetto di questa instabilità, possono verificarsi meccanismi duttili di trasferimento di massa, con inclusione di lenti di peridotiti all’interno della crosta, all’interfaccia fra lo slab continentale in subduzione ed il cuneo di mantello, ma anche, in caso di crosta inspessita, in corrispondenza della transizione crosta profonda-mantello litosferico (Moho) nella upper plate.