Regularity of solutions of the p-Laplace equation in the Heisenberg group

tbd

A travel-guidance engine for visually impaired people

Fino a pochi anni fa, usare i trasporti pubblici poteva essere fonte di confusione e richiedere la comprensione del sistema dei trasporti locali. Più tardi, con la diffusione di dispositivi con localizzazione GPS, reti dati cellulare e Google Maps (inizialmente Google Transit), tutto è cambiato, rendendo possibile la pianificazione di un viaggio mentre si è fuori casa. Nonostante Google Maps disponga di indicazioni stradali più o meno in tutto il mondo e mostri molte informazioni, alcune funzionalità, come l’integrazione degli orari in tempo reale, non sono disponibili in tutte le città, ma sono basate su accordi con le agenzie dei trasporti locali. GoGoBus è un’applicazione Android per l’ausilio al trasporto nella città di Bologna. Combinando diversi servizi, GoGoBus si rivolge a svariati tipi di utilizzatori: offre la pianificazione per i meno pratici del sistema e coloro che usano i trasporti pubblici raramente, dispone di orari in tempo reale per chi usa i mezzi frequentemente, e in più traccia la posizione dell’autobus, ha un supporto vocale e un’interfaccia semplice per persone con disabilità. Progettata appositamente per ipovedenti, l’aspetto più innovativo dell’applicazione è il suo supporto durante il percorso sull’autobus, integrato alla pianificazione del tragitto e agli orari aggiornati in tempo reale. Il sistema traccia la posizione dell’autobus attraverso il GPS del dispositivo mobile, la cui posizione è usata sia per riconoscere quando una fermata viene superata, sia per mostrare informazioni utili come la distanza dalla prossima fermata, il numero di fermate e i minuti rimanenti prima di scendere, e soprattutto notificare l’utente quando deve scendere. L’idea dietro GoGoBus è incrementare la fruibilità dei trasporti pubblici per non vedenti, ma anche per persone che li usano di rado, aumentando ampiamente la loro indipendenza, allo stesso tempo migliorando la qualità del servizio per chi usa i mezzi quotidianamente.

Lipschitz regularity for weak solutions of parabolic p-Laplacian type equations in certain subriemannian structures

The main aim of the thesis is to prove the local Lipschitz regularity of the weak solutions to a class of parabolic PDEs modeled on the parabolic p-Laplacian. This result is well known in the Euclidean case and recently has been extended in the Heisenberg group, while higher regularity results are not known in subriemannian parabolic setting. In this thesis we will consider vector fields more general than those in the Heisenberg setting, introducing some technical difficulties. To obtain our main result we will use a Moser-like iteration. Due to the non linearity of the equation, we replace the usual parabolic cylinders with new ones, whose dimension also depends on the L^p norm of the solution. In addition, we deeply simplify the iterative procedure, using the standard Sobolev inequality, instead of the parabolic one.